人教版数学九年级全册知识点训练营——反比例函数与一次函数
一、夯实基础
1．（2024九上·新宁月考）一次函数与反比例函数在同一平面坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·桥西开学考）已知，如图一次函数与反比例函数的图像如图示，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
3．（2024九上·桥西开学考）已知，如图一次函数与反比例函数的图像如图示，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
4．（2024九上·长春开学考）已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·邵东月考）若正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ．
6．（2024九上·肇源开学考）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点，与坐标轴分别交于点，．若是的中点，则的值为 ．
7．（2024九上·灵武期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数=的图象与一次函数=kx+b的图象交于A、B两点．若＜，则x的取值范围是 ．
8．（2024九上·哈尔滨开学考）如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C，经过点C的直线与反比例函数图象交于点B，直线与x轴的负半轴交于点E．
（1）如图1，求m的值．
（2）如图2，若点C是线段的中点，作轴于点D，求的面积．
二、能力提升
9．（2024九下·浦东月考）在同一直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·宿迁）如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2024八下·翠屏期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数、是常数，且与反比例函数是常数，且的图象相交于，两点，则不等式的解集是( )
A． B．或
C．或 D．
12．（2024八下·秦淮期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
13．（2024九上·浦东模拟）在平面直角坐标系中，过点，且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是
14．（2024八下·杭州期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数的图象交于点．若，则的取值范围是 ．
15．（2024九下·成都月考）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，，则点D的坐标为
16．（2024九上·岳阳月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
（3）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标；
17．（2024九上·石家庄月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图绳交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为．
（1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式；
（2）直接写出当时，自变量的取值范围；
（3）连接、，求的面积；
（4）已知点P为图中双曲线上的一点，而且，请直接写出点P的坐标．
18．（2024九下·浙江模拟）如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
三、拓展创新
19．（2024·从江模拟）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点已知点的坐标为，点为轴上任意一点如果，那么点的坐标为( )
A． B．
C．或 D．或
20．（2024八下·丰泽期末）如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
21．（2024九下·河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图象上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·甘井子模拟）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是 ．
23．（2024·广元） 已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．
24．（2024九上·石家庄月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与双曲线交于点A（a，4a）（a＞0）和点B（﹣4，n），连接OA，OB，其中．
（1）求双曲线和直线l1的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，将直线l1：y＝kx+b沿着y轴向下平移得到直线l2，且直线l2与双曲线在第三象限内的交点为C，若△ABC的面积为20，求直线l2与y轴的交点坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
2．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
3．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
4．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
5．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
6．【答案】2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
7．【答案】x<0或1【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
8．【答案】（1）8
（2）8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
9．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
10．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
设，直线OA的表达式为y=mx(m≠0)，
∴，
解得：，
∴直线OA的表达式为，
令，
解得：，
∴，
∵AO=AC，AD⊥x轴，
∴OC=2OD=2a，
∵，
∴，
解得：k=4，
故答案为：C.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，设，然后利用待定系数法求出直线OA的表达式为，然后令，解方程求出x的值，从而得点B的坐标，根据等腰三角形“三线合一”性质得OC=2OD=2a，接下来根据三角形面积公式得关于k的方程，解方程求出k的值即可.
11．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解： 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点 ，
观察图象可得：不等式的解集为或，
∴ 不等式的解集为或.
故答案为：C.
【分析】根据图象找出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的部分所对应的自变量的取值范围即可.
12．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
13．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
14．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知：当或时．
故答案为：或．
【分析】y1＞y2，就是y1的图象高于y2的图象所对应的x的范围，观察函数图象并结合两图象的交点A的坐标即可求解．
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；已知正切值求边长
16．【答案】（1）
（2）或
（3）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
17．【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为
（2）当时，自变量的取值范围为或
（3）
（4）点的坐标为或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
18．【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设，
则，
∵点M在x轴上，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）
∴．
∵P点在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据直线上点的坐标特点设，由两点间的距离公式用含x的式子表示出OP的长，根据反比例函数的对称性及直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，利用同底等高三角形面积相等得出，进而根据三角形的面积计算公式建立关于x的方程，求出点P坐标，最后利用反比例函数图象上点的坐标特点即可得到k值．
19．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图，
把点A（1，3）代入y=（k＞0）得，3=，
∴k=3，
∴反比例函数为y=，
设直线AB为y=ax+b，
代入点D（-1，0），A（1，3）得
，
解得，
∴直线AB为y=x+，
解，得或，
∴B（-2，-），
∵S△ABC=9，
∴S△ACD+S△BCD=CD （3+）=9，
∴CD=4，
∵点D（-1，0），点C在x轴上，
∴点C的横坐标为-1+4=3或-1-4=-5，
∴点C的坐标为（-5，0）或（3，0）．
故答案为：D.
【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后将两函数解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据S△ACD+S△BCD=S△ABC=9，求得CD的长度，根据点D的坐标，进而即可求得点C的坐标.
20．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题
21．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；两点之间线段最短；一次函数图象的平移变换
22．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形；一次函数图象的平移变换
23．【答案】（0，4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质
【解析】【解析】解：将点A（2，m）代入得，
．
又A在反比例函数上，
．
反比例函数为．
由翻折的性质得，
可设为，
为．
设直线与直线的交点为，
．
．
又B与C关于直线OA对称，且，
．
又在反比例函数上，
．
或舍去．
．
故答案为：．
【分析】将点A（2，m）代入正比例函数，可得，从而求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式可得，从而得到反比例函数的解析式；再由翻折的性质，得BC⊥OA，由互相垂直直线比例系数乘积等于-1，设为，则为，设直线与直线的交点为，联立直线OA与BC的解析式求出，由轴对称的性质，可得，从而将点C的坐标代入反比例函数解析式求出b可以得解．
24．【答案】（1）y；直线l1的表达式为y＝x+3．
（2）S△AOB＝．
（3）平移后的直线l2与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
1 / 1人教版数学九年级全册知识点训练营——反比例函数与一次函数
一、夯实基础
1．（2024九上·新宁月考）一次函数与反比例函数在同一平面坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
2．（2024九上·桥西开学考）已知，如图一次函数与反比例函数的图像如图示，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
3．（2024九上·桥西开学考）已知，如图一次函数与反比例函数的图像如图示，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
4．（2024九上·长春开学考）已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
5．（2024九上·邵东月考）若正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
6．（2024九上·肇源开学考）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点，与坐标轴分别交于点，．若是的中点，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
7．（2024九上·灵武期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数=的图象与一次函数=kx+b的图象交于A、B两点．若＜，则x的取值范围是 ．
【答案】x<0或1【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
8．（2024九上·哈尔滨开学考）如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C，经过点C的直线与反比例函数图象交于点B，直线与x轴的负半轴交于点E．
（1）如图1，求m的值．
（2）如图2，若点C是线段的中点，作轴于点D，求的面积．
【答案】（1）8
（2）8
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
二、能力提升
9．（2024九下·浦东月考）在同一直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
10．（2024·宿迁）如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
设，直线OA的表达式为y=mx(m≠0)，
∴，
解得：，
∴直线OA的表达式为，
令，
解得：，
∴，
∵AO=AC，AD⊥x轴，
∴OC=2OD=2a，
∵，
∴，
解得：k=4，
故答案为：C.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，设，然后利用待定系数法求出直线OA的表达式为，然后令，解方程求出x的值，从而得点B的坐标，根据等腰三角形“三线合一”性质得OC=2OD=2a，接下来根据三角形面积公式得关于k的方程，解方程求出k的值即可.
11．（2024八下·翠屏期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数、是常数，且与反比例函数是常数，且的图象相交于，两点，则不等式的解集是( )
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解： 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点 ，
观察图象可得：不等式的解集为或，
∴ 不等式的解集为或.
故答案为：C.
【分析】根据图象找出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的部分所对应的自变量的取值范围即可.
12．（2024八下·秦淮期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，下列说法：①反比例函数的关系式；②根据图像，当时，x的取值范围为或；③若点P在x轴上，且，点P的坐标．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
13．（2024九上·浦东模拟）在平面直角坐标系中，过点，且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
14．（2024八下·杭州期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数的图象交于点．若，则的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知：当或时．
故答案为：或．
【分析】y1＞y2，就是y1的图象高于y2的图象所对应的x的范围，观察函数图象并结合两图象的交点A的坐标即可求解．
15．（2024九下·成都月考）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，，则点D的坐标为
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；已知正切值求边长
16．（2024九上·岳阳月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
（3）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标；
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
17．（2024九上·石家庄月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图绳交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为．
（1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式；
（2）直接写出当时，自变量的取值范围；
（3）连接、，求的面积；
（4）已知点P为图中双曲线上的一点，而且，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为
（2）当时，自变量的取值范围为或
（3）
（4）点的坐标为或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
18．（2024九下·浙江模拟）如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设，
则，
∵点M在x轴上，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）
∴．
∵P点在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据直线上点的坐标特点设，由两点间的距离公式用含x的式子表示出OP的长，根据反比例函数的对称性及直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，利用同底等高三角形面积相等得出，进而根据三角形的面积计算公式建立关于x的方程，求出点P坐标，最后利用反比例函数图象上点的坐标特点即可得到k值．
三、拓展创新
19．（2024·从江模拟）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点已知点的坐标为，点为轴上任意一点如果，那么点的坐标为( )
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图，
把点A（1，3）代入y=（k＞0）得，3=，
∴k=3，
∴反比例函数为y=，
设直线AB为y=ax+b，
代入点D（-1，0），A（1，3）得
，
解得，
∴直线AB为y=x+，
解，得或，
∴B（-2，-），
∵S△ABC=9，
∴S△ACD+S△BCD=CD （3+）=9，
∴CD=4，
∵点D（-1，0），点C在x轴上，
∴点C的横坐标为-1+4=3或-1-4=-5，
∴点C的坐标为（-5，0）或（3，0）．
故答案为：D.
【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后将两函数解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据S△ACD+S△BCD=S△ABC=9，求得CD的长度，根据点D的坐标，进而即可求得点C的坐标.
20．（2024八下·丰泽期末）如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题
21．（2024九下·河北模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图象上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；两点之间线段最短；一次函数图象的平移变换
22．（2024·甘井子模拟）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形；一次函数图象的平移变换
23．（2024·广元） 已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．
【答案】（0，4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质
【解析】【解析】解：将点A（2，m）代入得，
．
又A在反比例函数上，
．
反比例函数为．
由翻折的性质得，
可设为，
为．
设直线与直线的交点为，
．
．
又B与C关于直线OA对称，且，
．
又在反比例函数上，
．
或舍去．
．
故答案为：．
【分析】将点A（2，m）代入正比例函数，可得，从而求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式可得，从而得到反比例函数的解析式；再由翻折的性质，得BC⊥OA，由互相垂直直线比例系数乘积等于-1，设为，则为，设直线与直线的交点为，联立直线OA与BC的解析式求出，由轴对称的性质，可得，从而将点C的坐标代入反比例函数解析式求出b可以得解．
24．（2024九上·石家庄月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与双曲线交于点A（a，4a）（a＞0）和点B（﹣4，n），连接OA，OB，其中．
（1）求双曲线和直线l1的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，将直线l1：y＝kx+b沿着y轴向下平移得到直线l2，且直线l2与双曲线在第三象限内的交点为C，若△ABC的面积为20，求直线l2与y轴的交点坐标．
【答案】（1）y；直线l1的表达式为y＝x+3．
（2）S△AOB＝．
（3）平移后的直线l2与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
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