2024-2025学年四川省内江市威远中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省内江市威远中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，则其平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
2.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.下列命题中正确的是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则
4.如图，在直三棱柱中，，，，，点为侧棱上的动点当最小时，三棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
5.黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为附：的值取，
A. B. C. D.
6.设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若是线段上的点不含端点，设与所成的角为，与底面所成的角为，二面角的平面角为，则( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，以为球心，为半径作球，则球面与底面的交线长度的和为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线：，：的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，，则( )
A.
B.
C. 平面
D. 异面直线与夹角的余弦值为
11.如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为的正方形，则( )
A. 该几何体的体积为
B. 直线与平面所成角的正切值为
C. 异面直线与的夹角正弦值为
D. 存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线：与直线：平行，则实数 ______．
13.已知点，，，均在半径为的球面上，是边长为的等边三角形，平面，则 ______．
14.如图，边长为的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，求：
边上的中线所在的直线方程；
边垂直平分线方程．
16.本小题分
如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点．
证明：平面．
证明：平面平面．
17.本小题分
已知一条动直线，
求直线恒过的定点的坐标；
若直线与、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程．
18.本小题分
如图，三棱台中，是正三角形，平面，，，分别为棱，的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成的角的正弦值．
19.本小题分
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模，如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，．
求的长；
若为的中点，求二面角的正弦值；
若为上一点，且满足，求．
参考答案
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15.解：，，．
中点坐标为，直线的斜率，
所以边上的中线所在的直线方程为，即；
中点坐标为，
直线的斜率，
所以，边垂直平分线的斜率且过，
故AB边垂直平分线方程为，整理得．
16.证明：因为，分别为棱，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
因为为圆的直径，所以．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
由知，所以平面，又平面，
所以平面平面．
17.解：动直线，
整理得直线方程为，
联立方程组，得，
即直线恒过定点，定点的坐标为；
设直线方程为，则，
由直线恒过定点，得，
由整理得：，解得，或，，
所以直线方程为：或，
即或，
又直线的斜率，
所以不合题意，则直线方程为．
18.证：连接，如图所示：
因为，分别为，的中点，所以，
因为是正三角形，所以，
又平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
易得，所以，所以，
又因为，所以，因为，，平面，
所以平面；
取中点，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，
由知平面的一个法向量为，又，
所以，
因为直线与平面所成的角为直线与所成角的余角，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
19.解：在四棱锥中，底面为矩形，
底面，易得，，两两相互垂直，
易得平面，平面平面，
又，为上一点，
且，，，
，
，又，，
；
若为的中点，分别延长，交点，
底面，过作于点，连接，
则由，，，
可得平面，故，
则由二面角的平面角的定义，
可得为二面角的补角，
又，底面为矩形，
且由知，
为等腰直角三角形，，
，
，故，
二面角的正弦值为；
过作于点，
由知平面平面，
平面，又根据新定义可知，
又，，
，，，
，
，
，，
过作，且，
在上取靠近的五等分点，，
则易知，且，
，，且，
四边形为平行四边形，
，又平面，
平面，
又，，
．
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