2024-2025学年重庆二十九中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆二十九中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的值为( )
A. 或或 B. 或 C. 或 D.
2.已知复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
6.已知圆：与直线：，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为( )
A. B. C. D.
8.已知直线与圆交于点，两点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，两点，若，则为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线与曲线恰有一个交点，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知圆：及点，则下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 点在圆外
C. 若点在圆上，则直线的斜率为
D. 若是圆上任一点，则的取值范围为
11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片达样的达芬奇方砖拼成图的组合，这个组合再转换成图所示的几何体若图中每个正方体的棱长为，则( )
A.
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 点到直线的距离是
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为______．
13.在正方体中，点在棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为______．
14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯约公元首公元前年的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
当时，求的长；
当弦被点平分时，写出直线的方程．
16.本小题分
如图所示，在棱长为的正方体中，点是棱上的动点．
求证：；
当时，求直线与平面成角的大小．
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角．
若，的面积为．
求．
求．
18.本小题分
如下图，在中，，，是中点，、分别是、边上的动点，且；将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥；
求证：；
若，二面角是直二面角，求二面角的正切值；
当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
19.本小题分
已知圆：与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为．
Ⅰ求的值及的面积；
Ⅱ若圆与轴交于、两点，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交：于、两点当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
参考答案
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15.解：当时，直线的方程为，即，
设圆心到直线的距离为，则，
．
当弦被点平分时，，
，
，
直线的方程为，即．
16.解：证明：如图所示，连接，
因为平面，平面，所以，即，
又因为四边形为正方形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
以为原点，建立如图空间直角坐标系如图所示：
因为，则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，得，所以，
设直线与平面成角为，，
所以，即，
所以直线与平面成角的大小为．
17.解：因为，
所以由，可得，即，结合，可得；
的面积，
即，解得，结合可得，舍负．
由余弦定理，得，可得舍负．
由余弦定理，得，可得舍负．
所以，．
由此可得．
18.解：因为，，
所以，即，，，，平面，
平面，平面，
所以．
因为二面角是直二面角，
所以平面平面，平面平面，，平面，平面，
以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设平面法向量为，
，
设平面法向量为，
则，即，
令，得，，所以，
设二面角为，
，
，
；
以，，为，轴，过作的垂线为轴，
设
，
，
得出，
设平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
因为，
所以，
所以正弦值的取值范围．
19.解：Ⅰ由题知：直线方程为，
则由，得到，即，
点为线段的中点，，
，，
到直线距离为．
，
又：到直线的距离为，边上的高为．
；
Ⅱ不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，
因为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段的中点为，半径平方为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
即，
由，解得，
因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点．
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