2024-2025学年福建省莆田八中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省莆田八中高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.给出下列说法，其中不正确的是( )
A. 若是单位向量，且共线，则
B. 若，则，，，四点共面
C. 若，则点是线段的中点
D. 若，，则
2.设，，向量，，，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在四面体中，点在上，且，为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
4.已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知，，，若三向量不能作为空间的一组基底，则实数等于( )
A. B. C. D.
6.若点与关于直线对称，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
7.在棱长为的正四面体中，，分别是，的中点，是的重心，则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. 在上的投影向量为 D.
8.如图，正方体中，，分别是线段，上的动点不含端点，则下列各项中会随着，的运动而变化的是( )
A. 异面直线与直线所成的角的大小
B. 平面与平面所成的角的大小
C. 直线到平面距离的大小
D. 异面直线，之间的距离的大小
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下命题正确的是( )
A. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是
B. 若，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C. 已知，，若与垂直，则
D. 已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为
10.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是( )
A. 的倾斜角等于 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 与直线平行
11.如图，是棱长为的正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心下列结论正确的是( )
A. 平面
B. 与平面所成角的余弦值为
C. 若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有个
D. 若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线的一个方向向量，则与直线的夹角为 ．
13.如图，在平行六面体中，若，，，
，，则 ______．
14.如图，已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是______；的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
斜率是，且经过点；
斜率为，且在轴上的截距为；
经过，两点；
在轴、轴上的截距分别为，；
经过点，且平行于轴．
16.本小题分
在四棱锥中底面为矩形，且，平面，为中点．
求点到直线的距离；
求异面直线，所成角的余弦值．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为．
求证：平面；
若点为棱的中点，求点到平面的距离；
若点为线段上的动点不包括端点，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．
18.本小题分
已知直线过点．
若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程；
已知的一个顶点为，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为求所在直线的方程．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面为菱形，，，上底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点．
若平面，求证：为的中点；
若是直线与平面的交点，试确定的值；
若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积．
参考答案
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15.解：直线斜率是，且经过点，
则直线的方程为，
故直线的一般式方程为．
直线的斜率为，且在轴上的截距为，
则直线的方程为，
故直线的一般式方程为．
直线经过，两点，
则，
所求直线方程为，即．
直线在轴、轴上的截距分别为，，
则，即．
直线平行于轴，
则直线的斜率，
直线经过点，
则直线方程为．
16.解：因为为矩形，所以，
又因为平面，，平面，
所以，，
所以分别以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为，，，
所以，，，，，
所以，
则有，
所以，
所以点到直线的距离．
因为，
所以，
所以异面直线，所成角的余弦值．
17.解：证明：连接，
因为为等边三角形，为的中点，
所以，
又面，面，
所以，
因为，，面，
所以面，
又面，
所以，
由题设四边形为菱形，
所以，
因为，分别为，的中点，
所以，
所以，
因为，，面，面，
所以面．
因为面，，面，
所以，，
又为等边三角形，为的中点，
所以，
则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系：
则，，，，，，，，
平面的一个法向量，，
所以点到平面的距离．
因为，，
设，，
则，
所以，，，
所以，
所以，
由知面，
所以平面的一个法向量，
设平面的法向量，
则，
令，则，，
所以，
所以，，
令，则，
所以，，
因为，
所以，
所以，，
所以锐二面角的余弦值的取值范围为
18.解：当直线在两坐标轴上的截距为时，设直线的方程为，，
将代入得，，解得，故直线的方程为；
当截距不为时，因为直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，
所以设直线的方程为，
将代入得，解得，故直线的方程为，
所以直线的方程为或；
因为，高所在的直线方程为，
所以设直线的方程为，
将代入得，，解得，
故直线的方程为，
联立，解得，故C，
设，因为，则的中点，
在直线上，故，
又在上，故，
联立得，，故B，
所在直线的方程为，即．
19.解：证明：平面，又平面，
且平面平面，
，又为的中点，
为的中点；
取的中点，连接，可得，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设，，
，
，
，，
设平面的法向量，
则，所以，
取，
是直线与平面的交点，
，解得，，
；
设直线与平面所成角为，由知
，，
整理得，解得或舍去，
，，
设平面的一个法向量为，
则，，
取，
点到平面的距离即为点到平面的距离为，
，，，
，
，
．
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