2024-2025学年黑龙江省哈尔滨一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角量( )
A. B. C. D.
2.若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为，则该椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.空间向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6.设直线：，点，，为上任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.如图，平行六面体的所有棱长为，四边形是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.某圆拱桥的拱高为，现有宽，水面以上的高度为米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度单位：在下列哪个区间内( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线与圆相交于，两点，则的长度可能等于( )
A. B. C. D.
10.下列命题中，正确的是( )
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 直线的方向向量，平面的法向量，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为
11.已知两圆方程为与，则下列说法正确的是( )
A. 若两圆有条公切线，则
B. 若两圆公共弦所在的直线方程为，则
C. 若两圆公共弦长为，则
D. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.关于、的方程表示圆，则实数的取值范围是 ．
13.已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则到平面的距离为______．
14.点，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于，的任意一点，若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．
证明：平面；
若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知直线：和：的交点为．
若直线经过点且与直线：平行，求直线的方程；
若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
17.本小题分
已知圆过点，，且圆心在直线：上．
求圆的方程；
若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点分别是，点在上，且．
求的标准方程；
若直线与交于，两点，且的面积为，求的值．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，、分别为的上、下顶点，、分别为的左、右顶点，．
求的方程；
点为第一象限内上的一个动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点求证：．
参考答案
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15.证明：因为平面，平面，所以，
因为底面为菱形，所以，
又，，平面，
所以平面．
解：设，取的中点，连接，则，
所以平面，
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由知平面，
所以就是直线与平面所成的角，即，
又，
所以，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，所以，
易知平面的一个法向量为，
所以，
设平面与平面所成的角为，则，，
所以，
故平面与平面所成角的正弦值为．
16.解：直线：和：的交点为．
取立，解得，，
直线经过点且与直线：平行，
设直线的方程为．
把代入得，
直线的方程为；
由题意得直线在两坐标轴上的截距均不为，
设直线的方程为，
当时，，
当时，，
，
解得或，
直线的方程为或，即或．
17.解：由，，得直线的斜率为，线段中点
所以，直线的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，
所以圆的方程为；
由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，
设点关于直线的对称点，
则直线与直线垂直，且线段的中点在上，
则有，解得，所以，
所以直线即为直线，且，
直线方程为，即．

18.解：由题意，设的标准方程为：，
则，，即，
所以，
所以的标准方程为：；
由题，设，，
联立，消去得，
则，即，
所以，，显然直线过定点，
所以，
所以，即，
所以，解得：或，均满足，
即或．
19.解：由题意可得：，，，
解得，，
椭圆的方程为．
证明：，，，，
直线的方程为，化为．
设直线的方程为：，，．
联立，化为：，
解得或，
直线方程为：，即，
与联立，解得，．
，
，
．
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