2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线和直线互相平行，则的值为( )
A. B. C. D.
2.若两个非零向量，的夹角为，且满足，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线与直线互相垂直，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.为了得到函数的图象，只要将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
5.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是( )
A. B. C. D.
6.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知圆：和两点，，，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 ( )
A. B. C. D.
8.已知向量，满足，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是( )
A. 复数的虚部是 B.
C. 复数的共轭复数是 D. 复数的共轭复数对应的点位于第四象限
10.已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A. 椭圆离心率为
B.
C. 若，则的面积为
D. 最大值为
11.已知点，，直线：上存在点满足，则直线的斜率可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆：与圆：内切，则 ______．
13.如图，已知为椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且以为直径的圆过点，当时，该椭圆的离心率是______．
14.在平面直角坐标系中，过点向圆：引切线，切线长为设点到直线的距离为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若直线的一个方向向量为，且在轴上的截距为，求直线的方程；
已知直线：恒过定点，直线：恒过定点，已知和交于点．
求出定点，的坐标；
求面积的最大值．
16.本小题分
已知圆的方程为．
若圆与圆关于直线对称，求圆的方程；
若，圆与圆交于，两点，且，求圆的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，侧面平面．
证明：平面；
证明：平面；
若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知圆：．
若线段端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程；
若，为圆：的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点．
求椭圆的方程；
如图，设是椭圆上一动点，由原点向圆：引两条切线，分别交椭圆于点，若直线、的斜率存在，并记为、，求证：为定值；
在的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，
又因为在轴上的截距为，
所以直线的方程为，
即；
直线：整理可得：，
令，解得，，即直线恒过定点，
直线：整理可得，
令，可得，，所以直线恒过定点，
直线：即为，直线：，
又因为，
可得直线，
所以点在以为直径的圆上，设的中点为，
当时，的面积最大，
且最大值为．
16.解：由题可得：圆的圆心坐标为，半径，
设点关于直线对称的点，
则，解得，
所以圆的方程为．
设圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距，
因为圆与圆相交，则，所以，
两圆的方程相减，可得两圆公共弦所在的直线的方程为，
可得到直线的距离，
由弦长，可得，即，可得或，
所以圆的方程为或．
17.解：证明：在中，取的中点，连接，
，所以，
侧面平面，且侧面平面，平面，
平面，
平面，，
又，，，平面，
平面．
证明：由知平面，又平面，
，
在中，，
，
即，
在同一平面中，，，
，
平面，平面，
平面．
由知平面，连接，
则为直线与平面所成的角．
在中，，，，
在中，，
直线与平面所成角的正切值为，
，
即．
三棱锥的体积．
18.解：根据题意，设，的中点为，
则，可得，
将代入圆：，得．
化简得，即为线段的中点的轨迹方程；
设圆心到直线、的距离分别为、，
由，可得，
所以，且，．
四边形的面积，
当且仅当，且时，取等号．
所以四边形面积的最大值为．

19.解：因为椭圆的离心率为，
所以，
又因为点在椭圆上，
所以，
又，，
由，解得，，，
所以椭圆的方程为：．
证明：由直线：，直线： ，
由直线为圆的切线，，
即，
同理可得：，
所以，是方程，的两个不相等的实数根，
由，，则，
由在椭圆上，即，
所以，
所以为定值．
经判断为定值，
设，，
联立，解得，
所以，
同理，得，
由，
得
．
所以为定值，定值为．
第1页，共1页