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第十三章 轴对称 单元同步精练与测试
一、选择题
1．下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-3），则点A关于 轴对称点的坐标是（ ）
A．（-1，-3） B．（-3，1 ） C．（1，3） D．（-1，3 ）
3．等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角度数是（ ）
A．65° B．50° C．80° D．65°或50°
4．如图，在△A BE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＋BC＝BE，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．60°
C．50° D．55°
5．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．点P（a+2，2a﹣5）关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜-2 B．-2＜a＜
C．- ＜a ＜2 D．a＞
7．已知等腰△ABC的底边BC＝8，且|AC﹣BC|＝2，那么腰AC的长为（ ）
A．10或6 B．10 C．6 D．8或6
8．在数学符号“+，﹣，×，÷，≈，＝，≤，≥，≠，∥中，轴对称图形有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
9．如图，∠AOB＝30 ，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若ΔPQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10
B．
C．20
D．
10．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC=15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=5 的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．8 D．16
二、填空题
11．如图，已知交于点，且，若，，则的长为 ．
12．点P（-6，-9）关于x轴对称的点P′的坐标是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有 个.
14．如图，线段 ， 的垂直平分线 ， 相交于点 .若 ，则 的度数为 .
15．在 中， ， ，点 在斜边 所在的直线上， ，线段 关于 对称的线段为 ，连接 、 ，则 的面积为 ．
16．在等边△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
三、综合题
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（3，1），C（-2，-2）.
（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′（A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′），并直接写出A′，B′，C′的坐标.
（2）求△A′B′C′的面积.
18．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
19．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB=DE，BF=CE．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）GF=GC．
20．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
（1）请判断△EDC的形状并说明理由；
（2）求证OE是线段CD的垂直平分线．
21．在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l 与 l2相交于点O，连接AD，AE， △ADE的周长为6cm .
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长.
22．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E、F，已知MN=6cm.
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM，PN，若∠APB=a，求∠MPN（用含a的代数式表示）；
（3）当∠a=30 ，判定△PMN的形状，并说明理由.
23．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
24．已知 是 的三边长， ，设三角形的周长是 ．
（1）尝试：分别写出 及 的取值范围．
（2）发现：当 为奇数时，求 的最大值和最小值．
（3）联想：若 是小于18的偶数，判断 的形状．
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第十三章 轴对称 单元同步精练与测试
一、选择题
1．下列图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据题意，A、B、D中的图形不是轴对称图形，C是轴对称图形；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的性质，分别进行判断，即可得到答案.
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-3），则点A关于 轴对称点的坐标是（ ）
A．（-1，-3） B．（-3，1 ） C．（1，3） D．（-1，3 ）
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点A（1，-3）关于y轴的对称点A'的坐标是（-1，-3），
故答案为：A．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
3．等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角度数是（ ）
A．65° B．50° C．80° D．65°或50°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
中，．
有两种情况：
①顶角；
②当底角是时，
，
，
，
，
这个等腰三角形的顶角为和．
故答案为：D．
【分析】分两种情况，再利用三角的内角和和等腰三角形的性质求解即可。
4．如图，在△A BE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＋BC＝BE，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．60°
C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】 连接AC，
∵ AE的垂直平分线MN交BE于点C
∴AC=CE，
∴∠CAE=∠E，
∵BC+CE=BE，AB＋BC＝BE，
∴BC+CE=AB+BC
∴AB=BC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，
∴∠B=2∠E，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-4∠E，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°-4∠E+∠E=5∠E=105°
解之：∠E=25°，
∴∠B=2×25°=50°.
故答案为：C.
【分析】 连接AC，利用线段垂直平分线的性质可证得AC=CE，可推出∠CAE=∠E，再利用已知可证得AB=BC，利用等边对等角可得到∠B=∠ACB，利用三角形的外角的性质可证得∠B=2∠E，可表示出∠BAC的度数；再根据∠BAE=105°，可得到关于∠E的方程，解方程求出∠E的度数，即可求出∠B的度数.
5．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：当以AB为腰时，符合条件的点C有4个，即C1、C5、C3、C7，
当以AB为底时，符合条件的C点有6个，即C6、C8、C10、C9、C4、C2，
综上点C的个数为6+4=10.
故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论，即当以AB为腰时，当以AB为底时，分别构造等腰三角形，最后计数即可.
6．点P（a+2，2a﹣5）关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＜-2 B．-2＜a＜
C．- ＜a ＜2 D．a＞
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；轴对称的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P（a+2，2a﹣5）关于y轴的对称点在第二象限，
∴点P在第一象限，
∴ ，
解得：a＞ .
故答案为：D.
【分析】由题意可得点P在第一象限，则根据第一象限的点的横纵坐标都是正数列出不等式组，求解即可得到a的范围.
7．已知等腰△ABC的底边BC＝8，且|AC﹣BC|＝2，那么腰AC的长为（ ）
A．10或6 B．10 C．6 D．8或6
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】因为|AC－BC|＝2，所以AC－BC=±2，又因为BC=8，所以AC=10或AC=6，当AC=10时，此时三角形三边长为：10，10，6，满足构成三角形的条件，当AC=6时，此时三角形三边为：6，6，10，也满足构成三角形的条件，因此符合题意选项A.
【分析】已知等腰△ABC的底边BC＝8，且|AC﹣BC|＝2，根据三边关系定理即可得出答案。
8．在数学符号“+，﹣，×，÷，≈，＝，≤，≥，≠，∥中，轴对称图形有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：在数学符号“+，﹣，×，÷，≈，＝，≤，≥，≠，∥中，轴对称图形有+，﹣，×，÷，＝，∥，共6个.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此分析即可.
9．如图，∠AOB＝30 ，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若ΔPQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10
B．
C．20
D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】设∠POA=θ，则∠POB=30 θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长到E，使ME=PM. 作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN到F，使NF=PN. 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形；
∵OA是PE的垂直平分线， ∴EQ=QP，OP=OE，
同理，OB是PF的垂直平分线， ∴FR=RP，OP=OF，
∴△PQR的周长=EQ+QR+RF=EF，∴OE=OF=OP=10，
且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30 θ)=60 ，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=10， 则△PQR的最小周长为10.
故答案为：A
【分析】分别利用垂直平分线的性质把PQ和PR转换为EQ和RF，则△PQR的周长即为EF的长，结合两点间线段最短，得出这时△PQR的周长最短，再根据垂直平分线的性质，结合∠AOB等于30°，即可判断出△EOF为等边三角形，从而求出EF的长，即ΔPQR的最小周长．
10．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC=15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=5 的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解： 如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC=15，
∴EC=10，FC=AE=5，
∵点M与点F关于BC对称
∴CF=CM=5，∠ACB=∠BCM=45°
∴∠ACM=90°
∴EM==5，
则在线段BC存在点P，即H到点E和点F的距离之和最小为5，
同理在CD、AD、AB上均存在点P到点E和点F的距离之和最小为5，
∴这样的点共有4个.
故答案为：B.
【分析】根据对称图形的特点，结合三角形两边之和大于第三边在BC边上找出使PE+PF的最小的点，经过计算最小点正好是H点，依此类推在CD、AD、AB上均存在一个这样的点，于是问题得以解决.
二、填空题
11．如图，已知交于点，且，若，，则的长为 ．
【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：，
，，
已知：，
，
，
，
故答案为：8．
【分析】根据全等三角形的性质得，，然后根据等腰三角形的判定和性质即可求解．
12．点P（-6，-9）关于x轴对称的点P′的坐标是 ．
【答案】（-6，9）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点P（-6，-9）关于x轴对称的点P′的坐标是（-6，9） 。
故答案为： （-6，9） .
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有 个.
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如下图，
①分别以点A、B为圆心，AB为半径画 圆 A和圆 B，两圆和两坐标轴的交点为所求的P点（与点A、B重合的除外）；
②作线段AB的垂直平分线与两坐标轴的交点为所求的P点（和（1）中重复的只算一次），综上所述符合条件的点P共有6个.
故答案为：6.
【分析】根据等腰三角形的判定定理，利用同圆或等圆的半径相等的特点作图，或利用垂直平分线的性质定理作图，找出与坐标轴的交点即可.
14．如图，线段 ， 的垂直平分线 ， 相交于点 .若 ，则 的度数为 .
【答案】35°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO=OB=OC，
∴∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠A+∠C=∠ABC，
∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，
∴∠DOE=145°，
∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；
故答案为：35°
【分析】连接OB，根据线段垂直平分线的性质得出AO=OB=OC，利用等腰三角形的性质得出∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，继而可得∠A+∠C=∠ABC，利用邻补角的定义得出∠DOE=180°-∠1=145°，根据四边形的内角和可得∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO，据此即得结论.
15．在 中， ， ，点 在斜边 所在的直线上， ，线段 关于 对称的线段为 ，连接 、 ，则 的面积为 ．
【答案】4或8
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】①当点D在线段BC上时，如图：
∵线段AD和线段AE关于AC对称，
∴AD=AE，∠DAC=∠EAC，
∴DF=EF，∠DFC=∠DFA=90 ，
∵ ，
∴ ，
∵AB=AC，∠BAC =90 ，
∴EF=DF= CF= ，AB=AC= ，
∴AF=AC-CF= ，
DE=EF+DF= ，
∴ ；
②当点D在线段BC上时，如图：
∵线段AD和线段AE关于AC对称，
∴AD=AE，∠DAF=∠EAF，
∴DF=EF，∠DFC=90 ，
∵ ，
∴ ，
∵AB=AC，∠BAC =90 ，
∴DF=EF=CF= ，AB=AC= ，
∴AF=AC+CF= ，
DE=EF+DF= ，
∴ ；
故答案为： 或 ．
【分析】分类讨论①当点D在线段BC上，②当点D在线段BC上时，根据对称的性质结合等腰直角三角形的性质分别求得AC、DF=EF=CF的长，从而可求得答案．
16．在等边△ABC所在平面内有点P，且使得△ABP，△ACP，△BCP均为等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①作三边的垂直平分线必在三角形内交于一点，即三角形的外心，这点就是符合要求的P点；
②作BC的垂直平分线，以B点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点是点A，另一点为符合要求的P点；以A点为圆心、AB长为半径画弧，与BC的垂直平分线有两个交点，其中一点为B，另一点是符合要求的P点，∴BC垂直平分线上符合要求的共有四点，除去外心，还要三个点；
③同理AB和AC的垂直平分线也有符合条件的三点；
综上符合条件的P点共有：3×3+1=10个.
故答案为：10.
【分析】三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，符合条件；每条边的垂直平分线和以每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧的交点也符合条件；因为等边三角形的三条边的情况是相同的，求出一边符合条件的个数，则总数可求.
三、综合题
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（3，1），C（-2，-2）.
（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′（A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′），并直接写出A′，B′，C′的坐标.
（2）求△A′B′C′的面积.
【答案】（1）解：如图：
（2）解：△A′B′C′的面积=5×5- =6.5.
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等得出A′，B′，C′的坐标，在坐标平面内描出这些点，再顺次连接这些点即可；
（2）利用割补法△A′B′C′的面积等于一个正方形的面积减去三个三角形的面积。
18．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
【答案】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12
（2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t=12﹣2t，
解得t=4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN
（3）解：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵ ，
∴△ACM≌△ABN，
∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，
y﹣12=36﹣2y，
解得：y=16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等边三角形；（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
19．如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB=DE，BF=CE．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）GF=GC．
【答案】（1）解：∵AB⊥BE，DE⊥BE
∴∠B=∠E=90°
∵BF=CE
∴BF+CF=CF+CE
即 BC=EF
在⊿ABC和⊿DEF中
△ABC≌△DEF (SAS)
（2）解：△ABC≌△DEF
∴∠ACB=∠DFE(全等三角形的对应角相等)
∴GF=GC
（等角对等边）
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义，可证得∠B=∠E，由BF=CE去证明BC=EF，再利用SAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的性质，易证∠ACB=∠DFE，再利用等角对等边，就可证得结论。
20．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
（1）请判断△EDC的形状并说明理由；
（2）求证OE是线段CD的垂直平分线．
【答案】（1）解：△EDC是等腰三角形，
理由是：
∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，
∴DE=CE，
∴△EDC是等腰三角形
（2）证明：∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，
∴DE=CE，∠EDO=∠ECO=90°，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∵DE=EC，
∴OE是线段CD的垂直平分线
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1） △EDC是等腰三角形，理由如下：根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出 DE=CE，根据有两边相等的三角形是等腰三角形即可得出结论；
（2）利用HL判断出 Rt△ODE≌Rt△OCE，根据全等三角形的对应边相等得出 OD=OC，根据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得出点O在线段CD的垂直平分线上，同理点E在线段CD的垂直平分线上，根据两点确定一条直线得出 OE是线段CD的垂直平分线。
21．在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l 与 l2相交于点O，连接AD，AE， △ADE的周长为6cm .
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长.
【答案】（1）解：∵l1，l2 分别是线段AB，AC 的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，
∵△ADE的周长为6cm，
即AD+DE+AE=6cm，
∴BC=6cm
（2）解：如图，
∵l1，l2分别是线段AB，AC的垂直平分线，
∴OA=OC=OB，
∵△OBC的周长为16cm，
即 BC+OC+OB=16cm ，
∴OA+OB=16-6=10(cm)，
∴ OC=5cm，
∴OA=OC=OB =5cm．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AD=BD，AE=CE， 根据三角形周长的计算方法及等量代换、线段的和差得出 AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC， 从而得出答案；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 OA=OC=OB， 根据三角形周长为16得出OA+OB的长，进而得出答案。
22．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E、F，已知MN=6cm.
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM，PN，若∠APB=a，求∠MPN（用含a的代数式表示）；
（3）当∠a=30 ，判定△PMN的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，
∴EM=EO，FN=FO，
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=ME+EF+FN=MN=6cm
（2）解：连接OP，
∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，
∴∠MPA=∠OPA，∠NPB=∠OPB，
∴∠MPN=2∠APB=2ɑ
（3）解：△PMN是等边三角形，理由如下：
∵∠ɑ=30°，
∴∠MPN=60°，
∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，
∴PM=PO，PN=PO，
∴PM=PN，
∴△PMN是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质得到EM=EO，FN=FO，从而求解；
（2）根据轴对称的性质得到∠MPA=∠OPA，∠NPB=∠OPB，进而解答；
（3）由已知可得 ∠MPN=60° ，再由根据轴对称的性质得到 PM=PN ，根据等边三角形的判定定理证明.
23．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
【答案】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中， ，
∴△BAC≌△DAE（SAS）
（2）解：∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°
（3）证明：延长BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中， ，∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA （AAS）∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠BAC=∠DAE，然后利用SAS判断出△BAC≌△DAE，
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠E=45°，根据全等三角形的对应角相等得出∠BCA=∠E=45°，根据三角形的内角和得出∠CAF=45°，然后根据角的和差，由∠FAE=∠FAC+∠CAE算出答案；
（3）延长BF到G，使得FG=FB，首先利用SAS判断出△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质得出AB=AG，∠ABF=∠G，AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，根据等量代换及等角的补角相等得出AG=AD，∠ABF=∠CDA，故∠G=∠CDA，然后利用AAS判断出△CGA≌△CDA，根据全等三角形对应边相等得出CG=CD，根据线段的和差及等量代换即可得出结论。
24．已知 是 的三边长， ，设三角形的周长是 ．
（1）尝试：分别写出 及 的取值范围．
（2）发现：当 为奇数时，求 的最大值和最小值．
（3）联想：若 是小于18的偶数，判断 的形状．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴周长 的取值范围为
（2）解：∵ ，且 为奇数，
∴ 也为奇数，
∵ 的范围为 ，
∴ 的最大值为19，最小值为13
（3）解：∵周长 为小于18的偶数，且取值范围为 ，
∴ 或 ，
当 为16时， ，
当 为14时， ，
当 时， ， 为等腰三角形；
当 时， ， 为等腰三角形，
综上所述， 是等腰三角形．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形的三边关系得出c的范围，继而得出x的范围；
（2）由c为奇数，可得x为奇数，由（1）知x的范围，求出奇数x即可；
（3）根据偶数的定义及x的范围，先求出x，然后求出c的值，利用等腰三角形的判定方法求解即可.
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