2024-2025学年广东省梅州市大埔县虎山中学强基班高二（上）月考数学试卷（四）（含答案）

2024-2025学年广东省梅州市大埔县虎山中学强基班高二（上）月考
数学试卷（四）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在四面体中，点、分别为线段、的中点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
2.已知点，，若直线：与线段含端点有公共点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3.已知是棱长为的正方体外接球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知圆：，直线：则直线被圆截得的弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
5.直线：和直线：，若直线的法向量恰好是直线的方向向量，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
6.已知直线：与直线：的交点为，则点到直线：距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有( )
A. 切线长的最小值为
B. 当四边形面积最小时，直线方程为
C. 直线恒过定点
D. 圆上恰有两个点到直线的距离为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：，直线：则下列命题正确的有( )
A. 直线恒过定点
B. 圆被轴截得的弦长为
C. 直线与圆恒相交
D. 直线被圆截得弦长最短时，直线的方程为
10.如图，平面，，，，，，则( )
A.
B. 平面
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
11.在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，动点满足，，下列结论正确的是( )
A. 当时，平面截正方体所得截面面积是
B. 当时，直线与直线所成角为
C. 当时，则点到平面的距离是
D. 设直线与平面所成角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在平行六面体中，，，为的中点，则点到直线的距离为______．
13.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是______．
14.平面直角坐标系上有，两点，直线的方程为，直线上有一点，最短，则点的坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在空间四边形中，，点为的中点，设．
试用向量表示向量；
若，，求的值．
16.本小题分
已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点．
若点到直线的距离为，求直线的方程；
求面积的最小值．
17.本小题分
已知圆过点和点，并且圆心在直线上点是直线：上一动点，过点引圆的两条切线、，切点分别为，．
求圆的标准方程；
当四边形的面积最小时，求点的坐标及直线的方程．
18.本小题分
在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点如图将沿折起到位置，使得平面平面如图．
求二面角的余弦值；
线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，求；
当时，求的取值范围；
试从向量数量积坐标表示的角度，结合数量积的定义或几何意义解释的最大值为．
参考答案
1.
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15.解：因为，，
所以，
所以，
因为点为的中点，
所以
．
因为，，
即，
则，，
所以
．
16.解：由题意可设直线的方程为，即，
则，解得．
故直线的方程为，即；
直线的方程为，
，，
则的面积为．
由题意可知，则当且仅当时，等号成立．
故面积的最小值为．
17.解：的中点为，的方向向量，
即为中垂线的法向量，利用点法式方程，
则中垂线方程为，
由，得圆心，
半径，
圆的标准方程为；
由于，
故当最小，即最小时，
四边形面积最小，此时，，
假设直线方程为，将圆心代入，
可得直线方程，
由，得圆心，
、为圆与以为直径的圆的交点，
以为直径的圆，圆心为、的中点，
半径为：，
则方程为：，
联立得到直线的方程为：．
18.解：因为，，，为的中点，
所以，，，所以，，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，
所以，
则二面角的余弦值为；
设，则，因为，，
则，，
由知平面的一个法向量为，
所以与平面所成角的正弦值为，
化简得，解得或舍去，
故存在，使得与平面所成角的正弦值为．
19.解：当，时，，其中，
因为，所以，即，
则，，即，，
所以；
因为，其中，
因为，所以，则，
因为，所以，解得，
即，
因为，所以，即，
所以，，即，
所以，
令，易知在上单调递减，
所以，则，
所以，
所以，即的取值范围为；
设，，为向量，的夹角，
则，，，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以当，同向共线时，在上的投影数量最大，即的最大值．
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