2024-2025学年山东省泰安市英雄山中学高二（上）第一次学情调研数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省泰安市英雄山中学高二（上）第一次学情调研
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为( )
A. B. C. D.
2.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
3.设，是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么( )
A. B. C. D.
4.设是任意三个非零向量且互不共线，下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
5.在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知向量，若，，则与轴正向夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得平面，且平面与交于点，则( )
A. B.
C. D.
8.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为
，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. 是平面的一个法向量 B. ，，，四点共面
C. D.
10.下列命题中，不正确的命题有( )
A. 是，共线的充要条件
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若，，不共线，且，则，，、四点共面
D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
11.如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转得到的，设是圆弧的中点，是圆弧上的动点含端点，则( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 存在点，使得平面
D. 存在点，使得直线与平面的所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对于任意向量定义运算：若向量，向量为单位向量，则的取值范围是______．
13.如图三棱柱中，侧面是边长为菱形，，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为______．
14.如图：已知二面角的大小为，点，，于点，于，且，则直线与所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，，设，，．
若实数使与垂直，求值．
求在上的投影向量．
16.本小题分
已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，．
求线段的长；
求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，．
证明：平面平面；
求到平面距离；
求直线与平面夹角余弦值．
18.本小题分
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，．
求的长；
若为的中点，求二面角的余弦值；
若为上一点，且满足，求．
19.本小题分
如下图，在中，，，是中点，、分别是、边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥；
求证：；
若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；
当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
参考答案
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15.解：依题意，，
，
由与垂直，得，解得，
所以．
由知，，，
所以在上的投影向量为．
16.解：设，，，
则，，．
，
，
．
，
．
．
．
异面直线与所成角的余弦值为．
17.解：证明：取和 的中点和，连接和，
易知为正三角形，则，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，即，则可取，
设平面的一个法向量为，
则，即，则可取，
因为，
所以，
所以平面平面．
由平面的法向量为，，，
设直线与平面所成的角为，
可得，
则到平面的距离为．
由为正三角形，且为的中点，可得，
在正三棱柱中，可得平面，
所以为平面的一个法向量，即为平面的一个法向量，
又由，
可得，
设直线与平面夹角为，
可得，
则，
即直线与平面夹角的余弦值为．
18.解：在四棱锥中，底面为矩形，
底面，易得，，两两相互垂直，
易得平面，平面平面，
又，为上一点，
且，，，
，
，又，，
；
若为的中点，分别延长，交点，
底面，过作于点，连接，
则根据三垂线定理可得为二面角的补角，
又，底面为矩形，且由知，
为等腰直角三角形，，
，
，
二面角的余弦值为；
过作于点，由知平面平面，
平面，又根据新定义可知，
又，，
，，，，
，
，，
过作，且，在上取靠近的五等分点，
，
则易知，且，，
，且，
四边形为平行四边形，，又平面，
平面，
又，，
．
19.解：因为，，
所以，即，，，，平面，
平面，平面，
所以．
因为二面角是直二面角，
所以平面平面，平面平面，，平面，平面，
以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设平面法向量为，
，
设平面法向量为，
则，即，
令，得，，所以，
设二面角为，
，
，
；
以，，为，轴，过作的垂线为轴，
设
，
，
得出，
设平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
因为，
所以，
所以正弦值的取值范围．
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