人教版数学九年级全册知识点训练营——比例线段
一、比例的性质
1．（2024九上·嘉定月考）如果实数a，b，c，d满足，下列四个选项中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
2．（2024九上·上海市月考）在中，点、分别在边、的反向延长线上，且满足，连接，那么在下列结论中，不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定与性质
3．（2024九上·景德镇期中）若，则．
【答案】5
【知识点】比例的性质
4．（2024九上·渝中月考）如果，那么 ．
【答案】
【知识点】分式的值；比例的性质
5．（2024九上·长春月考）若实数a，b，c满足，则 ．
【答案】2或
【知识点】比例的性质
二、比例线段
6．（比例线段++++++++++++++）下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b= ，c= ，d=2
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=2，b= ，c= ，d=2
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵ ，故选项A中的线段成比例；
∵ ，故选项B中的线段成比例；
∵ ，故选项C中的线段不成比例；
∵ ，故选项D中的线段成比例；
故选C．
【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．
7．（2024九上·成都月考）若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例线段
8．（2024九下·潮阳模拟）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【知识点】解分式方程；比例线段
9．（2023九上·岳阳月考）已知线段a，b，c，d成比例，且，其中a＝8cm，b＝4cm，c＝12cm，则d＝ cm．
【答案】6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：将cm，cm，cm代入中得，
，
故
故，
故答案为：6
【分析】根据，代入cm，cm，cm即可求解。
10．（2023七下·思茅开学考）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．则MP＝ cm．
【答案】3或9
【知识点】比例线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点P是点M关于点N的“半距点”
∴
①∵MN=6cm，
∴
②∵MN=6cm，
∴
∴MP=3cm或9cm
【分析】根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得，分情况讨论，即可求出答案.
三、比例中项
11．（2024九下·温州模拟）若线段，则线段a，b的比例中项为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：根据比例中项的定义：设线段a，b的比例中项为x，有，解得.
故答案为：C.
【分析】根据比例中项的定义求解即可.
12．已知线段，线段是的比例中项，则线段的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：由b是a、c的比例中项，故b2=ac，
代入数据得12=2c，
得c=6
故答案为：C.
【分析】由比例中项的性质可得b2=ac，代入数据即可得c的值.
13．（2023九上·合肥期中）已知，点在线段上，是，的比例中项，则的长（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例中项
【解析】【解答】设AC=m，则BC=4-m，
∵是，的比例中项，
∴AC2=AB×BC，
∴m2=4×（4-m），
解得：m=-2±，
∵AC>0，
∴AC=，
故答案为：B.
【分析】设AC=m，则BC=4-m，利用比例中项，可得m2=4×（4-m），再求出m的值即可.
14．（2023九上·普陀期中）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，如果EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；比例中项
【解析】【解答】解：如图，过点D作AB的平行线，交EF，BC于点M、N．
∵∵EF是梯形ABCD的比例中项，
∴，
∵，
∴。
∴。
故答案为： 。
【分析】先画出图形，过点D作AB的平行线，交EF，BC于点M、N．根据比例中项的定义求EF的长，再根据平行截相似证，利用相似三角形对应边成比例求解。
15．某数和4的比例中项是±6，则这个数是
【答案】9
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：设某数为x，
由比例中项的定义可得（ ±6 ）2=4x，
解得：x=9，
故答案为：9.
【分析】根据比例中项的定义列方程并解之即可.
四、黄金分割
16．（2024九上·义乌月考）如图，是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点是的黄金分割点，，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
17．（2024九上·石家庄月考）如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（ ）
A．D B．E C．F D．D 或F
【答案】C
【知识点】黄金分割
18．（2024九下·绵阳模拟）如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；黄金分割
19．（2024九上·武昌月考）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图1，点C把线段分成，两部分，如果，那么称点C是线段的黄金分割点，k的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图2，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
20．（2024九下·乐山模拟）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；黄金分割
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一、比例的性质
1．（2024九上·嘉定月考）如果实数a，b，c，d满足，下列四个选项中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·上海市月考）在中，点、分别在边、的反向延长线上，且满足，连接，那么在下列结论中，不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·景德镇期中）若，则．
4．（2024九上·渝中月考）如果，那么 ．
5．（2024九上·长春月考）若实数a，b，c满足，则 ．
二、比例线段
6．（比例线段++++++++++++++）下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）
A．a=3，b=6，c=2，d=4 B．a=1，b= ，c= ，d=2
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=2，b= ，c= ，d=2
7．（2024九上·成都月考）若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024九下·潮阳模拟）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ）
A． B．2 C． D．5
9．（2023九上·岳阳月考）已知线段a，b，c，d成比例，且，其中a＝8cm，b＝4cm，c＝12cm，则d＝ cm．
10．（2023七下·思茅开学考）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．则MP＝ cm．
三、比例中项
11．（2024九下·温州模拟）若线段，则线段a，b的比例中项为（ ）
A． B． C．6 D．
12．已知线段，线段是的比例中项，则线段的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
13．（2023九上·合肥期中）已知，点在线段上，是，的比例中项，则的长（ ）.
A． B． C． D．
14．（2023九上·普陀期中）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，如果EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么的值为 ．
15．某数和4的比例中项是±6，则这个数是
四、黄金分割
16．（2024九上·义乌月考）如图，是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点是的黄金分割点，，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024九上·石家庄月考）如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（ ）
A．D B．E C．F D．D 或F
18．（2024九下·绵阳模拟）如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2024九上·武昌月考）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图1，点C把线段分成，两部分，如果，那么称点C是线段的黄金分割点，k的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图2，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是 ．
20．（2024九下·乐山模拟）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
2．【答案】B
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定与性质
3．【答案】5
【知识点】比例的性质
4．【答案】
【知识点】分式的值；比例的性质
5．【答案】2或
【知识点】比例的性质
6．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵ ，故选项A中的线段成比例；
∵ ，故选项B中的线段成比例；
∵ ，故选项C中的线段不成比例；
∵ ，故选项D中的线段成比例；
故选C．
【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．
7．【答案】D
【知识点】比例线段
8．【答案】C
【知识点】解分式方程；比例线段
9．【答案】6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：将cm，cm，cm代入中得，
，
故
故，
故答案为：6
【分析】根据，代入cm，cm，cm即可求解。
10．【答案】3或9
【知识点】比例线段；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点P是点M关于点N的“半距点”
∴
①∵MN=6cm，
∴
②∵MN=6cm，
∴
∴MP=3cm或9cm
【分析】根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得，分情况讨论，即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：根据比例中项的定义：设线段a，b的比例中项为x，有，解得.
故答案为：C.
【分析】根据比例中项的定义求解即可.
12．【答案】C
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：由b是a、c的比例中项，故b2=ac，
代入数据得12=2c，
得c=6
故答案为：C.
【分析】由比例中项的性质可得b2=ac，代入数据即可得c的值.
13．【答案】B
【知识点】比例中项
【解析】【解答】设AC=m，则BC=4-m，
∵是，的比例中项，
∴AC2=AB×BC，
∴m2=4×（4-m），
解得：m=-2±，
∵AC>0，
∴AC=，
故答案为：B.
【分析】设AC=m，则BC=4-m，利用比例中项，可得m2=4×（4-m），再求出m的值即可.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；比例中项
【解析】【解答】解：如图，过点D作AB的平行线，交EF，BC于点M、N．
∵∵EF是梯形ABCD的比例中项，
∴，
∵，
∴。
∴。
故答案为： 。
【分析】先画出图形，过点D作AB的平行线，交EF，BC于点M、N．根据比例中项的定义求EF的长，再根据平行截相似证，利用相似三角形对应边成比例求解。
15．【答案】9
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：设某数为x，
由比例中项的定义可得（ ±6 ）2=4x，
解得：x=9，
故答案为：9.
【分析】根据比例中项的定义列方程并解之即可.
16．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
17．【答案】C
【知识点】黄金分割
18．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；黄金分割
19．【答案】
【知识点】黄金分割
20．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；黄金分割
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