2024-2025学年广东省佛山一中高二（上）第一次质检数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省佛山一中高二（上）第一次质检
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是( )
A. 至少摸出个白球 B. 至少摸出个红球
C. 摸出个白球 D. 摸出个白球或摸出个红球
2.在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，，则用基底表示向量为( )
A.
B.
C.
D.
3.袋子中有大小、形状、质地完全相同的个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，用，，，分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：
由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5.已知点关于轴对称的点为，直线过点和，且的一个方向向量为，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则函数在区间上为增函数的概率是( )
A. B. C. D.
7.甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜局者获得这次比赛的胜利，比赛结束假设在一局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立已知前局中，甲、乙各胜局则甲获得这次比赛胜利的概率是( )
A. B. C. D.
8.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率是
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C. 数据，，，，，，，的第百分位数是
D. 标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
10.已知事件，，且，，则下列结论正确的是( )
A. 如果，那么，
B. 如果与互斥，那么，
C. 如果与相互独立，那么，
D. 如果，则与相互独立
11.如图，棱长为的正方体中，、分别是棱，的中点，为棱上的动点则下列结论正确的是( )
A. 若点满足且，则，，，四点共面
B. 若直线与平面所成的角为，则三棱锥的体积为
C. 以为球心，为半径的球被正方体表面所截的总弧长为
D. 三棱锥的外接球半径的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是______．
13.已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
14.已知正方体的棱长为，若空间中的动点满足，，，若，则二面角的大小为______；若，则三棱锥的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱柱中，，分别是和上的点，，，，，设，，，用基向量法解决下列问题．
求；
求异面直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛共名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如右频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
求抽取的名学生的平均成绩同一组数据用该组区间的中点值代替；
若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取人，再从中选取人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这人都是高三学生的概率；
若比赛成绩为样本数据的标准差，则认为成绩优秀，试估计参赛的名学生成绩优秀的人数参考公式：，是第组的频率，同一组数据用该组区间的中点值代替，参考数据：．
17.本小题分
甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，已知任意两次射击互不影响．
分别计算乙，丙两人各射击一次且击中目标的概率；
求甲、乙、丙各射击一次且恰有一人击中日标的概率；
若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次？参考数据
18.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为的等边三角形，，是线段的中点．
求证：平面平面；
若，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．
求证：；
若，求三棱台的体积；
若到平面的距离为，求的值．
参考答案
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15.解：因为，所以．
由于，，所以．
由
．
所以．
可得；
由，可得．
因为，
所以，．
可知异面直线与所成角的余弦值为．
16.解：平均成绩，
所以抽取的名学生的平均成绩；
由于第五组总共要抽取人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，
设个高三学生为，，，个不是高三的学生为，，，，
事件“选取的人都是高三”，
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
所以，
，，，所以，
所以，
即选取的人都是高三学生的概率为；
依题意，由方差的计算公式，可得：
，
所以优秀的比赛成绩，
而比赛成绩在的频率为，
因为，
故参赛的名学生成绩优秀的人数为人．
17.解：因为甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，
甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，
已知任意两次射击互不影响．
记“甲，乙，内射击一次且击中日标”分别为事件，，，
依题意，且，，相互独立，
由．，得，
又由得，
所以乙射击一次击中日标的概率为，丙射击一次击中日标的概率为，
记“甲、乙、丙各射击一次且恰有一人击中日标”为事件，
因为，，两两互斥且，相互独立，
，
所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率，
设甲射击次，因为任意两次射击互不影响，
所以至少有一次击中目标的概率为，
令，所以，，
所以，
又为正整数，所以，即甲至少要射击次．
18.证明：在中，，，，由余弦定理知，
，
，即，
又，且，、平面，
平面，
又平面，平面平面．
解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，，
，，，
，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，，
直线与平面所成角的正弦值为，
，，
整理得，解得或，
，，
故存在，使得直线与平面所成角的正弦值为．
19.证明：取的中点，连接，，
由题意知，四边形是等腰梯形，是等边三角形，
所以，，
因为，、平面，
所以平面，
又平面，所以．
解：由知，，，
所以就是二面角的平面角，即，
若，则，即，
因为，，所以平面，
即三棱台的高为，
因为，，
所以，，，
所以三棱台的体积．
解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，其中，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为到平面的距离为，
所以，整理得，即，
解得或舍，
故的值为．
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