2024-2025学年浙江省精诚联盟高二（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年浙江省精诚联盟高二（上）联考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.直线：与直线：的距离是( )
A. B. C. D.
4.已知空间向量，，，若，，，四点共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
6.已知点坐标为，直线经过原点且与向量平行，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知，，直线：上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.正三角形边长为，为的中点，将三角形沿折叠，使则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线恒过第一象限
B. 直线关于轴的对称直线为
C. 原点到直线的距离为
D. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为
10.已知点在曲线上，点，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
11.正方体的棱长为，点为侧面内的一个动点含边界，点、分别是线段、的中点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使得二面角大小为
B. 最大值为
C. 直线与面所成角为时，则点的轨迹长度为
D. 当时，则三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，，则在上的投影向量为______用坐标表示．
13.已知直线：，：，若满足，则两直线的交点坐标为______．
14.如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内含边界移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在轴上，并且过原点和．
求圆的方程；
若线段的端点，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
16.本小题分
在四面体中，，，是的中点，是上靠近的三等分点，
设，，，试用向量、、表示向量；
证明：．
17.本小题分
在长方体中，，点为棱上的动点含端点．
当点为棱的中点时，求二面角的余弦值；
当的长度为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值．
18.本小题分
已知，点，点，在直线上运动点在点上方．
已知以点为顶点的是等腰三角形，求边上的中线所在直线方程；
已知，试问：是否存在点，使得的面积被轴平分，若存在，求直线方程；若不存在，说明理由？
19.本小题分
出租车几何或曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间平面直角坐标系上的绝对轴距总和例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离
已知点，，求的值；
记为点与直线上一点的曼哈顿距离的最小值已知点，直线：，求；
已知三维空间内定点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积．
参考答案
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15.解：先设圆方程：，
根据题干已知，解得，
所以圆方程为．
设点，，
因为，
所以．
解得，，
又因为点在圆上，因此，
所以点的轨迹方程为．
16.解：四面体中，，，是的中点，是上靠近的三等分点，
，
即．
证明：，
．
所以．
17.解：如图，
以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设二面角为，则该角为锐角，
而，，，，
所以，，
设平面法向量，
所以，
取，得平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
，，，
所以，，
所以，；
设，，
所以，，，，
设平面法向量为，
所以，
取，得平面的一个法向量为，
设与平面的所成角为，
，，，
所以，，
所以，，
令，，，则，
当时，即，时，最小值为，
此时．
18.解：因为是以点为顶点的等腰三角形，
所以边上的中线垂直于线段，
所以边的中线的斜率，又过点，
故边的中线方程为，即；
因为点到直线的距离，
故．
假设存在满足条件，设，，则，即，
当点在轴下方时，即时，即，
所在直线的方程为，令，解得，
直线与轴的交点，
又直线与轴的交点，所以
所以；
，解得或，舍去；
当点在轴或轴上方时，即时，即，
所在直线的方程为，整理得，令，解得，
直线与轴的交点，
所以，
，解得或舍去；
综上，当时，存在点满足题意，
此时，直线的斜率为，
故直线方程为．
19.解：，，
；
设动点为直线上一点，则，
，
即，
当时，；
当时，；
当时，；
综上所述，为；
动点围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形，
其表面积为．
证明如下：
不妨将平移到处，设，
若，则，
当，，时，有，
设，，，
则，，
，
，，，四点共面，
则当，，时，在边长为的等边三角形内部含边界，
同理可知等边三角形内部任意一点，均满足，
可得满足方程的点构成的图形是边长为的等边三角形内部含边界，
由对称性可知，围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形，
故该几何体表面积．
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