2024-2025学年山东省济宁市育才中学高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省济宁市育才中学高二（上）段考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线经过两点，，则的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则( )
A. B. C. D. ，
3.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
4.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.若向量，且与的夹角余弦为，则等于( )
A. B. C. 或 D.
6.直线过点，且方向向量为，则( )
A. 直线的点斜式方程为 B. 直线的斜截式方程为
C. 直线的截距式方程为 D. 直线的一般式方程为
7.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，若点在矩形内，且平面，则( )
A.
B.
C.
D.
8.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势如下图的“曲池”是上、下底面均为半圆形的柱体若面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则( )
A. B. 在上的投影向量为
C. D. 向量共面
10.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是( )
A. B. C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的上底面内不含边界的动点，点是棱的中点，则以下命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积是定值
B. 存在点，使得与所成的角为
C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D. 若，则的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线：恒过定点______．
13.已知点，，直线过点且与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是______．
14.如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的锐二面角为，则当最小时 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点为，，，为的中点，所在的直线为．
求的一般式方程；
若直线经过点，且，求的方程．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且设．
试用表示向量；
若，，，求的长．
17.本小题分
已知，，，，，
若、共线，求实数；
若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．
求异面直线与所成角的余弦值；
求直线到平面的距离．
19.本小题分
如图，棱长为的正方体中，、分别是棱，的中点，为棱上的动点．
是否存在一点，使得面？若存在，指出点位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；
若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积；
求三棱锥的外接球半径的最小值．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由，，可得的中点为
所以直线：，整理得，即为直线的一般式方程；
由得直线的斜率，结合，可知直线的斜率也是．
因为直线经过点，所以的方程为，即．
16.解：因为，所以，，
所以，
又因为，，，所以．
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以．
17.解：解：因为，，，，，
则，可得，，解得，
所以，，所以，，
因为，所以，解得．
解；由知，，，
因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
又当时，，
所以实数的范围为．
18.解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
则，
异面直线与所成角的余弦值为；
连接，则，可得平面，
直线到平面的距离等于到平面的距离，又，
设平面的一个法向量为，
由，取，可得，
又，
直线到平面的距离为．
19.解：存在一点，点为的中点，证明如下：
连结，，分别是，的中点，，
又，且，四边形是平行四边形，得，则，
又平面，且平面，平面；
取的中点，连结，，由题意可知，平面，
是直线与平面所成的角，即，
在中，得，
在中，可得，
又，
；
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，连接，，，
则，，，，，
，
，
，即，，
平面，平面，平面，
又，三棱锥的外接球的球心在上，设外接球球心为，
设，则的坐标为，
设，
则，即，，
设，则，则
而，当且仅当，即时，等号成立，
，，
三棱锥的外接球的半径
，
，，
，
三棱锥的外接球半径的最小值为．
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