人教版数学九年级全册知识点训练营——图形的相似
一、夯实基础
1．（2024九下·北京市模拟）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
2．（2024九下·东台模拟）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024九下·芙蓉模拟）下列命题中正确的个数是（ ）
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似
（2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似
（3）两个等边三角形一定相似
（4）任意两个矩形一定相似
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024九下·兴化模拟）如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为 ．
二、能力提升
5．（2024九下·潮南模拟）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
6．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A． B． C． D．2
7．将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3）
C．（3，﹣2）或（﹣2，3） D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
9．（2024九下·霍林郭勒模拟）有个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为，，则 ．
10．（2022九下·内江开学考）已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D'＝2：4，AB＝2，则A'B'＝ .
11．（位似变换++++++++++++++++ ）下列说法：①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③任意两个菱形一定相似；④任意两个含30°角的直角三角形一定相似；⑤两个相似多边形的面积比为4：9，则周长比为16：81；⑥若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，则这两个三角形一定相似．其中正确的说法有 （填写序号）．
12．（2023九下·建始模拟）如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图象分别相交于点E，F，且．过点E作轴于点H，过点F作于点G，请解答下列问题．
（1） ；
（2）当四边形为正方形时，求点F的坐标；
（3）当时，若矩形矩形，求出相似比．
13．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是多少？
14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a．
（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE；
（2）当a=3时，连结DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；
（3）当tan∠PAE=时，求a的值．
15．（2021九下·江岸月考）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上.
（1）在图1中，PC：PB＝ .
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.
①如图2，在AB上找点P，使得AP：PB＝1：3；
②如图3，在△ABC中内找一点G，连接GA、GB、GC，将△ABC分成面积相等的三部分；
③如图4，在△ABC中，AB与网格线的交点为D，画点E，使DE⊥AC.
16．（2022九下·南平期中）如图，在△ABC中，AC＝4.
（1）在AC上求作一点D，连接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）点M，N分别是BD、BC中点，若AD＝1，求的值.
17．（2023九下·秦淮月考）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为 .
三、拓展创新
18．（新人教版数学九年级下册第二十七章《相似图形》同步练习）下列说法不一定正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似 B．所有的等腰直角三角形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
19．（2024九下·隆昌月考）如图，抛物线与x轴交于点A（，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由。
20．（2021九下·江西月考）如图，已知矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴上，点 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，其横坐标为 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，交 于点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若四边形 为正方形，求点 的坐标；
（3）连接 交 于点 ，若 ，求四边形 与四边形 的面积比．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的相似
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；作图﹣相似变换
3．【答案】C
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定
4．【答案】
【知识点】相似多边形
5．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似多边形
6．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；图形的相似
【解析】【解答】∵AB=1，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
可得，，
解得x1=，x2=（负值舍去)，
经检验x1= 是原方程的解．
故选B．
【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可。
7．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
【解答】设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，则．
又矩形DMNC与矩形ABCD相似．
∴，即
即．
∴．
故选C．
【点评】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
8．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；相似多边形
【解析】【分析】由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（﹣4，6)，即可求得答案。
【解答】∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，
∴位似比为：1：2，
∵点B的坐标为（﹣4，6)，
∴点B′的坐标是：（﹣2，3)或（2，﹣3)．
故选D.
【点评】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用。
9．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似多边形
10．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，
∴，
∵AB＝2，
∴A′B′＝2.
故答案为：2.
【分析】根据相似图形的面积比等于相似比的平方可得相似比，结合AB的值就可求出A′B′的值.
11．【答案】①④
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；相似多边形；相似三角形的判定；位似变换
【解析】【解答】解：位似图形都相似，所以①正确；
两个等腰三角形不一定相似，如等边三角形与等腰直角三角形不相似，所以②错误；
任意两个菱形不一定相似，所以③错误；
任意两个含30°角的直角三角形一定相似，所以④正确；
两个相似多边形的面积比为4：9，则周长比为2：3，所以⑤错误；
若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，则这两个三角形不一定相似，若边长为3、4、5的三角形与边长为5、6、7的三角形不相似，所以⑥错误．
故答案为①④．
【分析】根据位似的性质对①进行判断；根据相似三角形的判定方法与反例对②⑥进行判断；根据内角不为90的菱形与内角为90的菱形不相似对③进行判断；根据相似三角形的性质对⑤进行判断．
12．【答案】（1）8
（2）点F的坐标为
（3）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；相似多边形
13．【答案】解：如图，设BF、CE相交于点M，
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，
∴△BCM∽△BGF，
∴＝，
即＝，
解得CM＝1.2，
∴DM＝2－1.2＝0.8，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝180°－120°＝60°，
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin 60°＝2×＝，
菱形ECGF边CE上的高为3sin 60°＝3×＝，
∴阴影部分面积＝S△BDM＋S△DFM＝×0.8×＋×0.8×＝.
【知识点】图形的相似；相似多边形
【解析】【分析】考查相似多边形的性质。
14．【答案】解：（1）设CE=y
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵BP=a，CE=y，
∴PC=5﹣a，DE=4﹣y，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，∠APB+∠CPE=90°，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠CPE=∠BAP，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∴，
∴y=，自变量的取值范围为：0＜a＜5；
（2）当a=3时，y=，即CE=，
∴DE=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴，
∴，
∴CF=3，
∴PF=PC+CF=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形APFD是平行四边形，
在Rt△APB中，
AB=4，BP=3，∠B=900
∴AP=5=PF，
∴四边形APFD是菱形；
（3）根据tan∠PAE=，可得：=2
易得：△ABP∽△PCE
∴=2
于是：=2或=2
解得：a=3，y=1.5或 a=7，y=3.5．
∴a=3或7．
【知识点】矩形的判定；相似多边形；解直角三角形
【解析】试题分析：（1）设CE=y，PC在BC上运动时，要求y关于a的函数解析式，只需要用勾股定理表示PE2=PC2+EC2就可以使问题到解决，而关键是解决PE2，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题；
（2）先证明四边形APFD是平行四边形，再证得四边形APFD是菱形；
（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到=2，再分情况讨论，从而求出a的值．
15．【答案】（1）1：2
（2）解：①如图，点P即为所作.
②如图，点G即为所作.
③如图，点E即为所作.
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【解答】（1）根据题意可知 ，
∴ ，
故 .
【分析】（1）由网格图的特征并根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（2）①取格点M，N，连接MN交AB于点P，点P即为所求作；
②作∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，点G为所求；
③由网格图的特征可求解．
16．【答案】（1）解：如图，点D即为所求作的点.
（2）解：连接AM、AN，
∵M，N分别是BD，BC的中点，
∴AM、AN分别是△ABD，△ABC的中线，
∵△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AB＝2，
∴.
【知识点】相似三角形的性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法，作∠ABD=∠C，BD交AC于点D，则△ABD∽△ACB；
（2）连接AM、AN，则AM、AN分别是△ABD，△ABC的中线，然后根据相似三角形对应边上的中线的比等于相似比进行计算.
17．【答案】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
同理，.
∴.
∵
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是菱形.
（2）
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似多边形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAF，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠EAF=∠AEB，则∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，同理可得AB=AF，则BE=AF，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：四边形ABEF是菱形，则AB=BE=EF=FA，根据平行四边形的性质可得FD=CE，EF=CD，则AB=BE=EF=FA=CD，使劲儿FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则BC=x+y，根据相似图形的对应边成比例可得x，据此求解.
18．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．
故选C．
【分析】 利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．
19．【答案】（1）解：将A（，0）和点B（4，0）代入得：
解得
∴抛物线的表达式为：
（2）解：对，令，
∴点C的坐标为（0，4）
∵A（，0）和点B（4，0）
∴，
∴
∴
设直线BC的解析式为：，则
，解得
∴直线BC的解析式为：
如图，过点P作轴交直线BC于点H
∴
∴
设点P（x，），则点H（x，）
∴
解得：或
∴点P的坐标为（1，6）或（3，4）
（3）解：点M的坐标为（，）或（，4）或（，）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似多边形；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）对得：
∴点E的坐标为（，）
设点M（，）（），N（n，）（）
∵B（4，0）和点C（0，4）
∴
∴是等腰直角三角形
∵与相似
∴是等腰直角三角形
如图，①当时，
∴ 解得或（舍去）
∴点M的坐标为（，）
②当时，
∴ 解得或（舍去）
∴点M的坐标为（，4）
③当时，
∴ 解得或（舍去）
∴点M的坐标为（，）
综上所述，点M的坐标为（，）或（，4）或（，）
【分析】（）把点A和点B的坐标代入二次函数的解析式建立方程组，利用待定系数法即可求解；
（）先求出点C的坐标和直线BC的解析式，再根据面积公式求的面积，过点P作PG⊥x轴，交BC 于点F，设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示点P和点F的坐标，进面表示PF的长，利用的面积建立的方程，解方程即可求解；
（）分三种情况：∠ENM=90°或∠NME=90°或∠MEN=90°，根据等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质求解即可。
20．【答案】（1）解：把顶点 代入反比例函数 中得， ，
；
（2）解：设点 ，根据题意可知 ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，即 ，
∴ ， （舍），
∴点 的坐标为 ；
（3）解：根据反比例函数的几何意义，可知 和 的面积均为24，
∴四边形 的面积与 的面积相等，
由 ，根据等高的 与 的面积之比为3∶2，
设 的面积为 ，则 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；图形的相似
【解析】【分析】（1）把顶点 代入反比例函数 中得，利用待定系数法解题；
（2）设点 ，分别解出 ， ，根据正方形的性质 ，代入解题即可；
（3）根据反比例函数的几何意义，四边形 的面积与 的面积相等，结合等高的 与 的面积之比为3∶2，设 的面积为 ，则 的面积为 ，由此解得 ，据此解题．
1 / 1人教版数学九年级全册知识点训练营——图形的相似
一、夯实基础
1．（2024九下·北京市模拟）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【知识点】图形的相似
2．（2024九下·东台模拟）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】勾股定理；作图﹣相似变换
3．（2024九下·芙蓉模拟）下列命题中正确的个数是（ ）
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似
（2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似
（3）两个等边三角形一定相似
（4）任意两个矩形一定相似
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似多边形；相似三角形的判定
4．（2024九下·兴化模拟）如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
二、能力提升
5．（2024九下·潮南模拟）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似多边形
6．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；图形的相似
【解析】【解答】∵AB=1，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
可得，，
解得x1=，x2=（负值舍去)，
经检验x1= 是原方程的解．
故选B．
【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可。
7．将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
【解答】设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，则．
又矩形DMNC与矩形ABCD相似．
∴，即
即．
∴．
故选C．
【点评】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
8．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3）
C．（3，﹣2）或（﹣2，3） D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；相似多边形
【解析】【分析】由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（﹣4，6)，即可求得答案。
【解答】∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，
∴位似比为：1：2，
∵点B的坐标为（﹣4，6)，
∴点B′的坐标是：（﹣2，3)或（2，﹣3)．
故选D.
【点评】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用。
9．（2024九下·霍林郭勒模拟）有个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为，，则 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似多边形
10．（2022九下·内江开学考）已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D'＝2：4，AB＝2，则A'B'＝ .
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，
∴，
∵AB＝2，
∴A′B′＝2.
故答案为：2.
【分析】根据相似图形的面积比等于相似比的平方可得相似比，结合AB的值就可求出A′B′的值.
11．（位似变换++++++++++++++++ ）下列说法：①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③任意两个菱形一定相似；④任意两个含30°角的直角三角形一定相似；⑤两个相似多边形的面积比为4：9，则周长比为16：81；⑥若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，则这两个三角形一定相似．其中正确的说法有 （填写序号）．
【答案】①④
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；相似多边形；相似三角形的判定；位似变换
【解析】【解答】解：位似图形都相似，所以①正确；
两个等腰三角形不一定相似，如等边三角形与等腰直角三角形不相似，所以②错误；
任意两个菱形不一定相似，所以③错误；
任意两个含30°角的直角三角形一定相似，所以④正确；
两个相似多边形的面积比为4：9，则周长比为2：3，所以⑤错误；
若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，则这两个三角形不一定相似，若边长为3、4、5的三角形与边长为5、6、7的三角形不相似，所以⑥错误．
故答案为①④．
【分析】根据位似的性质对①进行判断；根据相似三角形的判定方法与反例对②⑥进行判断；根据内角不为90的菱形与内角为90的菱形不相似对③进行判断；根据相似三角形的性质对⑤进行判断．
12．（2023九下·建始模拟）如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图象分别相交于点E，F，且．过点E作轴于点H，过点F作于点G，请解答下列问题．
（1） ；
（2）当四边形为正方形时，求点F的坐标；
（3）当时，若矩形矩形，求出相似比．
【答案】（1）8
（2）点F的坐标为
（3）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；相似多边形
13．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是多少？
【答案】解：如图，设BF、CE相交于点M，
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，
∴△BCM∽△BGF，
∴＝，
即＝，
解得CM＝1.2，
∴DM＝2－1.2＝0.8，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝180°－120°＝60°，
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin 60°＝2×＝，
菱形ECGF边CE上的高为3sin 60°＝3×＝，
∴阴影部分面积＝S△BDM＋S△DFM＝×0.8×＋×0.8×＝.
【知识点】图形的相似；相似多边形
【解析】【分析】考查相似多边形的性质。
14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=a．
（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE；
（2）当a=3时，连结DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；
（3）当tan∠PAE=时，求a的值．
【答案】解：（1）设CE=y
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵BP=a，CE=y，
∴PC=5﹣a，DE=4﹣y，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，∠APB+∠CPE=90°，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠CPE=∠BAP，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∴，
∴y=，自变量的取值范围为：0＜a＜5；
（2）当a=3时，y=，即CE=，
∴DE=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴，
∴，
∴CF=3，
∴PF=PC+CF=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形APFD是平行四边形，
在Rt△APB中，
AB=4，BP=3，∠B=900
∴AP=5=PF，
∴四边形APFD是菱形；
（3）根据tan∠PAE=，可得：=2
易得：△ABP∽△PCE
∴=2
于是：=2或=2
解得：a=3，y=1.5或 a=7，y=3.5．
∴a=3或7．
【知识点】矩形的判定；相似多边形；解直角三角形
【解析】试题分析：（1）设CE=y，PC在BC上运动时，要求y关于a的函数解析式，只需要用勾股定理表示PE2=PC2+EC2就可以使问题到解决，而关键是解决PE2，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题；
（2）先证明四边形APFD是平行四边形，再证得四边形APFD是菱形；
（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到=2，再分情况讨论，从而求出a的值．
15．（2021九下·江岸月考）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上.
（1）在图1中，PC：PB＝ .
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.
①如图2，在AB上找点P，使得AP：PB＝1：3；
②如图3，在△ABC中内找一点G，连接GA、GB、GC，将△ABC分成面积相等的三部分；
③如图4，在△ABC中，AB与网格线的交点为D，画点E，使DE⊥AC.
【答案】（1）1：2
（2）解：①如图，点P即为所作.
②如图，点G即为所作.
③如图，点E即为所作.
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换
【解析】【解答】（1）根据题意可知 ，
∴ ，
故 .
【分析】（1）由网格图的特征并根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（2）①取格点M，N，连接MN交AB于点P，点P即为所求作；
②作∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，点G为所求；
③由网格图的特征可求解．
16．（2022九下·南平期中）如图，在△ABC中，AC＝4.
（1）在AC上求作一点D，连接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）点M，N分别是BD、BC中点，若AD＝1，求的值.
【答案】（1）解：如图，点D即为所求作的点.
（2）解：连接AM、AN，
∵M，N分别是BD，BC的中点，
∴AM、AN分别是△ABD，△ABC的中线，
∵△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AB＝2，
∴.
【知识点】相似三角形的性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法，作∠ABD=∠C，BD交AC于点D，则△ABD∽△ACB；
（2）连接AM、AN，则AM、AN分别是△ABD，△ABC的中线，然后根据相似三角形对应边上的中线的比等于相似比进行计算.
17．（2023九下·秦淮月考）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为 .
【答案】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
同理，.
∴.
∵
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是菱形.
（2）
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似多边形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAF，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠EAF=∠AEB，则∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，同理可得AB=AF，则BE=AF，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：四边形ABEF是菱形，则AB=BE=EF=FA，根据平行四边形的性质可得FD=CE，EF=CD，则AB=BE=EF=FA=CD，使劲儿FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则BC=x+y，根据相似图形的对应边成比例可得x，据此求解.
三、拓展创新
18．（新人教版数学九年级下册第二十七章《相似图形》同步练习）下列说法不一定正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似 B．所有的等腰直角三角形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．
故选C．
【分析】 利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．
19．（2024九下·隆昌月考）如图，抛物线与x轴交于点A（，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，若，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由。
【答案】（1）解：将A（，0）和点B（4，0）代入得：
解得
∴抛物线的表达式为：
（2）解：对，令，
∴点C的坐标为（0，4）
∵A（，0）和点B（4，0）
∴，
∴
∴
设直线BC的解析式为：，则
，解得
∴直线BC的解析式为：
如图，过点P作轴交直线BC于点H
∴
∴
设点P（x，），则点H（x，）
∴
解得：或
∴点P的坐标为（1，6）或（3，4）
（3）解：点M的坐标为（，）或（，4）或（，）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似多边形；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）对得：
∴点E的坐标为（，）
设点M（，）（），N（n，）（）
∵B（4，0）和点C（0，4）
∴
∴是等腰直角三角形
∵与相似
∴是等腰直角三角形
如图，①当时，
∴ 解得或（舍去）
∴点M的坐标为（，）
②当时，
∴ 解得或（舍去）
∴点M的坐标为（，4）
③当时，
∴ 解得或（舍去）
∴点M的坐标为（，）
综上所述，点M的坐标为（，）或（，4）或（，）
【分析】（）把点A和点B的坐标代入二次函数的解析式建立方程组，利用待定系数法即可求解；
（）先求出点C的坐标和直线BC的解析式，再根据面积公式求的面积，过点P作PG⊥x轴，交BC 于点F，设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示点P和点F的坐标，进面表示PF的长，利用的面积建立的方程，解方程即可求解；
（）分三种情况：∠ENM=90°或∠NME=90°或∠MEN=90°，根据等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质求解即可。
20．（2021九下·江西月考）如图，已知矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴上，点 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，其横坐标为 ，过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，交 于点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若四边形 为正方形，求点 的坐标；
（3）连接 交 于点 ，若 ，求四边形 与四边形 的面积比．
【答案】（1）解：把顶点 代入反比例函数 中得， ，
；
（2）解：设点 ，根据题意可知 ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，即 ，
∴ ， （舍），
∴点 的坐标为 ；
（3）解：根据反比例函数的几何意义，可知 和 的面积均为24，
∴四边形 的面积与 的面积相等，
由 ，根据等高的 与 的面积之比为3∶2，
设 的面积为 ，则 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；图形的相似
【解析】【分析】（1）把顶点 代入反比例函数 中得，利用待定系数法解题；
（2）设点 ，分别解出 ， ，根据正方形的性质 ，代入解题即可；
（3）根据反比例函数的几何意义，四边形 的面积与 的面积相等，结合等高的 与 的面积之比为3∶2，设 的面积为 ，则 的面积为 ，由此解得 ，据此解题．
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