2024-2025学年河北省邯郸市武安一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省邯郸市武安一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为实数，已知直线：，：，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
2.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数等于( )
A. B. C. D.
3.如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则( )
A. B.
C. D.
4.过点且与圆相切的直线方程为( )
A. B. C. D.
5.“”是“方程表示双曲线”的条件．
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知为直线：上的动点，点满足，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
8.已知抛物线：的焦点为，该抛物线与直线：相交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：的离心率，的右支上的点到其右焦点的最短距离为，则( )
A. 双曲线的焦点坐标为
B. 双曲线的渐近线方程为
C. 点在双曲线上
D. 直线与双曲线恒有两个交点
10.已知为圆：的直径，直线：与轴交于点，则( )
A. 与恒有公共点 B. 是钝角三角形
C. 的面积的最大值为 D. 被截得的弦的长度的最小值为
11.如图，在正三棱柱中，侧棱长为，，空间中一点满足，则( )
A. 若，则三棱锥的体积为定值
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 若，则的最小值为
D. 若，则点到的距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为______．
13.已知双曲线：的一条渐近线与圆：交于，两点，则 ______．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若为椭圆上一点，，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切．
求圆的方程；
过点的直线交圆于，两点若为线段的中点，求直线的方程．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，，，．
证明：，，，四点共面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为、，点，连接，交椭圆于点、，为直角三角形，且．
求椭圆的标准方程；
设直线与椭圆交于、两点，若，求证：直线过定点．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．
证明：平面；
若，，
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知抛物线：，直线过点且与抛物线交于、两点，直线、分别与抛物线的准线交于、．
若点是抛物线上任意一点，点在直线上的射影为，求证：；
求证：为定值；
求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切，
设圆的方程为，
因为圆过点，所以，
又因为圆心在直线上，所以，
直线与圆相切，得到，
由解得：，
因此圆的方程为．
设，因为为线段的中点，所以，
因为，在圆上，所以，解得或，
当时，由可得斜率，
故直线的方程为，即；
当时，由可知直线的方程为；
综上，直线的方程为或．
16.证明：因为平面，平面，平面，
所以，，
又四边形为正方形，所以．
建立如图的空间直角坐标系，可得，，，
由，
得，
则，，，
所以，，
设，
则，解得，
所以，
故C，，，四点共面．
解：设平面的法向量为，
由，可得，
取，则，
由，，可得，
所以点到平面的距离．
17.解：因为为直角三角形，
所以由椭圆的对称性知，，
即，所以，则，
代入，得，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
证明：由题意，可设直线的方程为，
联立消去得，，
设，，则
因为，所以，由知，，
所以，
则，
将，代人上式得，
，
将代人上式，，
解得或舍，故直线恒过点．
18.证明：取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
解：，，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又平面，，又，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
为棱的中点，
，，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
，
平面的一个法向量为，
，，
二面角的余弦值为；
假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则，，
由知平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离是，
，．
19.解：点是抛物线上任意一点，
设，
抛物线：的准线方程为．
点在直线上的射影为，
，
，，
．
证明：由题设知直线的斜率一定存在，设：，
由，得，
设，，则
，，
，
，，
．
故为定值．
，，，
直线：，直线：，
，都在直线：上，
，，
，
当时，取最小值．
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