2024-2025学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆的圆心坐标是( )
A. B. C. D.
2.向量，，若，则( )
A. B. ，
C. ， D. ，
3.如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.直线：和直线：，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知圆与直线相切，则( )
A. B. C. D.
6.已知两点，，过点的直线与线段含端点有交点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. ， B.
C. D.
7.如图，在三棱锥中，平面，，，，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面和平面的一个法向量分别为，则下列结论中正确的是( )
A. 点的坐标为
B.
C.
D.
8.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线的方向向量为，平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则直线平面
B. 若，则直线平面
C. 若，则直线与平面所成角的大小为
D. 若，则平面，的夹角为
10.对于直线：与圆：，下列说法不正确的是( )
A. 直线可以不过第一象限
B. 圆与圆的公切线恰有条
C. 直线与可能相切
D. 直线被截得的弦长最小值为
11.已知正方体的棱长为，为侧面上的动点，为侧面上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若，则的轨迹长度为
B. 若，则到直线的距离的最小值为
C. 若，则，且直线平面
D. 若，则与平面所成角正弦的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______．
13.圆与圆交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为______．
14.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．
阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线过定点．
若直线与直线平行，求直线的方程；
若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，，是的中点，是的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知圆的圆心在轴上，且过点和．
求圆的方程；
直线：和圆交于、两点，求弦长；
若实数，满足圆的方程，求的最大值
18.本小题分
已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，是的中点，是上的动点．
当为的中点时，求证：平面；
求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；
求三棱锥的体积．
19.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆已知点到的距离是点到的距离的倍．
求点的轨迹方程；
若点与点关于点对称，点，求的最大值；
若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：，
所以直线的斜率为，
因为直线与直线平行，
所以直线的斜率为．
又因为直线过点，
所以直线的方程为，
即；
直线过原点时，因为直线过点，所以，
所以直线的方程为，即；
当直线不过原点时，因为直线在两坐标轴截距相等，
所以设直线的方程为，即，
因为直线过点，所以，
所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
16.解：证明：因为平面，平面，所以，
由，知，，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，是的中点，所以，
又，，平面，
所以平面．
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
故，，，
设平面的法向量，
则，则，
令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值．
17.解：设圆心，所以，
解得，
所以圆心的方程为；
圆心到直线：的距离是，
所以；
设点在圆上，，
即，所以，
易知当直线与圆相切时可取最大最小值，
所以，整理得，解得，
所以的最大值为．
18.解：证明：取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，故四边形是平行四边形，故D，
又平面，平面，
故D平面；
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设，
有、、、、、，
则有、，
设平面的法向量分别为，
则，有，
取，则、，即，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角的大小为，
则，
又因为，函数在上单调递增，
所以当时，，当时，
故平面与平面的夹角余弦值的取值范围为；
由，平面的法向量为，
则点到平面的距离为，
由，，
则点到直线的距离为，
所以，
所以．
19.解：不妨设，
因为点到的距离是点到的距离的倍，
所以，
即，
整理得，
则点的轨迹方程为；
不妨设，
由知点的轨迹方程为，
因为若点与点关于点对称，
所以点是点与点的中点，
此时，
代入中，
可得，
则的轨迹为，
不妨设，
此时，
不妨令，
此时，
而可视为直线即在轴上的截距，
则的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，
即直线与圆相切时在轴上的截距，
所以，
易知的最小值为，
故的最大值为；
当直线的斜率存在时，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
设，，
由韦达定理得，，
易知，，
所以
，
要使上式恒为定值，
此时，
解得，
则，为定值；
当直线的斜率不存在时，，，
由，
可得，
所以，
综上所述，存在点，使得为定值．
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