中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章 圆 单元综合能力测评卷
一、选择题
1．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么 与 的关系是（ ）
A． = B． ＞
C． ＜ D．不能确定
2．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（ ）
A．∠A﹦∠D B．CE﹦DE C．∠ACB﹦90° D．CE﹦BD
3．过钝角三角形的三个顶点作圆，其圆心在（ ）
A．三角形内 B．三角形上
C．三角形外 D．以上都有可能
4．如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA＝OB＝OC＝2，则这朵三叶花的面积为（ ）
A．3π﹣3 B．3π﹣6 C．6π﹣3 D．6π﹣6
5．正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．往直径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为 ，则水面 的宽度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在⊙O中， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长.”则CD为（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
9．图，抛物线的图像与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P在射线AB运动，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则AP的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3.5
10．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为（ ）
A．3或 B．3或 C．5或 D．5或
二、填空题
11．直角三角形的直角边分别为4和3，则此三角形的外接圆直径是 .
12．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为，则该弧的度数为 °.
13．如图，在半径为 的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD= ，且AE：BE =1：3，则AB= .
15．如图，⊙P与x轴交于点A(-5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB=60°，则点C的纵坐标为 .
16．如图，半径为 2 的⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 C，F，则图中阴影部分的面积为 .
三、综合题
17．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；
（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
18．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC
（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC。
19．
（1）解方程：
（2）如图，正六边形 的边长为2，以点C为圆心， 长为半径画弧，求弧 的长．
20．在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．
（1）若油面宽AB=16dm，求油的最大深度．
（2）在（1）的条件下，若油面宽变为CD=30dm，求油的最大深度上升了多少dm？
21．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC于点H，点D在优弧BC上
（1）若∠AOB=50°，求∠ADC的度数；
（2）若BC=8，AH=2，求⊙O的半径.
22．如图，AB是圆O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D，若BC＝8，ED＝2
（1）求圆O的半径．
（2）求AC的长．
23．背景：用圆规和没有刻度的直尺作图具有以下基本事实保证：已知圆心和半径能作一个圆且只能作一个圆；经过两点能作且只能作一条直线.尺规作图的原理是：通过圆、直线相交作出点，连接两点作线段，并进一步由线段组成各种图形.
问题：已知圆心 和半径 可以作 .在 上任意取两点 ， ，连同圆心 得到三个点，过其中的任意两点可以作直线与 相交.
（1）基于已知的三个点用直尺作出尽可能多的不同长度的线段，写出作法，并指出作出的线段；
（2）若 ，用含有 ， 的式子写出能作出的所有线段的长度，请简要写出计算过程；
（3）能统一用一个公式写出能作出的所有线段的长度吗？
24．如图1， 为 的直径， 于点 ，点 为 上一点， 的延长线交 于点 ， ．点 为 的中点，连接 ．
（1）判断 的形状，并说明理由；
（2）求证： ；
（3）如图2，连接 并延长，过点 做 ，交 的延长线于点 ，求证： 是 的切线．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章 圆 单元综合能力测评卷
一、选择题
1．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么 与 的关系是（ ）
A． = B． ＞
C． ＜ D．不能确定
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，
故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可知，题目中缺少了条件“在同圆或等圆中”。
2．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（ ）
A．∠A﹦∠D B．CE﹦DE C．∠ACB﹦90° D．CE﹦BD
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：B、∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E．∴CE=DE．故B成立；
A、根据同弧所对的圆周角相等，得到∠A=∠D，不符合题意；
C、根据直径所对的圆周角是直角即可得到，不符合题意；
D、CE=DE，而△BED是直角三角形，则DE＜BD，则该项不成立，符合题意．
故答案为：D
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D；
（2）根据垂径定理可得CE=DE；
（3）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=；
（4）根据垂径定理可得CE=DE，而△BED是直角三角形，则DE＜BD，即CE＜BD。
3．过钝角三角形的三个顶点作圆，其圆心在（ ）
A．三角形内 B．三角形上
C．三角形外 D．以上都有可能
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】过三角形的三个顶点的圆是三角形外接圆，
当过锐角三角形三个顶点，圆心在三角形内部；
当过直角三角形三个顶点，圆心在三角形斜边上；
当过钝角三角形三个顶点，圆心在三角形外部.
故答案为：C.
【分析】根据过三角形的三个顶点的圆是三角形外接圆，再利用锐角三角形、直角三角形、钝角三角形外心位置不同得出答案.
4．如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA＝OB＝OC＝2，则这朵三叶花的面积为（ ）
A．3π﹣3 B．3π﹣6 C．6π﹣3 D．6π﹣6
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示：弧OA是⊙M上满足条件的一段弧，连接AM、MO，
由题意知：∠AMO＝90°，AM＝OM
∵AO＝2，∴AM＝ .
∵S扇形AMO＝ ×π×MA2＝ .
S△AMO＝ AM MO＝1，
∴S弓形AO＝ ﹣1，
∴S三叶花＝6×（ ﹣1）
＝3π﹣6.
故答案为：B.
【分析】 弧OA是⊙M上满足条件的一段弧，连接AM、MO，由题意先算出三叶花即一个小弓形的面积，再算三叶花的面积．而一个小弓形的面积＝扇形面积 三角形的面积．
5．正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，AE＝OE，
∴OE＝ OA＝ ×4＝2 ，
故答案为：A.
【分析】连接OA、OE，由圆的切线垂直于过切点的半径可得OE⊥AB，由正方形的性质可得∠OAE＝45°，所以可得△AOE是等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形AOE中用勾股定理可求解.
6．往直径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为 ，则水面 的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】如图，连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交圆O于点C，则AB=2BD，
∵圆的直径为26cm，
∴圆的半径r=OB=13cm，
由题意可知，CD=8cm，
∴OD=13-8=5（cm），
∴ ，
∴AB=24cm，
故答案为：D.
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交圆O于点C，由题意可知CD为8，然后根据勾股定理求出BD的长，进而可得出AB的长.
7．如图，在⊙O中， ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】∵ ，
∴∠B=∠ACB，
∵∠BAC+∠B+∠ACB= ， ，
∴ =∠B= .
故答案为：D.
【分析】根据 ，得到∠B=∠ACB，利用∠BAC+∠B+∠ACB= ， ，即可得到 =∠B= .
8．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长.”则CD为（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，
设OA=OD=r，则OE=r-1，
∵AB⊥CD
∴AE=AB=×10=5
在Rt△AOE中
AO2=AE2+OE2即r2=52+（r-1）2
解之：r=13.
∴CD=2r=2×13=26.
故答案为：C.
【分析】连接OA，设OA=OD=r，可表示出OE的长，利用垂径定理求出AE的长；在Rt△AOE中利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值，然后求出CD的长.
9．图，抛物线的图像与x轴交于点A，B，交y轴于点C，动点P在射线AB运动，作△BCP的外接圆⊙M，当圆心M落在该抛物线上时，则AP的值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3.5
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：令 ，，解得或，
故 ， ，
令，则， ，
线段的垂直平分线为，
的外接圆的圆心在线段的垂直平分线上，
由，解得或（舍弃），
点坐标为，
如图1中，作于，
，，
，
，.
故答案为：A.
【分析】△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上，然后求出直线y=-x与抛物线的交点，即得点M，再确定点P并求出AP的长即可.
10．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为（ ）
A．3或 B．3或 C．5或 D．5或
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x.
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋PB2，
∴x2＝42＋（8 x）2，
∴x＝5，
∴CP＝5；
如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形.
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB＝ = ，
∴CP=8- .
综上所述，CP的长为5或8- .
【分析】分两种情况，如图1中，当⊙P与直线CD相切时，如图2中当⊙P与直线AD相切时，据此分别解答即可.
二、填空题
11．直角三角形的直角边分别为4和3，则此三角形的外接圆直径是 .
【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理得：AB= ，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是5；
故答案为：5.
【分析】利用勾股定理求出AB=5，由∠ACB=90°，可得AB是⊙O的直径，即得结论.
12．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为，则该弧的度数为 °.
【答案】90
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵半径为6的圆上，一段圆弧的长度为，
∴，
故答案为：90.
【分析】根据弧长计算公式“”代入计算即可.
13．如图，在半径为 的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥DE于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝ ，
∵弦AB、DE互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥DE于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝ OM＝ ，
故答案为： .
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥DE于N，连接OB，OD，由垂径定理及勾股定理，可求出OM＝ON=1，然后易证四边形MONP是矩形，由OM=ON可得四边形MONP是正方形，从而可得OP＝ OM=.
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD= ，且AE：BE =1：3，则AB= .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，设AB=4x，
∵AE：BE =1：3，∴AE= x，BE=3x，.
∵AB为⊙O的直径，∴OE= x，OD=2x.
又∵弦CD⊥AB于点E， CD= ，∴DE=3.
在Rt△ODE中， ，
即 ，解得 .
∴AB=4x= .
故答案为：
【分析】连接OD，设AB=4x，用含x的代数式表示出AE，BE，OD的长；利用垂径定理可求出DE的长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到AB的长。
15．如图，⊙P与x轴交于点A(-5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB=60°，则点C的纵坐标为 .
【答案】+
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，过P点作PH⊥AB于H点，PD⊥OC于D点，连接PA、PB、PC，
∵A（-5，0），B（1，0），
∴OA＝5，OB＝1，
∴AB=6，
∵PH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝3，
∴OH＝2，
∵∠ACB=60°，
∴∠APB＝2∠ACB＝2×60°＝120°，
∴∠APH＝60°，∠PAH=30°，
∵在Rt△PAH中，PH＝AH＝，
∴PA＝2PH＝，
∵∠PHO＝∠PDO＝∠HOD＝90°，
∴四边形PHOD为矩形，
∴OD＝PH＝，PD＝OH＝2，
∵在Rt△PCD中，PC＝PA＝，PD＝2，
∴CD＝=＝，
∴OC＝OD+CD＝+ ，
∵点C在y轴的正半轴，
∴点C的纵坐标为+.
故答案为：+.
【分析】过P点作PH⊥AB于H点，PD⊥OC于D点，连接PA、PB、PC，易得AB=6，根据垂径定理得到AH＝BH＝3，则OH＝2，再根据圆周角定理得到∠APB＝2∠ACB＝120°，则∠APH＝60°，再由含30度角的直角三角形三边的关系计算出PH、PA的长度 ，易得四边形PHOD为矩形，从而得到OD、 PD的长，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到OC的长，即可求出点C的纵坐标．
16．如图，半径为 2 的⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 C，F，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接OF，OC，CF，过点O作 于点H，交FC于点P，
在四边形OCDH中， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
同理∠FOH=60°，
∵OC=OF，
∴OP垂直平分FC，
在Rt△OPC中， ， ，OC=2，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
过点D作 ，过点E作 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理可得， ，
在Rt△DMC中， ，
∴ ，
在Rt△EFN中， ，
∴ ，
∴ ，
∵EF=DE=CD=NM，
∴ ，
，
∴ ，
则 ，
∴ ，
，
∴阴影部分的面积= ，
故答案为： .
【分析】连接OF，OC，CF，过点O作OH⊥ED于点H，交FC于点P，利用四边形内角和为360°可得∠COH=60°，∠FOH=60°，利用内角和定理可得∠OCP=30°，则OP= OC=1，由勾股定理可得PC，进而求出FC，过点D作DM⊥FC，过点E作EN⊥FC，则∠PCD=∠OCD-∠OCP=60°，同理可得∠PFE=60°，由内角和定理可得∠MDC=30°，∠FEN=30°，则MC= DC，NF= EF，则FC=FN+NM+MC=2ED，ED=CD=EF=NM，据此可得MC、DM，然后根据S阴影=S△OFC+SFEDC- 进行计算.
三、综合题
17．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；
（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
【答案】（1）解：
BC∥MD．
理由：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∠D=∠CBM，
∴∠M=∠D=∠C=∠CBM，
∴BC∥MD.
（2）解：
∵AE=16，BE=4，
∴OB==10，
∴OE=10﹣4=6，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CE=CD，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得CE=8，
∴CD=2CE=16.
（3）解：如图2， ∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=×90°=30°．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠C=∠CBM，由此即可得出结论；
（2）先根据AE=16，BE=4得出OB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE的长，进而得出结论；
（3）根据题意画出图形，根据圆周角定理可知，∠M=∠BOD，由∠M=∠D可知∠D=∠BOD，故可得出∠D的度数．
18．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图1，AC=BC
（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC。
【答案】（1）解：如图1，
直径CD为所求；
（2）解：如图2，
弦AD为所求．
【知识点】垂径定理；切线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．
【分析】此题考查了圆的应用，根据垂径定理，切线的性质即可解答问题。
19．
（1）解方程：
（2）如图，正六边形 的边长为2，以点C为圆心， 长为半径画弧，求弧 的长．
【答案】（1）解： ，
，
，
∴ ，
∴ ， ．
（2）解：六边形 是正六边形，
∴
∴弧 的长为 ．
【知识点】配方法解一元二次方程；弧长的计算
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）先求出∠BCD=120°，再利用弧长公式计算求解即可。
20．在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．
（1）若油面宽AB=16dm，求油的最大深度．
（2）在（1）的条件下，若油面宽变为CD=30dm，求油的最大深度上升了多少dm？
【答案】（1）解：作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，
∴AF= AB=8，
由勾股定理得，OF= =15，
则GF=OG-OF=2dm；
（2）解：连接OC，
∵OE⊥CD，
∴CE= EF=15，
OE= =8，
则EF=OG-OE-FG=7dm，
答：油的最大深度上升了7dm．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】(1)作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，根据垂径定理求出AF的长，根据勾股定理求出OF，计算即可；(2)连接OC，根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出答案．
21．如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC于点H，点D在优弧BC上
（1）若∠AOB=50°，求∠ADC的度数；
（2）若BC=8，AH=2，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：∵半径OA⊥弦BC于点H，
∴ ，
∴∠ADC= ∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠ADC=25°
（2）解：∵半径OA⊥弦BC于点H，
∴BH= BC，
∵BC=8，
∴BH=4，
设HO=x，则AO=BO=x+2，
在Rt△BHO中，BO2=HO2+BH2，
∴（x+2）2=x2+42，
解得：x=3，
∴AO=5.
答：⊙O的半径为5.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得 ，再根据圆周角定理可得∠ADC= ∠AOB，进而可得答案；（2）根据垂径定理可得BH=4，设HO=x，则AO=BO=x+2，在Rt△BHO中利用勾股定理可得（x+2）2=x2+42，解方程可得x的值，从而可得答案.
22．如图，AB是圆O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D，若BC＝8，ED＝2
（1）求圆O的半径．
（2）求AC的长．
【答案】（1）解：∵OD⊥BC，
∴BE＝CE＝ BC＝4，
设⊙O的半径为R，则OE＝OD﹣DE＝R﹣2，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：
OE2+BE2＝OB2，即（R﹣2）2+42＝R2，
解得：R＝5，
∴⊙O的半径为5．
（2）解：∵OA＝OB，EC＝EB，
∴OE为△BAC的中位线
∴AC＝2OE，
∵OE＝OD－DE＝5﹣2＝3，
∴AC＝2×3＝6．
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由OD⊥BC，则BE＝CE＝ BC＝4，在Rt△OEB中，由勾股定理就可以得到关于半径的方程，可以求出半径；（2）求出OE，利用三角形的中位线性质定理解决问题即可．
23．背景：用圆规和没有刻度的直尺作图具有以下基本事实保证：已知圆心和半径能作一个圆且只能作一个圆；经过两点能作且只能作一条直线.尺规作图的原理是：通过圆、直线相交作出点，连接两点作线段，并进一步由线段组成各种图形.
问题：已知圆心 和半径 可以作 .在 上任意取两点 ， ，连同圆心 得到三个点，过其中的任意两点可以作直线与 相交.
（1）基于已知的三个点用直尺作出尽可能多的不同长度的线段，写出作法，并指出作出的线段；
（2）若 ，用含有 ， 的式子写出能作出的所有线段的长度，请简要写出计算过程；
（3）能统一用一个公式写出能作出的所有线段的长度吗？
【答案】（1）解：根据两点确定一条直线，依次画直线AB、直线AO交圆于点C、直线BO交圆于点D，根据线段的定义，依次连接AC、BD、AB，
故所有线段有：AC、AO、AB、AD、BO、BC、OC、BD、OD；
（2）解：因BC、AD是直径，
（3）解： ，
因BC、AD是直径，
.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据两点确定一条直线可求解；
（2）由直径所对的圆周角是直角可得∠CAB=∠ABD=90°，然后在直角三角形ABD中，用勾股定理可求解；
（3）用勾股定理可求解.
24．如图1， 为 的直径， 于点 ，点 为 上一点， 的延长线交 于点 ， ．点 为 的中点，连接 ．
（1）判断 的形状，并说明理由；
（2）求证： ；
（3）如图2，连接 并延长，过点 做 ，交 的延长线于点 ，求证： 是 的切线．
【答案】（1）解：等腰三角形
证明：如图1 连接
∵ 为 的直径， 于点
∴
∵ （同弧所对圆周角相等）
∵ ，∴
∴ ，∴ ．
∴ 是等腰三角形
（2）证明：如图2 连接 ， ，
在 与 中
∴ ≌
∴
∵ 点 为 的中点
∴
利用角平分线的性质得
（3）解：∵ ≌
∴
∵ ，
∴
又∵
∴
∴ 、 、 三点共线
∵ ， ，
∴四边形 为矩形
∴
∴ 是 的切
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出
，再求出
，最后进行求解即可；
（2）先证明
≌ ，再求出
，最后进行求解即可；
（3）根据全等求出
，再求出
，最后证明求解即可。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
