人教版数学九年级全册知识点训练营——反比例函数的实际应用
一、夯实基础
1．（2024九下·潍坊模拟）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九下·长春高新技术产业开发月考）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为
B．容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大
C．当时，
D．当时，
3．（2024·大连模拟）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系，其图象是如图所示的曲线．若该路段限速，则汽车通过该路段至少需要（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·大庆期末）为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于，才能有效杀灭新冠病毒．如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例，消毒液挥发时，与成反比例，则此次消杀的有效作用时间是 min．
5．（2024九下·河南模拟）生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系，其中段可以看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米．其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求出口C点到的距离的长；
（3）若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于3米，则Q到的距离至少是多少米？
二、能力提升
6．（2024九上·沅江开学考）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．I与R的函数表达式是
C．当时，
D．当时，则
7．（2024九下·江阳模拟）李白《望天门山》诗中写道：“天门中断楚江开，碧水东流至此回．两岸青山相对出，孤帆一片日边来．”这首诗的意境可以用如图所示的函数图象进行直观描述，则y与x的函数关系式可以是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为
D．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于的水
9．（2024九下·石家庄模拟）劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对三类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，用，，三点分别表示三类种子的发芽率与该类种子用于实验的数量的情况，其中点在反比例函数图象上，则三类种子中，发芽数量最多的是 类种子．（填“A”“B”或“C”）
10．（2023九上·历下期中） 为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到100℃）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将20℃的自来水加入到饮水机中，先加热到100℃．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为50℃，则水温下降到50℃后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）水温从20℃加热到100℃，需要 min；请直接写出加热过程中水温y与通电时间x之间的函数关系式： ．
（2）观察判断：在水温下降过程中，y与x的函数关系是 函数，并尝试求该函数的解析式．
（3）已知冲泡奶粉的最佳温度在40℃左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为40℃．现将20℃的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？
三、拓展创新
11．如图1，将一个长方体放置于一水平桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强 p(Pa) 400 500 800 1000 1250
受力面积S(m2) 0.5 0.4 a 0.2 0.16
（1）根据表中数据，计算a的值为 .
（2）将另一个长、宽、高分别为 60 cm， 20cm，10cm，且与原长方体重量相同的长方体按照如图2所示的方式放置于该水平桌面上，则桌面所承受的压强为 Pa.
12．（2024八下·鄞州期末）综合实践：自制密度秤测量液体密度．
问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为50g的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，）
问题解决：
（1）设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围．
（2）若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度．
13．（2024·荆州模拟）【实验操作】在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 2 3 4 6 …
… 5 …
（1）填写： ， ；
（2）【探究观察】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质；
（3）【拓展应用】结合函数图象，直接写出不等式的解集：
14．（2024八下·海珠期中）阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以从而（当a=b时取等号）．
阅读2：若函数；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：，所以当，即时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（），求当x= 时，周长的最小值为 ；
问题2：已知函数（）与函数（），
当x= 时，的最小值为 ；
问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
4．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用；正比例函数的性质
5．【答案】（1）
（2）4
（3）1米
【知识点】反比例函数的实际应用
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为，
把点P坐标代入得：，解得：，
即函数解析式为：，故B不正确；
当时，即，解得：；故A不正确；
当时，，
由图象知，当时，；故C不正确；
当时，；当时，，
表明当时，则；故D正确；
故答案为：D.
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数的性质分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
10．【答案】（1）4；
（2）解：反比例
设，将代入得解得，
（3）解：将代入，得
解得
答：需要等待10分钟可以接水。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据函数图象可得：当y=100℃时，x=4；
设直线解析式为y=kx+b，
将点（0，20）和（4，100）代入，
可得：，
解得：，
∴直线解析式为（0≤x≤4），
故答案为：4；（0≤x≤4）；
（2）设反比例设，将代入得，
解得，
，
故答案为：（x≥4）
【分析】（1）根据函数图象直接求出当y=100℃时，x=4；再利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）将y=40代入反比例函数解析式求出x的值即可.
11．【答案】（1）0.25
（2）10000
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）解：由表格数据知：压强与受力面积的乘积不变，则压强与受力面积呈反比例关系，∴设把代入，∴∴则当时，.
故答案为：0.25.
（2）解：∴桌面受到的压强为：，故答案为：10000.
【分析】（1）由表格数据知：压强与受力面积的乘积不变，则压强与受力面积呈反比例关系，设把代入，求出k的值，最后把代入即可求出a的值；
（2）根据题意求出长方体与桌面的接触面积，进而结合（1）计算即可.
12．【答案】（1）解：根据杠杆平衡原理可得：，
即，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设点处的读数为，则点N处的读数为，
即，，
根据杠杆平衡条件得：，
，
∴，
即，
∵，
∴．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据杠杆平衡条件，列出函数解析式，根据OB=20，求出的取值范围即可；
（2）设点M处的读数为2m，则点N处的读数为4m，根据杠杆平衡条件得出，根据，求出．
13．【答案】（1）3；5
（2）解：①作图为：
②由图象可知：函数值随的增大而减小或函数有最大值，没有最小值.
（3）解：由函数图象知，的解集为或x=0.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，
，
解得：n=5，
故答案为：3，5；
【分析】（1）由已知列出方程，即可解得m，n的值；
（2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；
（3）同一坐标系内画出图象，观察图象，找出函数 在函数的图象的上边部分相应的自变量的取值范围即可求解.
14．【答案】问题1：2，8
问题2：2，6
解：问题3：设学校学生人数为x人，
则生均投入===，
由（），解得x=700，
所以x=700时，有最小值为=1400，
故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．
【知识点】反比例函数的实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：问题1：（），解得x=2，x=2时，有最小值为=4，
故当x=2时，周长的最小值为2×4=8；
故答案为：2，8；
问题2：∵（），（），
∴=，
由，解得x=2，
∴x=2时，有最小值为=6；
故答案为：2，6；
【分析】问题1：由阅读2得到的范围，进一步得到周长的最小值；
问题2：把变形为，由阅读2得到的范围，进一步即可求解；
问题3：可设学校学生人数为x人，根据生均投入=支出总费用÷学生人数，列出代数式，再由阅读2得到范围，从而求解．
1 / 1人教版数学九年级全册知识点训练营——反比例函数的实际应用
一、夯实基础
1．（2024九下·潍坊模拟）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
2．（2024九下·长春高新技术产业开发月考）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积y（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积y是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为
B．容器内气体密度随着气体的体积v的增大而增大
C．当时，
D．当时，
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
3．（2024·大连模拟）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系，其图象是如图所示的曲线．若该路段限速，则汽车通过该路段至少需要（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
4．（2024八下·大庆期末）为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于，才能有效杀灭新冠病毒．如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例，消毒液挥发时，与成反比例，则此次消杀的有效作用时间是 min．
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用；正比例函数的性质
5．（2024九下·河南模拟）生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系，其中段可以看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米．其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求出口C点到的距离的长；
（3）若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于3米，则Q到的距离至少是多少米？
【答案】（1）
（2）4
（3）1米
【知识点】反比例函数的实际应用
二、能力提升
6．（2024九上·沅江开学考）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．I与R的函数表达式是
C．当时，
D．当时，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为，
把点P坐标代入得：，解得：，
即函数解析式为：，故B不正确；
当时，即，解得：；故A不正确；
当时，，
由图象知，当时，；故C不正确；
当时，；当时，，
表明当时，则；故D正确；
故答案为：D.
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用反比例函数的性质分析求解即可.
7．（2024九下·江阳模拟）李白《望天门山》诗中写道：“天门中断楚江开，碧水东流至此回．两岸青山相对出，孤帆一片日边来．”这首诗的意境可以用如图所示的函数图象进行直观描述，则y与x的函数关系式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
8．（2024九下·广西壮族自治区模拟）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为
D．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于的水
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
9．（2024九下·石家庄模拟）劳动教育课上，徐老师带领九（1）班同学对三类小麦种子的发芽情况进行统计（种子培养环境相同）．如图，用，，三点分别表示三类种子的发芽率与该类种子用于实验的数量的情况，其中点在反比例函数图象上，则三类种子中，发芽数量最多的是 类种子．（填“A”“B”或“C”）
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
10．（2023九上·历下期中） 为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到100℃）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将20℃的自来水加入到饮水机中，先加热到100℃．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为50℃，则水温下降到50℃后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）水温从20℃加热到100℃，需要 min；请直接写出加热过程中水温y与通电时间x之间的函数关系式： ．
（2）观察判断：在水温下降过程中，y与x的函数关系是 函数，并尝试求该函数的解析式．
（3）已知冲泡奶粉的最佳温度在40℃左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为40℃．现将20℃的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？
【答案】（1）4；
（2）解：反比例
设，将代入得解得，
（3）解：将代入，得
解得
答：需要等待10分钟可以接水。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据函数图象可得：当y=100℃时，x=4；
设直线解析式为y=kx+b，
将点（0，20）和（4，100）代入，
可得：，
解得：，
∴直线解析式为（0≤x≤4），
故答案为：4；（0≤x≤4）；
（2）设反比例设，将代入得，
解得，
，
故答案为：（x≥4）
【分析】（1）根据函数图象直接求出当y=100℃时，x=4；再利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）将y=40代入反比例函数解析式求出x的值即可.
三、拓展创新
11．如图1，将一个长方体放置于一水平桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强 p(Pa) 400 500 800 1000 1250
受力面积S(m2) 0.5 0.4 a 0.2 0.16
（1）根据表中数据，计算a的值为 .
（2）将另一个长、宽、高分别为 60 cm， 20cm，10cm，且与原长方体重量相同的长方体按照如图2所示的方式放置于该水平桌面上，则桌面所承受的压强为 Pa.
【答案】（1）0.25
（2）10000
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）解：由表格数据知：压强与受力面积的乘积不变，则压强与受力面积呈反比例关系，∴设把代入，∴∴则当时，.
故答案为：0.25.
（2）解：∴桌面受到的压强为：，故答案为：10000.
【分析】（1）由表格数据知：压强与受力面积的乘积不变，则压强与受力面积呈反比例关系，设把代入，求出k的值，最后把代入即可求出a的值；
（2）根据题意求出长方体与桌面的接触面积，进而结合（1）计算即可.
12．（2024八下·鄞州期末）综合实践：自制密度秤测量液体密度．
问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为50g的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，）
问题解决：
（1）设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围．
（2）若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度．
【答案】（1）解：根据杠杆平衡原理可得：，
即，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设点处的读数为，则点N处的读数为，
即，，
根据杠杆平衡条件得：，
，
∴，
即，
∵，
∴．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据杠杆平衡条件，列出函数解析式，根据OB=20，求出的取值范围即可；
（2）设点M处的读数为2m，则点N处的读数为4m，根据杠杆平衡条件得出，根据，求出．
13．（2024·荆州模拟）【实验操作】在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 （灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 2 3 4 6 …
… 5 …
（1）填写： ， ；
（2）【探究观察】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质；
（3）【拓展应用】结合函数图象，直接写出不等式的解集：
【答案】（1）3；5
（2）解：①作图为：
②由图象可知：函数值随的增大而减小或函数有最大值，没有最小值.
（3）解：由函数图象知，的解集为或x=0.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：，
，
解得：n=5，
故答案为：3，5；
【分析】（1）由已知列出方程，即可解得m，n的值；
（2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；
（3）同一坐标系内画出图象，观察图象，找出函数 在函数的图象的上边部分相应的自变量的取值范围即可求解.
14．（2024八下·海珠期中）阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以从而（当a=b时取等号）．
阅读2：若函数；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：，所以当，即时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（），求当x= 时，周长的最小值为 ；
问题2：已知函数（）与函数（），
当x= 时，的最小值为 ；
问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）
【答案】问题1：2，8
问题2：2，6
解：问题3：设学校学生人数为x人，
则生均投入===，
由（），解得x=700，
所以x=700时，有最小值为=1400，
故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．
【知识点】反比例函数的实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：问题1：（），解得x=2，x=2时，有最小值为=4，
故当x=2时，周长的最小值为2×4=8；
故答案为：2，8；
问题2：∵（），（），
∴=，
由，解得x=2，
∴x=2时，有最小值为=6；
故答案为：2，6；
【分析】问题1：由阅读2得到的范围，进一步得到周长的最小值；
问题2：把变形为，由阅读2得到的范围，进一步即可求解；
问题3：可设学校学生人数为x人，根据生均投入=支出总费用÷学生人数，列出代数式，再由阅读2得到范围，从而求解．
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