湖北省枣阳市育才中学2015-2016学年高一下学期开学考试数学试题

湖北省枣阳市育才中学2015-2016学年度下学期高一年级开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．函数的图象上一点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．在边长为4的等边中，的值等于（ ）
A．16 B． C． D． 8
3．若函数的图象是连续不断的，且，，则下列命题正确的是( )．
A．函数在区间(0 , 1)内有零点
B．函数在区间(1 , 2)内有零点
C．函数在区间(0 , 2)内有零点
D．函数在区间(0 , 4)内有零点
4．下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若集合，且，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的图象为曲线，给出以下四个命题：
①若点在曲线上，过点作曲线的切线可作一条且只能作一条；
②对于曲线上任意一点，在曲线上总可以找到一点，使和的等差中项是同一个常数；
③设函数，则的最小值是0；
④若在区间上恒成立，则a的最大值是1．其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列函数中，满足的单调递增函数是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数y＝sin22x是(　　)．
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
9． 的值是( )
A. B. C. D.
10．已知向量 , 若a//b, 则实数m等于
(A) (B) (C)或 (D)0
11．定义集合运算：设，，则集合的所有元素之和为
A．0 B．2 C． 3 D．6
12．已知，若，则（ ）.
A. B． C. D.
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=，E，F分别是边AB，AC上 的点，
且其中若EF，BC的中点分别为M，N，且 则的最小值是 .
14．已知函数y=f（x）对于任意x∈R有，且当x∈[-1，1]时，，则以下命题正确的是：
①函数数y=f（x）是周期为2的偶函数；
②函数y=f（x）在[2，3]上单调递增；
③函数的最大值是4；
④若关于x的方程有实根，则实数m的范围是[0，2];
⑤当时，.
其中真命题的序号是__ __
15．函数y=2cos 2x+sin2x的最小值
16．函数的值域是 ．
三、解答题（70分）
17．(10分）已知幂函数的图象过点，试求出此函数的解析式，
并作出图象，判断奇偶性、单调性．
18．（本题满分12分）判断函数在上的单调性，并给出证明．
19．(12分）已知．
（１）求函数的最小正周期．
（２）求函数在闭区间上的最小值并求当取最小值时，的取值集合．
20．（满分14分）已知集合.
（Ⅰ）若；
（Ⅱ）若，求实数a.
21．（本小题满分14分）已知函数.
(l)求的单调区间和极值；
(2)若对任意恒成立，求实数m的最大值．
22．（本大题9分）已知是定义在R上的奇函数，当时，
（1）求的表达式；
（2）设0参考答案
1．D
【解析】解：因为，故选D
2．C
【解析】解：因为边长为4的等边中，选C
3．D
【解析】解：因为f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，则f（1），f（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，结合图象
可得函数f（x）必在区间（0，4）内有零点因为f（0）＞0，f（1）f（2）f（4）＜0，则f（1），f（2），f（4）恰有一负两正或三个都是负的，
函数的图象与x轴相交有多种可能，如图所示：
所以函数f（x）必在区间（0，4）内有零点，
故选D．
4．A
【解析】
试题分析：在区间上单调递增，且，，；选项B,C利用指数函数的单调性可排除；选项D：；故选A.
考点：指数函数、幂函数的单调性.
5．A
【解析】
试题分析：由知，故选
考点：集合的交集．
6．C
【解析】
试题分析：对于①，取，设过点的切线切点为，则即……（*），显然（*）式有三解，即过点的切线有三条，故①错；对于②，因为函数的定义域为，所以易得②正确；对于③，，又，即，故③正确；对于④，即，化简可得，当时，恒成立，所以要使即恒成立，所以又，所以，故④正确；所以②③④正确，故选C．
考点：1．导数的几何意义；2．不等式恒成立；3．转化与化归思想．
7．A
【解析】
试题分析：选项A中， ，则且为增函数，故A正确；选项B中，，与不相等，故B错误；同理选项C、D错误．故正确答案选A．
考点：函数的解析式与单调性．
8．D
【解析】y＝sin22x＝＝－cos 4x，则周期为：＝，且为偶函数．
9．C
【解析】，更一般的结论

10．C
【解析】,所以选C
11．D
【解析】因。
12．D
【解析】
试题分析：由
考点：函数求值
13．
【解析】
试题分析：由M，N为EF，BC的中点得：，所以，因为，，所以，因此当时，取最小值.
考点：向量表示
14．①②④
【解析】
试题分析：，所f（x）是周期为2的函数，故①正确；又因为当x∈[-1，1]时，，可知f（x）的图象
由图像可知②正确；由图象可知f（x）=t∈[1，2]，函数在[1，2]上单调递减，所以最大值为5，最小值为4，故③错误；因为x的方程有实根，所以，因为f（x）∈[1，2]，所以∈[0，2]，故m的范围是[0，2]；⑤有图像可知当时，，故⑤错误.
考点：函数的性质.
15．1﹣
【解析】
试题分析：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+=1+
当=2k，有最小值1﹣,故答案为1﹣
考点：二倍角公式, 三角函数的有界性,辅助角公式，三角函数的最值．
16．
【解析】
试题分析：因为函数单调递减，所以，故.
考点：利用函数的单调性求函数的值域.
17．；为非奇非偶函数，由图可知，函数在递减
【解析】依题意设，则，解得．所以，．
其图象大致为：
因为，所以为非奇非偶函数，由图可知，函数在递减．
18．减函数
【解析】
试题分析：证明函数单调性一般采用定义法，从定义域上任取，通过作差的方法比较的大小，若则函数是增函数，若则函数是减函数
试题解析：是减函数．
证明：设，
则
，
，
．在上是减函数．
考点：函数单调性
19．(1) ;(2) ,
【解析】
试题分析：(1)
,故周期;(2) 当即时,为减函数,所以在上减 , 所以当时,取得最小值，此时的集合是.
试题解析：（1）
，
所以
（2）当即时,为减函数,
所以在上减 ,
所以当时,取得最小值，此时的集合是
考点：1.三角恒等变换;2.三角函数的和角公式与差角公式;3.三角函数的性质
20．（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
试题分析：集合的交并补运算常借助于数轴求解，将两集合标注在数轴上，求交集需找两集合重合的部分，两集合交集为空集则需满足两集合无重合部分，求解时集合A需分是否为空集两种情况
试题解析：（Ⅰ）当时 2分
5分
（Ⅱ）当，从而故 符合题意 8分
当时，由于，故有 10分
解得 13分
综上所述实数a的取值范围是 14分
考点：集合的交集运算
21．(1)单增区间，单减区间，极小值；(2).
【解析】
试题分析：(1)先对函数求导得到，然后分别求出以及时的的取值集合，这两个取值集合分别对应函数的单调增区间和单调减区间，根据函数的单调性可知函数在处取得极小值，求出即可；(2)根据，先将式子化简得，，构造函数，利用函数的单调性以及导数的关系，先求出函数的零点，再讨论函数在零点所分区间上的单调性，据此判断函数在点取得最小值，这个最小值即是的最大值.
试题解析：（1) ∵，
∴，
当时，有 ，∴函数在上递增， 3分
当时，有 ，∴函数在上递减， 5分
∴在处取得极小值，极小值为. 6分
(2)
即 ，
又， ， 8分
令 ，
， 10分
令，解得或 （舍），
当时，，函数在上递减，
当时，，函数在上递增， 12分
， 13分
即的最大值为. 14分
考点：1.函数求导；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式恒成立问题；4.利用导数研究函数的极值；5.解不等式
22．(1)f(x)=
（2）a=1,b=
【解析】（1）因为f(x)为奇函数，所以用-x代替x,用-f(x)代替f(x)代入,即可得到x<0的解析式，从而得到f(x)在R上的解析式.
（2）由于0