2024-2025浙江省台州市“十校联盟”高二（上）期中联考数学试题（含答案）

2024-2025浙江省台州市“十校联盟”高二（上）期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则( )
A. B. C. D.
3.若点在圆的内部，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.空间四边形中，，，，点在上，且为中点，为中点，则等于( )
A. B.
C. D.
5.已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
6.方程表示椭圆的充要条件是( )
A. B.
C. D. 或
7.如图所示，正方体的棱长为，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线与直线垂直 B. 三棱锥的体积为
C. 直线与平面平行 D. 直线与平面所成的角为
8.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有( )
A.
B. 向量与的夹角的余弦值为
C. 点关于轴的对称点坐标为
D. 直线的一个方向向量
10.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是( )
A. 的一个方向向量为 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 点到直线上的点的最短距离是
11.已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是( )
A. 若圆关于直线对称，则
B. 的最小值为
C. 若，，，为坐标原点四点共圆，则
D. 当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率是 ．
13.直线关于直线对称的直线的方程为 ．
14.已知实数，满足，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求经过直线与直线的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
与直线平行
与直线垂直．
16.本小题分
如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为的正方形，，底面，、分别为、的中点，．
求证：平面
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知直线及圆．
求证直线过定点，并求出圆心到直线距离最大时的值
若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上不与点，重合．
求证：平面平面．
求二面角的平面角的余弦值．
直线能与平面垂直吗若能，求出的值若不能，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为为坐标原点，过点、的圆交直线于两、点，直线、分别交椭圆于、点．
求椭圆的方程
记直线，的斜率分别为、，求的值
证明：直线过定点，并求该定点坐标．
参考答案
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15.解：由，解得，即点，
设所求直线方程为，则，解得，
所以所求直线方程为；
由知，点，设所求直线方程为，
则，解得，
所以所求方程为．
16.证明：因为四边形为正方形，底面，所以，，两两相互垂直，
如图，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，，
故，即，令，得，
所以，
所以，又平面，所以平面．
由平面的一个法向量为，，
设点到平面的距离为，则则
所以点到平面的距离为．
17.解：证明：因为直线，，
所以直线过定点，
圆，所以定点在圆上，圆心，半径为当圆心到直线距离最大时直线与圆相切，此时有：，所以
设点到直线的距离为，利用勾股定理得：
同时利用圆心到直线的距离：，解得
18.解：因为平面，所以，，又，
则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，，平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
解：由知是平面的一个法向量，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，，所以，
所以，
又由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为；
由得，，，，
设，则，可得，
所以，
由知是平面的一个法向量，
若平面，可得，则，该方程无解，
所以直线不能与平面垂直．
19.解：由题意得：，，则，
所以椭圆的方程为．
设，则圆：，
因为圆过，则，
所以．
．
设直线：，，
由得，
则，
由可知，
又，
所以，
即，
把代入并整理得：，
解得：或．
时直线过点，不合题意，舍去，
故，此时直线，恒过定点
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