人教版数学九年级全册知识点训练营——反比例函数的解题模型
一、一点一垂线型
1．如图， 点 在反比例函数 的图象上， 且点 的横坐标为 轴于点 ．若 的面积是 3 ， 则 的值是( )
A．3 B．6 C．-3 D．-6
2．如图，P是反比例函数 的图象上任意一点，过点 P作PM⊥x轴，垂足为 M.若△POM 的面积等于2，则k的值等于 （ ）
A．-4 B．4 C．-2 D．2
3．（2024·金平模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形的面积为 .
4．（2024·新兴模拟）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点.若，则 .
5．（2024九下·汕头模拟）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
二、一点两垂线型
6．（2024九上·裕华开学考）反比例函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．y随x的增大而减小
C．若矩形的面积为2，则
D．若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是
7．（2024九上·洞口开学考）如图，点M是反比例函数y＝（a≠0）的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影=8，则此反比例函数解析式为
8．（2024八下·海曙期末）如图，平行四边形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴正半轴上，点 在 轴上， 与 轴交于点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．12
9．（2020九上·舒城月考）如图，D为反比例函数 的图象上一点，过D作DE⊥x轴于点E，DC⊥y轴于点C，一次函数y＝－x＋2的图象经过C点，与x轴相交于A点，四边形DCAE的面积为4，求k的值．
三、两点一垂线型
10．（2020九上·宁津期末）如图直线y＝mx与双曲线y= 交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024·丰南模拟）如图，过原点O的直线与反比例函数的图像交于点A、P，过点P作x轴的垂线，点B为垂足，连接，若的面积是5，则 ．
12．（2020九上·阜阳期末）已知：如图所示，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于A、B，作AC⊥ 轴于C，连BC，则△ABC的面积为3，求反比例函数的解析式．
四、两点两垂线型
13．（2024·黄埔模拟） 如图， 在 ABCD中， AB∥x轴， 点B、D在反比例函数. 的图象上，若 ABCD的面积是8， 则k的值是 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
14．（2023九上·巴州月考）如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积 ．
五、两点和原点型
15．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D 为AB 的中点，反比例函数的图象经过点 D，且与BC边相交于点E，连结OD，OE，DE.若△ODE的面积为3，则k的值为 .
16．（2024九下·惠阳模拟）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，过点作轴于点，过点作轴于点，若的面积记为，的面积记为，则 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
17．（2024九下·即墨期末）如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为 ．
18．（2024九下·九江期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图像交于、两点，点的坐标是，点的坐标是．
（1）求出两个函数解析式；
（2）求出的面积；
（3）直接写出满足的的取值范围．
19．（2024·吉安模拟）如图，已知点A的坐标为，将线段OA向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度可得到线段CB．
（1）点C的坐标为 ，点B的坐标为 （均用含m的式子表示）
（2）若点B，C同时落在反比例函数的图象上．
①求m及k的值；
②求的面积
20．（2024八下·东阳期末）某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣的结论．
小龙：如图1，直线与双曲线交于两点，根据中心对称性可以得到．
（1）【轻松探究】
直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，试证明：．
小华：如图2，直线与双曲线联立可得，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合即可．
请完整的写出上述推理过程．
（2）【深入探究】
直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，，试问：还成立吗？请说明理由．
（3）【模型应用】
如图3，直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点．连接．若的面积为，求的值．
六、两曲一平行型
21．（2024八下·杭州月考）如图， 已知 的顶点 分别在反比例函数 和 的图象上， 且 轴. 若 的面积为 3 ， 则 .
22．如图， 平行于 轴的直线与函数 的图象分别相交于点 ， 点 在点 的右侧， 为 轴上的一个动点． 连结 ， 若 的面积为 4 ， 则 的值为 ．
23．如图，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，当点O，A，D在同一条直线上时，的值为 .
24．（2024九下·盐城模拟）如图，点、分别在反比例函数、在第一象限的图象上，轴，且．
（1）若点的坐标为，求的值．
（2）若点、分别在反比例函数、在第一象限的图象上，如图2，，且，与之间的距离为2，连接、，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴k=-6，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数k的几何意义求解。
2．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵ P是反比例函数 的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∴S△POM=|k|，
∵△POM的面积等于2，
∴|k|=2，
∴k=±4，
∵函数图象经过第二象限，
∴k＜0，
∴k=-4.
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|=2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值.
3．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵顶点A在反比例函数上，
∴，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO=AB，
∴OD=BD，
∴，
∵菱形OABC的对角线OB在x轴上，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，根据反比例函数k的几何意义得的面积，然后根据菱形的性质以及等腰三角形的三线合一得OD=BD，再根据三角形中线的性质得的面积是面积的2倍，最后根据菱形的性质求出菱形的面积是的面积的2倍.
4．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接OA，BD，设AB，CD与x轴的交点分别为E，F，
∵点A在反比例函数上，AB⊥x轴，
∴，
∵平行四边形ABCD的对角线交点为坐标原点O，，
∴，
∴，
∵AB⊥x轴，四边形ABCD是平行四边形，
∴CD⊥x轴，
∵点D在反比例函数上，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接OA，BD，设AB，CD与x轴的交点分别为E，F，根据反比例函数k的几何意义求出，再根据平行四边形的性质求出，得，最后再利用反比例函数k的几何意义求出k即可.
5．【答案】（1）y＝2x+1，y＝
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：A、由于图象在第二象限，因此，所以选项A不符合题意；B、y随x的增大而增大，因此选项B不符合题意；
C、由|，而，所以，因此选项C符合题意；
D、若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是，因此选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用反比例函数的图象和性质与系数的关系及反比例函数k的几何意义逐项分析判定即可.
7．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：因为S阴影＝8，所以|a|＝8，
因为图象在二、四象限，所以a＜0，所以a＝ 8，
所以反比例函数解析式为y＝ ．
故填：y＝ ．
【分析】根据反比例函数k的几何意义（对于反比例函数图象上任意一点，作x轴、y轴的垂线，这两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积为常数k）可得|a|＝8，再根据图象在二、四象限可确定a＝ 8，进而得到解析式．
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：作轴于，
，
，
，
，
在第二象限，
，
故答案为：C.
【分析】作AF⊥x轴于F，根据平行四边形及三角形的面积计算公式，由同底等高可得矩形ABOF的面积=平行四边形ABCD的面积=三角形BCE面积的2倍=12，再利用反比例函数k的几何意义可得|k|等于矩形ABOF的面积，最后结合反比例函数图象所在的象限即可求出k的值．
9．【答案】解：由于一次函数y=-x+2的图象经过C点，与x轴相交于A点，
则可求得A（2，0）、C（0，2），即OA=OC=2．
∴S△AOC= ×2×2=2，|k|=S矩形DCOE=4-2=2．
又函数图象位于第二象限，k＜0，
则k=-2．
【知识点】一次函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】此题先由一次函数y=-x+2求得A、C两点坐标，得出△AOC的面积，则矩形DCOE的面积即可求出，再由反比例函数系数k的几何意义及函数图象位于第二象限求得k的值．
10．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】根据双曲线的对称性可得：OA=OB，则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝ |k|＝1，
则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．
故答案为：B．
【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．
11．【答案】5
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两点一垂线型
【解析】【解答】解：由题意得：A、P关于原点对称，
则A、P的纵坐标的绝对值相等，
即与的高相等，底都是，
∴，
∵，
∴，
根据k的几何意义，可得，
故答案为：5.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征可得与面积相等，再根据反比例函数的几何意义即可求出答案.
12．【答案】解：由双曲线与正比例函数 的对称性可知
则 ，设A点坐标为
由图可知，
于是
则 ，即
点A在反比例函数上，所以
所以反比例函数的解析式为 .
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的两点一垂线型
【解析】【分析】根据对称性 ，可得 ，设点A坐标为 ，由面积公式即可求出k的值，从而可得反比例函数的解析式.
13．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】连接OB，
∵四边形ABCD是平行四边形， ABCD的面积是8，
∴△ABC的面积=x ABCD的面积=x8=4，AB=CD，AB//CD，
∴点B、D横坐标互为相反数，
∴点B、D纵坐标也互为相反数，
又∵AB//x轴，AB//CD，
∴OA=OC，
∴S△AOB=S△ABC=2，
∴k= 2S△A0B = S△ABC = 4，
故答案为：B．
【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到△ABC的面积=x ABCD的面积=x8=4，OA=OC，于是得到结论.
14．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，
联立，解得，或，
点A坐标为（-2，2），点B坐标为（2，-2），
AC垂直于y轴，BD垂直于y轴，
且AC=BD=2，
四边形ACBD是平行四边形，
.
故答案为：8.
【分析】根据两个函数的交点坐标就是对应方程组的解，联立两个函数可解得A、B两点的坐标，再根据过A，B两点分别作y轴的垂线，可知四边形ACBD是平行四边形，再利用平行四边形的面积公式计算即可得到答案.
15．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥OC，OA∥BC，
设点B（a，b），则E（a，），
∵点D是AB的中点，
∴D（a，b），
∵点D都在反比例函数的图象上，
∴ab=k，
∴ab=2k，
∵S△ODE = S矩形OCBA- S△AOD- S△OCE - S△BDE，
∴ab-k-k-×a×（b-）=3，
∴2k-k-k-k+k=3，
∴k=4.
故答案为：4.
【分析】由矩形的性质得AB∥OC，OA∥BC，设点B（a，b），根据点的坐标与图形的性质得E（a，），D（a，b），进而根据反比例函数图象上点的坐标特点得ab=k，则ab=2k，然后根据反比例函数k的几何意义、三角形面积计算公式，并结合
S△ODE = S矩形OCBA- S△AOD- S△OCE - S△BDE列出方程，求解即可.
16．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点两垂线型
17．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
18．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过点，，
∴，，
∴，
∴，
反比例函数的解析式为：，
把点，代入中得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
（2）解：∵一次函数的解析式为：，其图象与轴交于点，
令，则，
∴点的坐标为，
∴，
∴的面积为．
（3）解：的的取值范围为：
或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）先用A点坐标求出反比例解析式，在求出B点坐标，A、B两点坐标已知，即可求出直线解析式；（2）先求出直线与x轴交点C的坐标，在将△AOB的面积拆成两部分，即，在分别求出两部分的面积相加即可；（3）由 可知，一次函数的函数值要小于反比例函数的函数值，利用三线四区法间隔法，即可找到满足的取值范围。
19．【答案】（1）；
（2）解：①∵点B，C同时落在反比例函数的图象上，
∴
解得．
②连接AC，OB．如图所示，
由平移得，∴
∵点与点的纵坐标相等，
∴轴．
∴．
∴ ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】解：（1）∵ 线段OA向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度
∴平移后的对应点的横坐标减少6个单位长度，纵坐标增加m个单位长度
∴C，B
【分析】（1）根据平移规则，向左平移，横坐标减6，向上平移，纵坐标加m(m>0)，即可得到平移后C、B两点坐标；
（2）①利用（1）中结论，根据条件可知，平移后B、C两点坐标均满足反比例函数式，代入可得等式： ，解得m=4，k=-24；②构造辅助线连接AC，OB，根据平移先证明，在根据A、C两点纵坐标相等，得出AC∥x轴，在求出的面积，继而得到的面积。
20．【答案】轻松探究：见解析；深入探究：成立，理由见解析；模型应用：15．
（1）解：如图，
联立得，，
在中，令，则，
又∵，
，
∴线段的中点与线段的中点重合
，
；
（2）仍然成立，理由如下：
联立，
，
在中，令，则，
又∵
，
∴线段的中点与线段的中点重合
，
；
（3）解：在中，令，则；令，则，
∴，
是等腰直角三角形，
∴
过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，
由前面可知，
，
∴，
，
，
，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：
轻松探究：联立两函数解析式得到，则，再求出，，进而得到，则线段的中点与线段的中点重合，再由线段的和差关系AE-CE=BE-DE，证明AC=BD；
深入探究：仍然成立，理由如下.联立两函数解析式得到，则，在中，令，则；又因，得，进而得到，则线段的中点与线段的中点重合，再由线段的和差关系AE-CE=BE-DE，证明AC=BD；
模型应用：在中，令，则；令，则，可证明是等腰直角三角形，得到，过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，由前面可知，则可证明，得到，进而证明，则，由反比例函数比例系数的几何应用可得．
21．【答案】3
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：∵轴，
∴yA=yB， 设yA=yB=m，
∴xA=，xB=，
∵ 若 的面积为 3 ，
∴S△OAB = 12×(xB-xA)m=12m(9m-km)=3 ， ∴k=3.
故答案为：3.
【分析】首先可得出yA=yB，设yA=yB=m，然后根据 的面积为 3 ， 即可得出12×(xB-xA)m=12m(9m-km)=3 ，解方程即可得出k=3.
22．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：连接OA、OB，AB与y轴交于点D，如图所示，
由k的几何意义可得，，，
∵AB∥x轴，
∴，
即，
∴
故答案为：8.
【分析】连接OA、OB，AB与y轴交于点D，根据K的几何意义和平行线的性质求解即可。
23．【答案】
【知识点】反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：设A点的坐标为（a，)，C点的坐标为(c，），
∵轴，
∴B点的坐标为（a，)，D点的坐标为（c，).
∴AB=，CD=，
设OA的表达式为y=kx，
将A点坐标代入，得，解得，
∴OA的表达式为.
∵点O，A，D在同一条直线上，
∴D点在OA上，
∴，
∴2c2=9a2，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】先设出A、C两点的坐标，根据平行线的性质，分别表示出B、D的坐标，再表示出CD和AB，求出OA的解析式，根据O，A，D在同一条直线上，将点D坐标代入OA的解析式，求出a和c的关系，最后求出 的值．
24．【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
1 / 1人教版数学九年级全册知识点训练营——反比例函数的解题模型
一、一点一垂线型
1．如图， 点 在反比例函数 的图象上， 且点 的横坐标为 轴于点 ．若 的面积是 3 ， 则 的值是( )
A．3 B．6 C．-3 D．-6
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴k=-6，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数k的几何意义求解。
2．如图，P是反比例函数 的图象上任意一点，过点 P作PM⊥x轴，垂足为 M.若△POM 的面积等于2，则k的值等于 （ ）
A．-4 B．4 C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：∵ P是反比例函数 的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∴S△POM=|k|，
∵△POM的面积等于2，
∴|k|=2，
∴k=±4，
∵函数图象经过第二象限，
∴k＜0，
∴k=-4.
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|=2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值.
3．（2024·金平模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形的面积为 .
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵顶点A在反比例函数上，
∴，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO=AB，
∴OD=BD，
∴，
∵菱形OABC的对角线OB在x轴上，
∴.
故答案为：.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，根据反比例函数k的几何意义得的面积，然后根据菱形的性质以及等腰三角形的三线合一得OD=BD，再根据三角形中线的性质得的面积是面积的2倍，最后根据菱形的性质求出菱形的面积是的面积的2倍.
4．（2024·新兴模拟）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点.若，则 .
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图，连接OA，BD，设AB，CD与x轴的交点分别为E，F，
∵点A在反比例函数上，AB⊥x轴，
∴，
∵平行四边形ABCD的对角线交点为坐标原点O，，
∴，
∴，
∵AB⊥x轴，四边形ABCD是平行四边形，
∴CD⊥x轴，
∵点D在反比例函数上，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接OA，BD，设AB，CD与x轴的交点分别为E，F，根据反比例函数k的几何意义求出，再根据平行四边形的性质求出，得，最后再利用反比例函数k的几何意义求出k即可.
5．（2024九下·汕头模拟）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）y＝2x+1，y＝
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
二、一点两垂线型
6．（2024九上·裕华开学考）反比例函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．y随x的增大而减小
C．若矩形的面积为2，则
D．若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是
【答案】C
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：A、由于图象在第二象限，因此，所以选项A不符合题意；B、y随x的增大而增大，因此选项B不符合题意；
C、由|，而，所以，因此选项C符合题意；
D、若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是，因此选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用反比例函数的图象和性质与系数的关系及反比例函数k的几何意义逐项分析判定即可.
7．（2024九上·洞口开学考）如图，点M是反比例函数y＝（a≠0）的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影=8，则此反比例函数解析式为
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：因为S阴影＝8，所以|a|＝8，
因为图象在二、四象限，所以a＜0，所以a＝ 8，
所以反比例函数解析式为y＝ ．
故填：y＝ ．
【分析】根据反比例函数k的几何意义（对于反比例函数图象上任意一点，作x轴、y轴的垂线，这两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积为常数k）可得|a|＝8，再根据图象在二、四象限可确定a＝ 8，进而得到解析式．
8．（2024八下·海曙期末）如图，平行四边形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴正半轴上，点 在 轴上， 与 轴交于点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：作轴于，
，
，
，
，
在第二象限，
，
故答案为：C.
【分析】作AF⊥x轴于F，根据平行四边形及三角形的面积计算公式，由同底等高可得矩形ABOF的面积=平行四边形ABCD的面积=三角形BCE面积的2倍=12，再利用反比例函数k的几何意义可得|k|等于矩形ABOF的面积，最后结合反比例函数图象所在的象限即可求出k的值．
9．（2020九上·舒城月考）如图，D为反比例函数 的图象上一点，过D作DE⊥x轴于点E，DC⊥y轴于点C，一次函数y＝－x＋2的图象经过C点，与x轴相交于A点，四边形DCAE的面积为4，求k的值．
【答案】解：由于一次函数y=-x+2的图象经过C点，与x轴相交于A点，
则可求得A（2，0）、C（0，2），即OA=OC=2．
∴S△AOC= ×2×2=2，|k|=S矩形DCOE=4-2=2．
又函数图象位于第二象限，k＜0，
则k=-2．
【知识点】一次函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】此题先由一次函数y=-x+2求得A、C两点坐标，得出△AOC的面积，则矩形DCOE的面积即可求出，再由反比例函数系数k的几何意义及函数图象位于第二象限求得k的值．
三、两点一垂线型
10．（2020九上·宁津期末）如图直线y＝mx与双曲线y= 交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】根据双曲线的对称性可得：OA=OB，则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝ |k|＝1，
则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．
故答案为：B．
【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．
11．（2024·丰南模拟）如图，过原点O的直线与反比例函数的图像交于点A、P，过点P作x轴的垂线，点B为垂足，连接，若的面积是5，则 ．
【答案】5
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两点一垂线型
【解析】【解答】解：由题意得：A、P关于原点对称，
则A、P的纵坐标的绝对值相等，
即与的高相等，底都是，
∴，
∵，
∴，
根据k的几何意义，可得，
故答案为：5.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征可得与面积相等，再根据反比例函数的几何意义即可求出答案.
12．（2020九上·阜阳期末）已知：如图所示，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于A、B，作AC⊥ 轴于C，连BC，则△ABC的面积为3，求反比例函数的解析式．
【答案】解：由双曲线与正比例函数 的对称性可知
则 ，设A点坐标为
由图可知，
于是
则 ，即
点A在反比例函数上，所以
所以反比例函数的解析式为 .
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；反比例函数的两点一垂线型
【解析】【分析】根据对称性 ，可得 ，设点A坐标为 ，由面积公式即可求出k的值，从而可得反比例函数的解析式.
四、两点两垂线型
13．（2024·黄埔模拟） 如图， 在 ABCD中， AB∥x轴， 点B、D在反比例函数. 的图象上，若 ABCD的面积是8， 则k的值是 ( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数的两点两垂线型
【解析】【解答】连接OB，
∵四边形ABCD是平行四边形， ABCD的面积是8，
∴△ABC的面积=x ABCD的面积=x8=4，AB=CD，AB//CD，
∴点B、D横坐标互为相反数，
∴点B、D纵坐标也互为相反数，
又∵AB//x轴，AB//CD，
∴OA=OC，
∴S△AOB=S△ABC=2，
∴k= 2S△A0B = S△ABC = 4，
故答案为：B．
【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到△ABC的面积=x ABCD的面积=x8=4，OA=OC，于是得到结论.
14．（2023九上·巴州月考）如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积 ．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，
联立，解得，或，
点A坐标为（-2，2），点B坐标为（2，-2），
AC垂直于y轴，BD垂直于y轴，
且AC=BD=2，
四边形ACBD是平行四边形，
.
故答案为：8.
【分析】根据两个函数的交点坐标就是对应方程组的解，联立两个函数可解得A、B两点的坐标，再根据过A，B两点分别作y轴的垂线，可知四边形ACBD是平行四边形，再利用平行四边形的面积公式计算即可得到答案.
五、两点和原点型
15．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D 为AB 的中点，反比例函数的图象经过点 D，且与BC边相交于点E，连结OD，OE，DE.若△ODE的面积为3，则k的值为 .
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥OC，OA∥BC，
设点B（a，b），则E（a，），
∵点D是AB的中点，
∴D（a，b），
∵点D都在反比例函数的图象上，
∴ab=k，
∴ab=2k，
∵S△ODE = S矩形OCBA- S△AOD- S△OCE - S△BDE，
∴ab-k-k-×a×（b-）=3，
∴2k-k-k-k+k=3，
∴k=4.
故答案为：4.
【分析】由矩形的性质得AB∥OC，OA∥BC，设点B（a，b），根据点的坐标与图形的性质得E（a，），D（a，b），进而根据反比例函数图象上点的坐标特点得ab=k，则ab=2k，然后根据反比例函数k的几何意义、三角形面积计算公式，并结合
S△ODE = S矩形OCBA- S△AOD- S△OCE - S△BDE列出方程，求解即可.
16．（2024九下·惠阳模拟）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，过点作轴于点，过点作轴于点，若的面积记为，的面积记为，则 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点两垂线型
17．（2024九下·即墨期末）如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
18．（2024九下·九江期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图像交于、两点，点的坐标是，点的坐标是．
（1）求出两个函数解析式；
（2）求出的面积；
（3）直接写出满足的的取值范围．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象过点，，
∴，，
∴，
∴，
反比例函数的解析式为：，
把点，代入中得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
（2）解：∵一次函数的解析式为：，其图象与轴交于点，
令，则，
∴点的坐标为，
∴，
∴的面积为．
（3）解：的的取值范围为：
或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）先用A点坐标求出反比例解析式，在求出B点坐标，A、B两点坐标已知，即可求出直线解析式；（2）先求出直线与x轴交点C的坐标，在将△AOB的面积拆成两部分，即，在分别求出两部分的面积相加即可；（3）由 可知，一次函数的函数值要小于反比例函数的函数值，利用三线四区法间隔法，即可找到满足的取值范围。
19．（2024·吉安模拟）如图，已知点A的坐标为，将线段OA向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度可得到线段CB．
（1）点C的坐标为 ，点B的坐标为 （均用含m的式子表示）
（2）若点B，C同时落在反比例函数的图象上．
①求m及k的值；
②求的面积
【答案】（1）；
（2）解：①∵点B，C同时落在反比例函数的图象上，
∴
解得．
②连接AC，OB．如图所示，
由平移得，∴
∵点与点的纵坐标相等，
∴轴．
∴．
∴ ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】解：（1）∵ 线段OA向左平移6个单位长度，再向上平移个单位长度
∴平移后的对应点的横坐标减少6个单位长度，纵坐标增加m个单位长度
∴C，B
【分析】（1）根据平移规则，向左平移，横坐标减6，向上平移，纵坐标加m(m>0)，即可得到平移后C、B两点坐标；
（2）①利用（1）中结论，根据条件可知，平移后B、C两点坐标均满足反比例函数式，代入可得等式： ，解得m=4，k=-24；②构造辅助线连接AC，OB，根据平移先证明，在根据A、C两点纵坐标相等，得出AC∥x轴，在求出的面积，继而得到的面积。
20．（2024八下·东阳期末）某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣的结论．
小龙：如图1，直线与双曲线交于两点，根据中心对称性可以得到．
（1）【轻松探究】
直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，试证明：．
小华：如图2，直线与双曲线联立可得，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合即可．
请完整的写出上述推理过程．
（2）【深入探究】
直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，，试问：还成立吗？请说明理由．
（3）【模型应用】
如图3，直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点．连接．若的面积为，求的值．
【答案】轻松探究：见解析；深入探究：成立，理由见解析；模型应用：15．
（1）解：如图，
联立得，，
在中，令，则，
又∵，
，
∴线段的中点与线段的中点重合
，
；
（2）仍然成立，理由如下：
联立，
，
在中，令，则，
又∵
，
∴线段的中点与线段的中点重合
，
；
（3）解：在中，令，则；令，则，
∴，
是等腰直角三角形，
∴
过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，
由前面可知，
，
∴，
，
，
，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：
轻松探究：联立两函数解析式得到，则，再求出，，进而得到，则线段的中点与线段的中点重合，再由线段的和差关系AE-CE=BE-DE，证明AC=BD；
深入探究：仍然成立，理由如下.联立两函数解析式得到，则，在中，令，则；又因，得，进而得到，则线段的中点与线段的中点重合，再由线段的和差关系AE-CE=BE-DE，证明AC=BD；
模型应用：在中，令，则；令，则，可证明是等腰直角三角形，得到，过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，由前面可知，则可证明，得到，进而证明，则，由反比例函数比例系数的几何应用可得．
六、两曲一平行型
21．（2024八下·杭州月考）如图， 已知 的顶点 分别在反比例函数 和 的图象上， 且 轴. 若 的面积为 3 ， 则 .
【答案】3
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：∵轴，
∴yA=yB， 设yA=yB=m，
∴xA=，xB=，
∵ 若 的面积为 3 ，
∴S△OAB = 12×(xB-xA)m=12m(9m-km)=3 ， ∴k=3.
故答案为：3.
【分析】首先可得出yA=yB，设yA=yB=m，然后根据 的面积为 3 ， 即可得出12×(xB-xA)m=12m(9m-km)=3 ，解方程即可得出k=3.
22．如图， 平行于 轴的直线与函数 的图象分别相交于点 ， 点 在点 的右侧， 为 轴上的一个动点． 连结 ， 若 的面积为 4 ， 则 的值为 ．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：连接OA、OB，AB与y轴交于点D，如图所示，
由k的几何意义可得，，，
∵AB∥x轴，
∴，
即，
∴
故答案为：8.
【分析】连接OA、OB，AB与y轴交于点D，根据K的几何意义和平行线的性质求解即可。
23．如图，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，当点O，A，D在同一条直线上时，的值为 .
【答案】
【知识点】反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：设A点的坐标为（a，)，C点的坐标为(c，），
∵轴，
∴B点的坐标为（a，)，D点的坐标为（c，).
∴AB=，CD=，
设OA的表达式为y=kx，
将A点坐标代入，得，解得，
∴OA的表达式为.
∵点O，A，D在同一条直线上，
∴D点在OA上，
∴，
∴2c2=9a2，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】先设出A、C两点的坐标，根据平行线的性质，分别表示出B、D的坐标，再表示出CD和AB，求出OA的解析式，根据O，A，D在同一条直线上，将点D坐标代入OA的解析式，求出a和c的关系，最后求出 的值．
24．（2024九下·盐城模拟）如图，点、分别在反比例函数、在第一象限的图象上，轴，且．
（1）若点的坐标为，求的值．
（2）若点、分别在反比例函数、在第一象限的图象上，如图2，，且，与之间的距离为2，连接、，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
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