2024-2025学年福建省福州市高二（上）期中数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州市高二（上）期中数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知三个向量、及共面，则的值为( )
A. B. C. D.
2.直线在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
3.已知圆心为的圆过点，则该圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
4.若向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.点为椭圆上一点，为焦点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
7.两条平行直线和间的距离为，则，的值分别为( )
A. B. ，
C. ， D.
8.某班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，满足圆的方程，则下列说法正确的是( )
A. 圆心，半径为
B. 过点作圆的切线，则切线方程为
C. 的最大值是
D. 的最大值是
10.在平面直角坐标系中，已知，，点满足、的斜率之积为，点的运动轨迹记为下列结论正确的( )
A. 轨迹的方程
B. 存在点使得
C. 点，，则的最小值为
D. 斜率为的直线与轨迹交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为
11.下列说法错误的是( )
A. 若有空间向量，，则存在唯一的实数，使得
B. ，，三点不共线，空间中任意点，若，则，，，四点共面
C. ，，与夹角为直角，则的取值是
D. 若是空间的一个基底，则，，，四点共面，但不共线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程______．
13.若无论取何值，直线与圆恒有两个公共点，则的取值范围为 ．
14.设，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若是直角三角形，则的面积等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
菱形中，，，边所在直线过点求：
边所在直线的方程；
对角线所在直线的方程．
16.本小题分
已知直线：与圆：相交于，两点．
求；
若为圆上的动点，求的取值范围．
17.本小题分
点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求的轨迹方程；
经过两点，，求双曲线标准方程．
18.本小题分
如图，在正方体中，，点，分别在棱，上，，
证明：；
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知直线：和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，．
已知直线：，直线：，求原点到直线，的有向距离，；
已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由；
设直线：，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点，到的有向距离，满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：，
，，
直线方程为，即；
菱形对角线互相垂直，，，
而中点，也是的中点，
直线的方程为，即．
16.解：由圆：，得
则圆心坐标为，半径，
圆心到直线：的距离，
则；
的几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率，
如图，，，则，
则，
由对称性可知，的取值范围是
17.解：因为点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，
所以，
整理得．
即，
则的轨迹方程为；
设双曲线的方程为，
因为点，均在双曲线上，
所以，
解得，．
则双曲线的标准方程为．
18.解：证明：如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
，
，又，不在同一条直线上，
；
，
设平面的法向量，
则，
令，得，，
，
设点到平面的距离为，
；
平面的法向量，
，
故平面与平面的夹角的余弦值．
19.解：由直线：，直线：，根据点到直线的有向距离公式得，，；
即，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，舍去；
当直线的斜率存在时，直线的方程为，
化为，
假设，则，解得或．
所以存在直线的方程为或；
当时，直线：，，
由，整理得，，，，即，
当时，直线：，
得，
由，
即，或，解得或，
由题意对任意的参数都有恒成立，所以，
综上所述，存在实数满足题目条件，即．
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