2024-2025学年北京八十中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京八十中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
2.圆与圆的位置关系为( )
A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切
3.双曲线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
4.下列命题中，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则
5.两平行直线：与：之间的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
8.设，直线：，：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
10.如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点包括边界，则的最小值是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知，，且，则______．
12.方程表示一个圆，则的取值范围是______．
13.双曲线的离心率为______，渐近线方程为______．
14.已知椭圆：，则此椭圆的焦距长为______；设，为的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，则______．
15.已知实数，满足，则的最小值为______．
16.如图，正方形的边长为米，圆的半径为米，圆心是正方形的中心，点、分别在线段、上，若线段与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中，已知点以米秒的速度从出发向移动．同时，点以米秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长约为 秒精确到
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知圆的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线：，直线与圆相交于，两点．
求圆的标准方程；
求直线所过的定点；
当的面积最大时，求直线的方程．
19.本小题分
如图，正方体的棱长为，为的中点点在上
求证：平面；
从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定．
求直线与平面所成角的大小，及点到平面的距离．
条件：；
条件：；
条件：平面．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
已知和为椭圆上的两点．
求椭圆的离心率；
设直线：与椭圆交于、两点，求的取值范围．
21.本小题分
设有限集合，对于集合，，给出两个性质：
对于集合中任意一个元素，当时，在集合中存在元素，，使得，则称为的封闭子集；
对于集合中任意两个元素，，都有，则称为的开放子集．
Ⅰ若，集合，，判断集合，为的封闭子集还是开放子集；直接写出结论
Ⅱ若，，，且集合为的封闭子集，求的最小值；
Ⅲ若，且为奇数，集合为的开放子集，求的最大值．
参考答案
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17.解法一：连接，设与交于点，连接．
底面是正方形，为的中点，又为的中点，
，
平面，平面，
平面．
解法二：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，，，．
，
设是平面的一个法向量，
则由，得，．
，
，
又平面，平面．
由知是平面的一个法向量，
又是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，
由题意可知．
．
18.解：因为圆的圆心是直线与直线的交点，
由，得，
即圆心，
又圆和直线相切，设圆的半径为，
则，
所以圆的标准方程为；
由直线：，
得，
由，解得，
所以直线过定点；
因为，
所以当时，的面积最大，
此时为等腰三角形，
故圆心到直线的距离为，
所以，
解得，
所以此时的方程为：或．
19.解：证明：因为是正方体，
所以平面，平面，所以，
因为，，所以平面，
又点在上，所以平面；
选条件：由，根据正方体的对称性可知，此时为上的任意一点，不符合题意；
选条件：连接，在正方体中，平面，因为平面，所以，
又，，所以，因为，平面，所以，
又为中点，所以为中点，即此时为上确定的一点；
选条件：连接，因为平面，平面，且平面平面，所以，
因为为中点，所以为中点，即此时为上确定的一点；
根据题意条件不符合题意，条件均可使点唯一确定，并且可得到为中点．
根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，
所以，，，则，
设平面法向量为，则，
令，则，所以，即，，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角为；
点到平面的距离为．
20.解：依题意有，解得，
所以，所以，，，
所以椭圆离心率．
由有椭圆标准方程为，
联立，消去得，
，
设，，则，
则
，
点到直线的距离，
所以，
令，则，
则，
因为函数在上单调递增，
所以，所以，
所以，即的取值范围为．
21.解：Ⅰ对于，，，，，，
且，则为的封闭子集．
对于，由题可得，
其中任意两个元素相加之和都不在集合中，任意元素也不是其他两元素之和，且，
是的开放子集．
Ⅱ由题意，，设，
集合中任意一个元素中任意一个元素，当时，在集合中存在元素，，
使得，则，其中，，，
得，，，，，，
，则，
若，则，则在中存在元素，，使它们的和为，
又，
则当时，，得，解得，
在中存在元素，，使它们的和为，
又当时，，
不存在元素，，使，
这与集合为的封闭子集矛盾，故，
当，取，
其符合的封闭子集的定义，的最小值为．
Ⅲ，且为奇数，当时，得，
当时，将里面的奇数组成集合，
则，
中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且，
则为开放子集，此时集合元素个数为，
下面说明为最大值，
，成立；当时，若，则中至少有一个属于的偶数，
设为，则，得为属于集合中的奇数，
这与开放子集的定义矛盾，故，
综上，的最大值为．
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