2024-2025学年重庆一中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年重庆一中高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.使得“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
5.若正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
6.函数满足对，且，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，均为正实数，且，则下列选项错误的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
8.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则下列不等式一定成立的有( )
A. 若且，则 B. 若，则
C. 若，，则 D.
10.下列说法正确的是( )
A. 若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件
B. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是
C. 若不等式的解集为，，则不等式的解集为
D. “，”为假命题的充要条件为
11.已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，恒有，且为非零常数，则下列说法正确的有( )
A.
B. 当时，反比例函数与在上的图象有且仅有个交点
C. 当时，在区间上单调递减
D. 当时，在上的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，则集合有______个子集．
13.已知集合，，若且，则实数的取值范围是______．
14.若正实数，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求的值；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数的定义域为，集合．
求；
集合，若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知二次函数的图象过原点，且对任意，恒有．
求的值；
求函数的解析式；
记函数，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
18.本小题分
教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数也即：若，，，，则有，当且仅当时取等利用此结论解决下列问题：
若，，，求的最小值；
若，求的最大值，并求取得最大值时的的值；
对任意，判断与的大小关系并加以严格证明．
19.本小题分
已知定义在上的函数同时满足下列四个条件：
；
对任意，恒有；
对任意，恒有；
对任意，，恒有．
求的值；
判断在上的单调性，并用定义法证明；
若对任意，恒有，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：由，可得：
，解得舍去；
或，解得，
综上，或；
由可得：
，即，解得；
或，解得．
综上可得．
16.解：由，可得，
解得或，
所以或，
又由，可得或，
解得或，
所以或，
所以或；
因为或，所以
当时，，
解得，
当时，则，
由题意可得，
解得，
综上，实数的取值范围是．
17.解：因为不等式恒成立，
令，
所以；
因为为二次函数且图象过原点，
故设，
由，可得，即，
于是有，
由题可得等价于，恒成立，
所以，即，解得，，
所以；
检验知此时满足，，
故；
函数，开口向上，对称轴，
所以在区间上单调递增，
因此时，，
即，
而在上单调递减，
所以时，，
因为对任意，均存在，使得，
等价于，即，
解得．
18.解：因为、、都是正数，
所以由三阶基本不等式，可得，
当且仅当，即时．取等号，可得的最小值为；
当时，由四阶基本不等式可得：
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，的最大值为；
大小关系为，．
证明如下：
由条件可知：，，，时，．
当时，左边，右边，左边右边，不等式成立；
当，时，由阶基本不等式，可知：
不等式左边，
而
，
所以，结合，可知该不等式不能取到等号．
所以，原不等式成立．
19.解：在中，
令，可得，
解得，
又因为对任意，恒有，
所以，
所以；
在上单调递减，证明如下：
由知：对任意，，恒有，
任取，
于是，
因为，所以，
所以，
而对任意时恒有，
故，
即，
所以在上单调递减；
在中，
令，
而，于是，
令，
由知在上单调递减，
又，
可得在上也单调递减，如图：
可知不等式等价于：
对任意，不等式，
或者恒成立，
令，立，
因为开口向下，由图像可知：
不等式
对于，当时，由，
即一定不存在满足．
综上，．
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