2024-2025学年广东省深圳实验学校高中园高一（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳实验学校高中园高一（上）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系中，正确的是( )
A. B. C. D.
2.命题“，使得”的否定是( )
A. ，总有 B. ，总有
C. ，使得 D. ，使得
3.已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为( )
A. B. 或
C. D.
4.关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D. 不确定
5.函数的值域为( )
A. B. C. D.
6.如图，向放在水槽底部的烧杯注水流量一定，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如果对于任意实数，表示不超过的最大整数例如，那么“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
10.下列各组函数是同一个函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
11.已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A.
B.
C. 为任意实数
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.实数，满足，，则的取值范围是______．
13.函数的最小值为______．
14.已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有个正整数解，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是实数，集合，．
若，请写出集合的所有子集；
求证：“”是“”的充要条件．
16.本小题分
已知函数．
求；
若，求的值；
若函数的图象与直线有三个交点，请画出函数的图象并写出实数的取值范围不需要证明．
17.本小题分
已知函数．
求的解析式；
判断在上的单调性，并根据定义证明．
18.本小题分
购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？
19.本小题分
对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”．
求证：是函数的一个“优美区间”；
如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围；
如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值．
参考答案
1.
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13.．
14.
15.解：已知是实数，集合，，
若，则，所以的所有子集为：
，，，，，，，．
证明：若，则，所以，故充分性成立；
若，则，因为，所以，
解得或，当时，，不满足互异性，故舍去，
当时，，满足互异性，故必要性成立．
所以“”是“”的充要条件．
16.解：，
；
或，
解得或或．
函数的图象如图：
当时，，开口向下，
最大值为，
由图象可知：函数的图象与直线有三个交点，只需，
故实数的取值范围为．
17.解：因为，
所以；
在上单调递减，证明如下：
令，则，，，，
，
即，
所以在上单调递减．
18.解：设两次黄金的单价分别为，，
第一种购买方式，黄金的平均单价为：，
第二种购买方式，黄金的平均单价为：，
因为，
因为，，，
所以，即，
所以第二种购买方式，黄金的平均单价较低．
故第二种购买方式更有利于控制投资成本．
19.解：证明：因为函数在上单调递增，且，，
所以当时，函数的值域为．
所以由“优美区间”的定义知，是函数的一个“优美区间”．
函数在上存在“优美区间”，
转化为：方程在有两个不同的解．
由，得，
因为方程在上有两个不同的解，
所以，即，解得．
故实数的取值范围为．
因为在和上均为增函数，
所以函数有“优美区间”等价于：方程有两个同号的根．
由有两个同号的根，为，．
由或．
由，，
所以，
所以当，即时，有最大值，所以．
又或，所以可以取到．
所以，即的最大值为．
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