2024-2025学年广西柳州市铁一中学高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广西柳州市铁一中学高二（上）第一次月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层地面的中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块下一层的第一环比上一层的最后环多块，向外每环依次也增加块已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板不含天心石块，则中层共有扇面形石板( )
A. 块 B. 块
C. 块 D. 块
5.基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间单位：天的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的倍，至少需要参考数据( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
6.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为( )
A. B. C. D.
7.是定义在上的函数，对于任意的，都有，且时，有，则函数的所有零点之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共5小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 的最小值为
C. 若，则的值为
D. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是
9.已知，，且，则( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.设正实数、满足，则( )
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最小值 D. 有最大值
11.已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点在第一象限，为坐标原点，则( )
A.
B. 当时，直线的倾斜角为
C. 以为直径的圆与轴相切
D.
12.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形已知抛物线：，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是( )
A. 点的纵坐标为 B. 的准线方程为
C. 若，则的斜率为 D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
13.已知球内切于圆台即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切，且圆台的上、下底面半径：：，则圆台的体积与球的体积之比为______．
14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为，点，直线与交于，两点，且为中点，则的周长为______．
15.已知直线与椭圆在第二象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点，且，，则直线在轴上的截距为______．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明：数列为等差数列；
若，，成等比数列，求的最大值．
17.本小题分
已知数列满足，
若数列是等差数列，求的值
当时，求数列的前项和．
18.本小题分
已知数列满足，．
求证：数列是等差数列．
求的值．
19.本小题分
已知数列满足，点在直线上．
设，证明为等比数列：
求数列的前项和；
设的前项和为，证明：．
参考答案
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16.解：证明：数列满足，
当时，有，
可得：，
即，
变形可得：；
故数列为等差数列；
根据题意，由的结论，数列为公差为的等差数列
若，，成等比数列，则有，
即，解可得，
故，
当时，，当时，，当时，，
故当或时，取得最大值，其最大值为．
17.解：若数列是等差数列，则，，
由，得，
即，，解得，；
由，得，
两式作差可得：．
由，，得．
当为奇数时，，
当为偶数时，．
．
则当为偶数时，
；
当为奇数时，．
．
18.解：证明：因为，
所以，
两式相减，得 ，
所以，
并整理，得，
即，
所以数列是等差数列；
对于，
令，得，
又，
所以数列的首项为，公差，
所以；
所以，
所以，
所以．
19.解：证明：因点在直线，则．
则，即，
则是一个以为首项，公比为的等比数列；
由等比数列的通项公式，可得．
可得；
证明：由，可得．
则当时，；
当时，注意到，
则
则，
由，，可得．
综上，当时，．
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