2024-2025学年湖南省株洲二中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省株洲二中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知椭圆：，的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知，则的值( )
A. B. C. D.
7.已知圆：，直线：则直线被圆截得的弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知中心在坐标原点的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点，且，点为线段上靠近的四等分点若对于线段上的任意一点，都有成立，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是( )
A. 当或时，曲线是双曲线
B. 当时，曲线是椭圆
C. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
10.设函数，其中表示，，中的居中者下列说法正确的有( )
A. 只有一个最小值点 B. 的值域为
C. 为偶函数 D. 在上单调递减
11.在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动不含端点，则( )
A. 四棱锥的体积为
B. 四棱锥外接球的表面积为
C. 不存在点使得
D. 当到直线的距离最小时，过点，，作截面交于点，则四棱锥的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为______．
13.已知椭圆：的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于，两点，则的周长为______．
14.已知点满足方程，则使得恒成立的实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过点和，且圆心在直线：上．
求圆的标准方程；
若过点作圆的切线，求该切线方程．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求锐角的大小；
若，且的周长为，求的面积．
17.本小题分
如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，，．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点．
求椭圆的方程；
椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数．
证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
求面积的最大值．
19.本小题分
已知集合，其中，，，，都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数，．
若，，，，直接写出所有满足条件的集合；
若，且对任意，都有，求的最大值；
若，且对任意，都有，求的最大值．
参考答案
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15.解：因为点和，所以线段的中点为，，
则线段的中垂线方程为，即 ，
由，解得，则圆心为，，
所以圆的方程为：；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
则圆心到直线的距离，符合题意；
当直线的斜率存在时，设过点直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
解得，此时切线方程为：，即．
所以切线方程为；或．
16.解：因为，
由正弦定理可得，
在中，，
代入得，
又因，则，
又为锐角，故；
由可得，
因为，则，
由可得，
由正弦定理，为的外接圆的半径，
所以，，，
因的周长为，即，
解得，
所以，，
故的面积．
17.证明：如图，取的中点，连接，，
则，，又，，
所以，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
取中点为，过点作直线的垂线交于点，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为直径，所以，
所以，
在梯形中易求高为，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则，令，则，，所以，
平面的法向量为，
则，即，取，则，，即，
设平面与平面所成的角为，
则，
即平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：设椭圆的方程为，
椭圆：的焦点坐标为，
所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，
椭圆过点，
，，
，
椭圆的标准方程为．
证明：因为直线与坐标轴不垂直，则设直线的方程为，
联立，消去得，
，即，
设，，所以，，
所以
，
因为直线和的斜率互为相反数，
所以，所以，
所以，
所以．
即，所以，
因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点．
由知，，，
且，即，
又
，
令，则，
，
当且仅当时取“”，
面积的最大值为．
19.解：因为，则和的元素个数均为，
又因为，，，则，
若，，则或；
若，，则或；
综上或或或．
集合共有个不同的子集，将其两两配对成组，，
使得，，则，不能同时被选中为子集，故．
选择的个含有元素的子集：，，，，，符合题意．
综上，．
结论：，令，，，，，集合符合题意．
证明如下：
若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素，且元素都至多属于个子集，
所以除外的子集至多有个，故．
若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设，其它子集分两类：
或，，，，和或，，，，
其中，，互不相同，，互不相同且均不为，．
若，则，有，
若，则由得每个集合中都恰包含中的个元素不是，且互不相同，
因为中除外至多还有个元素，所以，
所以．
若均为三元集合，不妨设，将其它子集分为三类：
，，，，，，，，，，，，其中．
若，则除，，外，其它元素两个一组与构成集合，
所以．
若，不妨设则由得每个集合中都或者有、或者有，
又，，，中除外无其它公共元素，所以，
所以．
综上，．
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