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第十四章 整式的乘法与因式分解 单元综合提升卷
一、选择题
1．下列运算正确的（ ）
A． B． C． D．
2．已知： ，则
A．16 B．25 C．32 D．64
3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．9x2+3x＝3x（3x+1）
C．x2+4x﹣4＝（x﹣2）2 D．x2﹣9+4x＝（x+3）（x﹣3）+4x
4．若 ， ，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．把 分解因式得 ，则c的值是（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．1
6．下面有4道题，小明在横线上面写出了答案：① ，② ，③ ，④若 ，则 ．他写对答案的题是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
7．等式 中，括号内应填入（ ）
A． B． C． D．
8．如果 的结果不含x项，则m的值是（ ）
A． B．5 C． D．
9．式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ， ， ，则 的值为 ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11． ．
12．am·a2=a7，则m的值为 .
13．计算：20182-2017×2019= ．
14．计算（1+x）（x﹣1）（x2+1）的结果是 .
15．在实数范围内分解因式： ．
16．把3555，4444，5333由小到大用＜连接为 ．
三、综合题
17．计算：
（1）（－2a＋5b）2；
（2）20022；
（3） ；
（4） ．
18．某同学化简出现了错误，解答过程如下：
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（1）该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ；
（2）写出此题正确的解答过程.
19．甲乙两人共同计算一道整式乘法： ，甲把第二个多项式中 前面的减号抄成了加号，得到的结果为 ，乙漏抄了第二个多项式中 的系数2，得到的结果为 ．
（1）计算出 、 的值；
（2）求出这道整式乘法的正确结果．
20．
（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t ）的值与s、t的值取值有无关系；
（2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值；
（3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
21．已知：两个实数满足．
（1）求的值；
（2）求的值．
22．图1是长为 ，宽为 的长方形，按虚线将它分成四个全等的小长方形，然后拼成如图2的一个正方形图案.
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积（直接用含 ， 的代数式表示）；
（2）分别对（1）中的两个代数式进行化简，并写出你发现的相等关系式；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知 ， ，求 的值.
23．先阅读下面的内容，再解决问题：
例题；若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m和n的值。
解：因为m2+2mn+2n2-6n+9=0，
所以m2+2mn+n2+n2-6n+9=0，
所以(m+n)2+ (n-3)2=0，
所以m+n=0，n-3=0，
所以m=-3，n=3．
问题；
（1）若x2+2y2-2xy+6y+9=0，求x的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=6a+8b-25。且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围。
24．我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab＝等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC BC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
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第十四章 整式的乘法与因式分解 单元综合提升卷
一、选择题
1．下列运算正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，运算错误，不符合题意；
B：，运算错误，不符合题意；
C：，运算正确，符合题意；
D：，运算错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法和乘方运算即可求出答案.
2．已知： ，则
A．16 B．25 C．32 D．64
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ .
故选C.
【分析】利用幂的乘方及同底幂乘法将原式变形为22m·23n=22m+3n，然后代入计算即可.
3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．9x2+3x＝3x（3x+1）
C．x2+4x﹣4＝（x﹣2）2 D．x2﹣9+4x＝（x+3）（x﹣3）+4x
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等式的右边不是乘积的形式，不满足定义，此项不符题意；
B、满足定义，此项符合题意；
C、等式的右边为 ，与等式的左边不相等，此项不符题意；
D、等式的右边不是乘积的形式，不满足定义，此项不符题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义逐项判定即可。
4．若 ， ，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
将 代入上式得： .
∵ ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】由 结合完全平方式即可求出 的值，再由 ，即可求出结果.
5．把 分解因式得 ，则c的值是（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．1
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】将
展开得
，
∴c=2，
故答案为：B．
【分析】计算 可得
，再根据 ，可求出c的值。
6．下面有4道题，小明在横线上面写出了答案：① ，② ，③ ，④若 ，则 ．他写对答案的题是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： ① ，故符合题意；② ，故符合题意；③ ，故不符合题意；④当 时，即 ， ，故符合题意．
①②④符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据多项式乘多项式、同底数幂的除法、积的乘方及平方差整体代入计算逐项判定即可。
7．等式 中，括号内应填入（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：结合题意，可知相同项是-a，相反项是1和-1，
∴空格中应填：1-a.
故答案为：B.
【分析】平方差公式的左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项只有符号不同；右边是完全相同项的平方减去只有符号不同的项的平方，据此即可判断得出答案.
8．如果 的结果不含x项，则m的值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解： ，
∵结果不含x项，
∴ ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】先根据多项式乘法法则将原式展开，再将其化成关于x的二次三项式，最后根据结果不含x项，故可令x项的系数为0，从而列出关于m的一元一次方程求解，即可解答.
9．式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设S= ，
∴（2—1）S=（2—1）
∴S=
=
=
= ，
故答案为：C.
【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可.
10．已知 ， ， ，则 的值为 ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴
故答案为：D
【分析】根据 ， ， 分别求出a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.
二、填空题
11． ．
【答案】1
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】∵ ，
∴ 1.
故答案为：1.
【分析】根据非零数的零次幂为1进行计算.
12．am·a2=a7，则m的值为 .
【答案】5
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： am·a2 =am+2=a7
则m+2=7，m=5，
故答案为5.
【分析】同底数幂的乘法：底数不变，指数相加.
13．计算：20182-2017×2019= ．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=20182-（2018-1）×（2018+1）=20182-20182+1=1，
故答案为：1
【分析】将2017×2019进行分解，可转化为平方差公式，再和前面的进行计算求解即可。
14．计算（1+x）（x﹣1）（x2+1）的结果是 .
【答案】x4-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）（x2+1）
=（x2﹣1）（x2+1）
=x4﹣1.
故答案为：x4﹣1.
【分析】连续两次利用平方差公式即可去掉括号，得出结果.
15．在实数范围内分解因式： ．
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】令
∴ .
故答案为：.
【分析】该二次三项式既不满足完全平方式，也不满足十字相乘法，故利用一元二次方程求根公式解方程来分解因式。
16．把3555，4444，5333由小到大用＜连接为 ．
【答案】5333＜3555＜4444
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】∵3555=35×111=（35）111=243111，
4444=44×111=（44）111=256111，
5333=53×111=（53）111=125111，
又∵256＞243＞125，
∴256111＞243111＞125111，
即5333＜3555＜4444．
故答案为：5333＜3555＜4444
【分析】先根据幂的乘方的逆用把指数化成相同的，再利用底数的大小关系进行比较。
三、综合题
17．计算：
（1）（－2a＋5b）2；
（2）20022；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）解： （－2a＋5b）2
=（-2a）2-20ab+(5b)2
=4a 3-20ab+25b2
（2）解：20022=(2000+2)2=20002+2×2000×2+22=4008004
（3）解：
（4）解：
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式计算得出．
18．某同学化简出现了错误，解答过程如下：
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（1）该同学解答过程从第 步开始出错，错误原因是 ；
（2）写出此题正确的解答过程.
【答案】（1）二；去括号时没有变号
（2）解：正确解答为：
原式=a2+2ab-（a2-b2）
=a2+2ab-a2+b2
=2ab+b2.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）该同学解题过程从第二步开始出错，错误的原因是去括号时第二项没有变号；
故答案为：二，去括号时没有变号；
【分析】（1）根据去括号法则对第二步进行判断；
（2）首先根据单项式与多项式的乘法法则、平方差公式可得原式=a2+2ab-(a2-b2)，然后去括号、合并同类项即可.
19．甲乙两人共同计算一道整式乘法： ，甲把第二个多项式中 前面的减号抄成了加号，得到的结果为 ，乙漏抄了第二个多项式中 的系数2，得到的结果为 ．
（1）计算出 、 的值；
（2）求出这道整式乘法的正确结果．
【答案】（1）解：甲的算式：（3x＋a）（2x＋b）＝6x2＋（3b＋2a）x＋ab＝6x2＋16x＋8，
对应的系数相等，3b＋2a＝16，ab＝8，
乙的算式：（3x＋a）（x-b）＝3x2＋（-3b＋a）x-ab＝3x2-10x-8，
对应的系数相等，-3b＋a＝-10，ab＝8，
∴ ，
解得：
（2）解：根据（1）可得正确的式子：
（3x＋2）（2x-4）＝6x2-8x-8
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）先按甲乙错误的方法得出的系数的数值求出a、b的值即可；
（2）把a、b的值代入原式，再根据多项式乘多项式的法则进行计算即可得出答案。
20．
（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t ）的值与s、t的值取值有无关系；
（2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值；
（3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【答案】（1）解：原式=s2+2st+s-2st-4t2-2t+4t2+2t
=s2+s
∴此代数式的的值与s有关，与t的值无关.
（2）解：（2x2-x+2）（ax-b）=2ax3-2bx2-ax2-2b+2ax+bx=2ax3-（2b+a）x2-2b+（2a+b）x
∵两多项式乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，
∴2a+b=0且-2b=-4
解之：a=-1，b=2
∴ ab=（-1）2=1.
（3）解：设另一个因式为（x+m）
∴ 2x2+3x﹣k=（x+m）（2x-5）= 2x2-5x+2mx-5m
∴-5+2m=3且-5m=-k
解之：m=4，k=20
∴另一个因式为（x+4）.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项，可得到s2+s，化简后的代数式不含t，因此可知此代数式的的值与s有关，与t的值无关.
（2）利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项；根据此展开式中不含x的一次式，且常数项为-4，可得到关于a，b的方程组，解方程求出a，b的值，然后求出 ab的值.
（3）设另一个因式为（x+m），利用多项式乘以多项式的法则。先去括号，再合并同类项，可得到2x2+3x﹣k= 2x2-5x+2mx-5m；然后利用对应项的系数相等，可得到关于m，k的方程组，解方程组求出k，m的值，同时可求出另一个因式.
21．已知：两个实数满足．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先将代数式变形为，再将代入计算即可；
（2）先将代数式变形为，再将代入计算即可。
22．图1是长为 ，宽为 的长方形，按虚线将它分成四个全等的小长方形，然后拼成如图2的一个正方形图案.
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积（直接用含 ， 的代数式表示）；
（2）分别对（1）中的两个代数式进行化简，并写出你发现的相等关系式；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知 ， ，求 的值.
【答案】（1）方法①：∵图2中阴影部分的边长为： ，
∴图2中阴影部分的面积 ，
方法②：利用割补法可得，图2中阴影部分的面积=大正方形的面积-4个长方形的面积，
∴ ；
（2）∵ ，
，
∴相等关系式为： ；
（3）∵ ， ， ，
∴ .
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】(1)方法①直接算出阴影部分小正方形边长为a-b，接着算出面积；方法②：用大正方形面积减4个长方形面积；
（2）先分别计算（1）中方法①、②的面积，发现两个式子相等从而得到关系式；
（3）直接根据（2）中得到的关系代入皆可.
23．先阅读下面的内容，再解决问题：
例题；若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m和n的值。
解：因为m2+2mn+2n2-6n+9=0，
所以m2+2mn+n2+n2-6n+9=0，
所以(m+n)2+ (n-3)2=0，
所以m+n=0，n-3=0，
所以m=-3，n=3．
问题；
（1）若x2+2y2-2xy+6y+9=0，求x的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=6a+8b-25。且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围。
【答案】（1）解：∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+3＝0，
∴x＝﹣3，y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，
即xy的值是9．
（2）解：∵a2+b2＝6a+8b﹣25，
a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∵c是△ABC中最长的边，
且4﹣3＜c＜3+4，
∴ 4＜c＜7
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的性质，由非负数的性质，即可得到x和y的值，求出xy的值即可；
（2）同理用完全平方公式化简式子，结合非负数的性质，计算得到a和b的值，由三角形三边关系，确定c的取值范围即可。
24．我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab＝等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC BC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】（1）20
（2）解：设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2，
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10），
＝152﹣2×（﹣15），
＝225+30，
＝255；
（3）10
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48，
∴ab20，
故答案为：20．
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，那么AC BC＝ab=10，
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴四边形DABE为直角梯形，
则图中阴影部分的面积为：
（a+b）（a+b）（a2+b2），
[（a+b）2﹣（a2+b2）]，
2ab，
＝ab，
＝10，
故答案为：10．
【分析】（1）由ab= 直接计算即可；
（2） 由a2+b2＝（a+b）2﹣2ab进行计算即可；
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，那么AC BC＝ab=10，可证四边形DABE为直角梯形，根据图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）（a2+b2），据此计算即可.
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