2024-2025学年江苏省苏州市张家港第一学期高二期中调研测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省张家港市第一学期高二期中调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.空间四边形中，，，，点，分别为，中点，则等于( )
A. B.
C. D.
2.若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则直线的斜率是( )
A. B. C. D.
3.已知动点与两定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
4.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若两直线，平行，则实数的取值集合是
A. B. C. D.
6.已知圆的圆心在直线上，并且圆经过圆与圆的交点，则圆的圆心是( )
A. B. C. D.
7.过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点平分，则三条直线围成的三角形面积为( )
A. B. C. D.
8.已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿着折起，使得点折到点的位置，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知棱长为的正方体，则( )
A. B. 与所成角的大小为
C. 平面与平面的距离为 D. 平面与平面所成角的大小为
10.已知直线，圆，则( )
A. 直线始终与圆相交
B. 直线被圆截得的弦长最大值为
C. 若直线与圆相交于，两点，且，则
D. 若圆上有且只有四个点到直线的距离为，则
11.已知空间四面体，则( )
A. 当，则点在平面内
B. 若该四面体的棱长都为，则异面直线，间的距离为
C. 若为中点，则直线上存在点，使得
D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，，，，则三棱锥的体积是 ．
13.圆与圆关于直线对称，写出两圆的一条公切线： ．
14.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点，，，记的外接圆为圆．
当时，圆的一般式方程是 圆恒过的两个定点是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直三棱柱，为中点，，与交于点．
求证：平面
若是等边三角形且，求证：平面F.
16.本小题分
已知的三个顶点是，，，求：
边上的中线所在直线的方程
边上的高所在直线的方程
的角平分线所在直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，．
求平面与平面的夹角的余弦值
求点到平面的距离
若点为平面内的一动点，若平面，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，．
当时，求证：平面．
当时，
求四边形的面积
求与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点．
当时，求的长；
是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.解：连接，
且，
．
又在中，，
，B.
又平面，平面，
平面．
直三棱柱，
平面，又平面，
，
又是等边三角形，为中点，
，又，，平面，
平面，又平面，
．
在中，，，
在中，，，
，，即，
F.
又，，，平面，
平面F.

16.解： 记的中点为，因为，，所以，
又因为，所以直线的方程为，即．
边所在直线的斜率，
因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为．
又因为边上的高经过点，
所以边上的高所在直线的方程为即．
由，可得的方程为，即．
由，可得的方程为，即．
设的角平分线上的点的坐标为，于是，
整理得：或．
经检验不符合题意．
所以的角平分线所在直线为．
17.解：平面，，，
又，所以，，两两垂直，
以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，
平面的法向量，
设平面的法向量，又，，
，取，所以，
，，
设平面与平面的夹角为，，
所以，．
，设点到平面的距离为，
，
设点到平面的距离为．
为平面内一动点，设，
设，又，，，
代入得，解得点，
，又平面，
且，所以且，
所以，则，
所以，又平面的法向量，
，．
与平面所成角的正弦值为．
18.解设，，，
则，
所以，，
所以
，
所以，即B.
同理，
又，，平面，
所以平面
因为 且，，
所以，，又，
，
，．
又为锐角，所以，，
所以，
所以
连接，交于点，连接，
菱形，，
又，所以．
又，，平面，
所以平面．
方法一：为与平面所成的角，
又，
，
，
又，
，
，
所以，
所以与平面所成角的余弦值为．
方法二：平面的法向量，且，
又，
，
，
又，
所以，，
设与平面所成角为，
，，
，
所以与平面所成角的余弦值为．
19.解：由于，所以直线的斜率为，的方程为，
设圆心到直线的距离为，则，
所以
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则的方程为，圆心到直线的距离为，
则
记中点为，由于为的三等分点，，有
即
解得，
所以
易知，当直线的斜率不存在时，，，不妨取，，
则，，
此时．
直线的斜率存在时，设为，则的方程为，将代入圆的方程得，，
设，，则，，
，所以，
综上，为定值．
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