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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册、第15章
课标要求 1.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。3.理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。5.在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系。6.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。7.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°。探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。8.探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。9.能用尺规作图：作一个角的平分线。10.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
内容分析 本章主要内容共有四个部分，它们是图形的轴对称、线段的垂直平分线、等腰三角形和角的平分线。本章第一部分是轴对称图形。立足于学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，给出了轴对称图形和轴对称的概念，并结合对成轴对称的两个图形上对称点关系的研究，给出了线段的垂直平分线的概念，归纳出轴对称的性质。随后通过观察和思考，讨论了坐标平面内关于x轴和y轴对称的点的坐标的关系。本章第二部分是线段的垂直平分线。通过探索一条已知线段的垂直平分线的作法，介绍了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，最后利用性质定理及其逆定理证明了三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。本章第三部分是等腰三角形。首先利用叠合操作的方法研究了等腰三角形的轴对称性，给出了等腰三角形的性质1及其证明，进而给出了等腰三角形的其他性质，证明了判定两个直角三角形全等的“HL” 定理，研究了等腰三角形的判定定理及其推论，得到了“直角三角形中30°锐角所对边等于斜边的一半”这一性质。本章第四部分是角的平分线。通过探索一个已知角的平分线的作法，介绍了角的平分线的性质定理及其逆定理，最后利用性质定理及其逆定理证明了三角形三个内角的平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
学情分析 从学生的认知规律看:学生通过生活中大量的实例，对轴对称图形及等腰三角形已经有直观的认知，了解轴对称图形的特征，能辨别常见的轴对称图形，轴对称等概念，了解等腰三角形两底角相等,两腰相等,理解等边三角形相关性质，了解角平分线概念。这些知识都为本章的学习做了铺垫,但前两个学段根据学生的认知特点，侧重直观认识，知识点比较分散，没有深入与系统地学习，也没有规范地表达与推理与论证.从学生的学习习惯、思维规律看:与其他内容相比，图形与变化更容易激起学生的兴趣，八年级学生经历过全等三角形学习，已经具备一定的图形意识，符号意识，逻辑推理能力，但要求他们把思维的形成过程用图形语言、文字语言和符号语言严谨完整的表述出来尚欠缺。所以本章的教学中不仅重视对思维的引导，还要重视对引导后结果的表述.
单元目标 （一）教学目标1.通过具体实例了解轴对称概念,能够识别简单的轴对称图形,理解轴对称的基本性质, 知道对应点所连线段被对称轴垂直平分.2.能够作出简单平面图形经过一次轴对称后的图形.了解基本图形(线段、角、等腰三角形等)的轴对称性.认识轴对称在现实生活中的应用 , 能够利用轴对称进行简单的图案设计.3.了解线段的垂直平分线的概念, 理解和掌握线段的垂直平分线的性质定理和逆定理、角的平分线的性质定理和逆定理、等腰三角形(等边三角形)的性质定理和逆定理, 能够利用它们进行与之相关的证明和计算,发展学生推理证明的能力.4.能够利用尺规作图作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线,并能证明其正确性.5.了解三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等;三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等等性质。掌握判定两个直角三角形全等的“HL”定理, 以及“直角三角形中30°锐角所对边等于斜边的一半"6.能够应用所学知识解释生活中的对称现象, 解决简单的实际问题, 在观察、操作、论证的过程中,发展空间观念, 激发学习图形的兴趣.(二)教学重点、难点教学重点:轴对称的性质、线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形的性质和判定.教学难点:轴对称和轴对称图形的区别和联系;线段的垂直平分线、角的平分线尺规作法的正确性的证明;线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形的性质和判定的综合运用.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数15.1轴对称图形3课时15.2线段的垂直平分线1课时15.3等腰三角形3课时15.4角的平分线2课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务15.1.1轴对称图形1.通过观察操作，初步认识轴对称图形及其特点，理解轴对称图形和对称轴的概念.2.能准确判断轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴,能用自己的方法创造出轴对称图形.3.经历观察操作讨论探究，培养学生探索与实践的能力，发展学生的空间观念.1.认识轴对称图形，理解轴对称图形和对称轴的概念.2.能准确判断轴对称图形，并画出轴对称图形的对称轴任务一：通过生活中的对称例子，引出新课任务二：轴对称图形15.1.2轴对称图形1.了解轴对称的概念，理解轴对称的基本性质;2.理解两个图形成轴对称和轴对称图形的联系和区别;3.能够作出简单平面图形关于给定对称轴的轴对称图形.1.理解轴对称的概念及轴对称的基本性质2.理解两个图形成轴对称和轴对称图形的联系和区别3.能作出简单平面图形关于给定对称轴的轴对称图形任务一：复习旧知，引出新课任务二：轴对称以及它和轴对称图形的联系和区别任务三：轴对称的基本性质15.1.3轴对称图形1.掌握在平面直角坐标系中关于x轴和y轴对称点的坐标变化规律.2.能运用该规律解决画对称图形等简单的问题.1.掌握在平面直角坐标系中关于x轴和y轴对称点的坐标变化规律2.能运用该规律解决画对称图形等简单的问题.任务一：以首都北京城的布局特点为背景，引出新课任务二：坐标系中的轴对称15.2线段的垂直平分线1.能够通过尺规作图作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性；2.理解线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.1.能够用尺规作图作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性2.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理任务一：通过实际问题，引出新课任务二：线段垂直平分线 任务三：线段垂直平分线的性质定理及逆定理 15.3.1等腰三角形1.掌握等腰三角形的两条性质定理及推论.2.知道等腰三角形“三线合一”的特性.3.运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算.1.掌握等腰三角形的两条性质定理及推论2.知道等腰三角形“三线合一”的特性.3.能运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算.任务一：通过复习三角形的相关知识，引出新课任务二：等腰三角形的性质及推论15.3.2等腰三角形1.能用等腰三角形的性质解决简单的几何问题.2.经历用等腰三角形的性质证明“HL”定理的过程，掌握用等腰三角形的性质进行论证的方法.1.能用等腰三角形的性质解决简单的几何问题2.掌握用等腰三角形的性质证明“HL”定理的过程任务一：回忆等腰三角形的有关性质，引出新课任务二：用等腰三角形的性质进行几何图形中的计算.任务三：用等腰三角形的性质证明“HL”定理.15.3.3等腰三角形1.掌握等腰三角形的判定定理及其两个推论;2.探索含30°角的直角三角形的性质;3.掌握含30°角的直角三角形的性质定理及其应用.1.掌握等腰三角形的判定定理及其两个推论2.掌握含30°角的直角三角形的性质定理及其应用任务一：复习等腰三角形的性质定理，为判定定理作铺垫任务二：等腰三角形的判定定理及推论任务三：含30°角的直角三角形的性质定理及应用15.4.1角的平分线1.能够利用尺规法作一个已知角的平分线，并能证明它的正确性;2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法.1.能够利用尺规法作一个已知角的平分线，并能证明它的正确性2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法任务一：设置问题，引出新课。任务二：角平分线的作法。任务三：过一点作已知直线的垂线15.4.2角的平分线1.掌握角平分线定理及其判定.2.能利用角平分线定理及其判定解决几何图形中的问题.3.知道三角形的三个内角的平分线相交于一点.4.理解三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等.1.掌握角平分线定理及其判定2.能利用角平分线定理及其判定解决几何图形中的问题3.知道三角形的三个内角的平分线相交于一点4.理解三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等任务一：通过设置实际问题，引出新课任务二：角平分线的性质定理任务三：角平分线的判定定理任务四：三角形内角平分线交点的性质
《第15章 》 轴对称图形与等腰三角形 单元教学设计
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（沪科版）八年级
上
15.4.2角的平分线
轴对称图形与等腰三角形
第15章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.掌握角平分线定理及其判定.
2.能利用角平分线定理及其判定解决几何图形中的问题.
3.知道三角形的三个内角的平分线相交于一点.
4.理解三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等.
新知导入
要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
S
O
公路
铁路
思考：如图，OP 是∠AOB 的平分线，P 是 OP 上的任一点，过点 P 分别作 PC ⊥ OA，PD ⊥ OB，点 C， D 是垂足． 你能猜想 PC，PD 长度间有什么关系吗？证明你的猜想.
任务一：角平分线的性质定理
新知讲解
猜想：PC=PD
新知讲解
证明 ∵ OP 平分 ∠AOB，（已知）
∴ ∠AOP ＝ ∠BOP． （角平分线定义）
又 ∵ PC ⊥ OA，PD ⊥ OB，（已知）
∴ ∠PCO ＝ ∠PDO ＝ ９０°． （垂直的定义）
在 △PCO 和 △PDO 中，
∵
∴ △PCO ≌△PDO． （AAS）
∴ PC ＝ PD．
新知讲解
角平分线上的点到角两边的距离相等．
角平分线的性质定理：
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD = PE
B
A
D
O
P
E
C
新知讲解
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：证明线段相等.
思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题．这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明．
任务二：角平分线的判定定理
新知讲解
逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD =PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上.
新知讲解
A
B
O
D
E
P
证明：作射线OP，
∵CE⊥OA,CF⊥OB.
∴∠CEO=∠CFO=90°，
在Rt△CEO和Rt△CFO 中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
新知讲解
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
角平分线的判定定理：
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
新知讲解
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
新知讲解
证明角平分线的“两种方法”
(1)定义法：应用角平分线的定义.
(2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.
新知讲解
证明：过点 P 分别作 PM ⊥ BC，PN ⊥ AC，PQ ⊥ AB， 垂足分别为点 M，N，Q．
∵ BE 是 ∠B 的平分线，点 P 在 BE 上，（已知）
∴ PQ ＝ PM．（角平分线上的点到角两边的距离相等）
例 已知：如图，△ABC 中，∠B 的平分线 BE 与∠C 的平分线 CF 相交于点 P．
求证：AP 平分∠BAC．
任务三：三角形内角平分线交点的性质
新知讲解
同理， PN ＝ PM．
∴ PN ＝ PQ． （等量代换）
∴ AP 平分∠BAC．（角的内部到角两边距离相
等的点在角的平分线上）
例 已知：如图，△ABC 中，∠B 的平分线 BE 与∠C 的平分线 CF 相交于点 P．
求证：AP 平分∠BAC．
新知讲解
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
三角形内角平分线交点的性质：
新知讲解
应用格式：
如图，在△ABC中，AD，BM，CN 分别是∠BAC，
∠ABC，∠ACB的平分线，AD，BM，CN交于一点O，
且点O到三边BC，AB，AC的距离(OE，OG，
OF的长)相等，即OE＝OG＝OF.
新知讲解
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( )
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
C
课堂练习
2.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,D是OB.上的动点若PC=5cm,则PD的长可以是( )
A.2cm B.3cm
C.4cm D.6cm
D
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝_______.
100°
课堂练习
4.如图， BD ⊥ AC 于点 D ， CE ⊥ AB 于点 E ， BD ， CE 交于点 F ， AE ＝ AD . 求证：点 F 在∠ A 的平分线上.
【知识技能类作业】必做题：
证明：∵ BD ⊥ AC ， CE ⊥ AB ，
∴∠ ADB ＝∠ AEC ＝90°.
∵ AE ＝ AD ，∠ A ＝∠ A ，
∴△ ABD ≌△ ACE . （ ASA ）
∴∠ ABD ＝∠ ACE ， AB ＝ AC .
课堂练习
4.如图， BD ⊥ AC 于点 D ， CE ⊥ AB 于点 E ， BD ， CE 交于点 F ， AE ＝ AD . 求证：点 F 在∠ A 的平分线上.
【知识技能类作业】必做题：
∴ AB － AE ＝ AC － AD ，即 BE ＝ CD .
∵∠ DFC ＝∠ EFB ，
∴△ CDF ≌△ BEF . （ AAS ）
∴ DF ＝ EF .
∴点 F 在∠ A 的平分线上.
5．如图,在Rt△ABC中，∠C= 90° ,AB=5，BC=4,AC=3,且∠BAC与∠ABC的平分线相交于点0,则点O到AB的距离为 .
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
1
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
6.△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6 cm，4 cm，4 cm，P为△ABC三条角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于( )
A.1.1:1 B.2:2:3
C.2.3.2 D.3:2:2
D
【综合拓展类作业】
课堂练习
7.已知△ DCE 的顶点 C 在∠ AOB 的平分线 OP 上， CD 交 OA 于点 F ， CE 交 OB 于点 G .
（1）如图①，若 CD ⊥ OA ， CE ⊥ OB ，则图中有哪些相等的线段，直接写出你的结论 ；
CF ＝ CG ， OF ＝ OG
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：（2） CF ＝ CG . 证明如下：
如图，过点C作CM⊥OA于点M， CN⊥OB 于点 N .
∵ OC 平分∠ AOB ，∴ CM ＝ CN ，①
∠ CMF ＝∠ CNG ＝90°.②
∵∠ AOB ＝120°，∴∠ AOC ＝∠ BOC ＝∠ DCE ＝60°，
（2）如图②，若∠ AOB ＝120°，∠ DCE ＝∠ AOC ，试判断线段 CF 与线段 CG 的数量关系，并加以证明.
【综合拓展类作业】
课堂练习
∠ MCN ＝360°－∠ AOB －∠ CMF －∠ CNO ＝60°.
∴∠ DCE ＝∠ MCN ，∴∠ MCN －∠ FCN ＝∠ DCE －∠ FCN ，
即∠1＝∠2.③由①②③，得△ CMF ≌△ CNG ，（ ASA ）
∴ CF ＝ CG .
（2）如图②，若∠ AOB ＝120°，∠ DCE ＝∠ AOC ，试判断线段 CF 与线段 CG 的数量关系，并加以证明.
课堂总结
1.角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等．
2.角平分线的判定定理:
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
3.三角形内角平分线交点的性质：
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
板书设计
1.角平分线的性质定理:
2.角平分线的判定定理:
3.三角形内角平分线交点的性质：
课题：15.4.2角的平分线
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于 E，且DE＝3 cm，则点D到AC的距离是( )
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.6cm
B
2.如图,在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,连接OA,则∠BAO与∠CAO之间的关系是（ ）
A.∠BAO>∠CAO
B.∠BAO=∠CAO
C.∠BAO＜∠CAO
D.以上都有可能
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
B
3.已知P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD＝PE，∠AOB＝50°，则∠POE的度数是( )
A.25° B.50° C.75° D.100°
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
A
4.如图，点 E 是 BC 的中点， AB ⊥ BC ， DC ⊥ BC ， AE 平分∠BAD ，下列结论：①∠ AED ＝90°；②∠ ADE ＝∠ CDE ；③ DE ＝ BE ；④ AD ＝ AB ＋ CD ，四个结论中成立的是（ ）
A.①②④ B.①②③
C.②③④ D.①③
A
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5．已知△ABC的周长为20 cm，角平分线AD、BE相交于点O,OP⊥AB交AB于点P，OP＝2 cm，则△ABC的面积为 .
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
20 cm2
6.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.
（1）若PH=8 cm，求点P到直线BC的距离；
【综合拓展类作业】
作业布置
（1）解：作PQ⊥BE于点Q，如图.
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA,
∴PH=PQ=8，即点P到直线BC的距离为8 cm.
6.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上.
【综合拓展类作业】
作业布置
（2）证明：∵PC平分∠ACE，
∴PD=PQ.
∵PH=PQ，∴PD=PH.
又∵PD⊥AC,PH⊥BA,
∴点P在∠HAC的平分线上.
Thanks!
2
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分课时教学设计
《15.4.2角的平分线》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要讲角平分线定理及其判定定理，是在学习了角平分线的概念及画法的基础上学习的，为证明角相等，线段相等开辟了新的思路，是十分重要的一节课。
学习者分析 学生学习了角平分线的画法和全等三角形，为本节课的学习做了铺垫。八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。
教学目标 1.掌握角平分线性质定理及其判定； 2.能利用角平分线性质定理及其判定解决几何图形中的问题； 3.知道三角形的三个内角的平分线相交于一点； 4.理解三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等。
教学重点 角平分线的性质定理及其逆定理.
教学难点 利用角平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） 学生活动1： 学生动脑思考.活动意图说明： 通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，进而进入新课的学习.环节二：角平分线的性质定理教师活动2： 思考：如图，OP 是∠AOB 的平分线，P 是 OP 上的任一点，过点 P 分别作 PC ⊥ OA，PD ⊥ OB，点 C， D 是垂足． 你能猜想 PC，PD 长度间有什么关系吗？证明你的猜想. 猜想：PC=PD 证明 ∵ OP 平分 ∠AOB，（已知） ∴ ∠AOP ＝ ∠BOP． （角平分线定义） 又 ∵ PC ⊥ OA，PD ⊥ OB，（已知） ∴ ∠PCO ＝ ∠PDO ＝ 90°． （垂直的定义） 在 △PCO 和 △PDO 中， ∵ ∴ △PCO ≌△PDO． （AAＳ） ∴ PC ＝ PD． 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD = PE 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用：证明线段相等.学生活动2： 学生思考，猜想并证明. 学生与教师一起总结角平分线的性质定理。 活动意图说明： 引导学生探索角的平分线的性质,先直观猜想角平分线上的点到角两边距离的数量关系,再引导学生经历推理验证猜想,让学生感悟更理性的数学,进而抽象得出角平分线的性质定理,培养学生的抽象概括能力。环节三：角平分线的判定定理教师活动3： 思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题．这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明． 逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD =PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：作射线OP， ∵CE⊥OA,CF⊥OB. ∴∠CEO=∠CFO=90°， 在Rt△CEO和Rt△CFO 中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）. ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 角平分线的判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 证明角平分线的“两种方法” (1)定义法：应用角平分线的定义. (2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”.学生活动3： 学生写出角平分线性质定理的逆命题，猜想是真命题，并进行证明。 学生与教师一起总结角平分线的判定定理。 活动意图说明： 引导学生探索角的平分线的判定定理，先直观猜想角的内部到角两边距离相等的点的位置,再引导学生经历推理验证猜想,让学生感悟更理性的数学，进而抽象得出角平分线的判定定理,培养学生的抽象概括能力。环节四：三角形内角平分线交点的性质 教师活动4： 例 已知：如图，△ABC 中，∠B 的平分线 BE 与∠C 的平分线 CF 相交于点 P． 求证：AP 平分∠BAC． 证明：过点 P 分别作 PM ⊥ BC，PN ⊥ AC，PQ ⊥ AB， 垂足分别为点 M，N，Q． ∵ BE 是 ∠B 的平分线，点 P 在 BE 上，（已知） ∴ PQ ＝ PM．（角平分线上的点到角两边的距离相等） 同理， PN ＝ PM． ∴ PN ＝ PQ． （等量代换） ∴ AP 平分∠BAC．（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上） 三角形内角平分线交点的性质： 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等． 应用格式： 如图，在△ABC中，AD，BM，CN 分别是∠BAC， ∠ABC，∠ACB的平分线，AD，BM，CN交于一点O，且点O到三边BC，AB，AC的距离(OE，OG， OF的长)相等，即OE＝OG＝OF. 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.学生活动4： 学生小组合作，完成例题。 学生通过例题，总结三角形内角平分线交点的性质。 活动意图说明： 学生完成例题，发现三角形的三条角平分线相交于一点,并得出结论:这点到三边的距离相等既培养了学生的几何直观,又发展了学生的推理能力，为后续理解三角形的内心奠定基础.
板书设计 课题：15.4.2角的平分线 1.角平分线的性质定理: 2.角平分线的判定定理: 3.三角形内角平分线交点的性质：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( C ) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对 2.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,D是OB.上的动点若PC=5cm,则PD的长可以是( D ) A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 3.如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝_100°__. 4.如图， BD ⊥ AC 于点 D ， CE ⊥ AB 于点 E ， BD ， CE 交于点 F ， AE ＝ AD . 求证：点 F 在∠ A 的平分线上. 证明：∵ BD ⊥ AC ， CE ⊥ AB ， ∴∠ ADB ＝∠ AEC ＝90°. ∵ AE ＝ AD ，∠ A ＝∠ A ， ∴△ ABD ≌△ ACE . （ ASA ） ∴∠ ABD ＝∠ ACE ， AB ＝ AC . ∴ AB － AE ＝ AC － AD ，即 BE ＝ CD . ∵∠ DFC ＝∠ EFB ， ∴△ CDF ≌△ BEF . （ AAS ） ∴ DF ＝ EF . ∴点 F 在∠ A 的平分线上. 选做题： 5.如图,在Rt△ABC中，∠C= 90° ,AB=5，BC=4,AC=3,且∠BAC与∠ABC的平分线相交于点0,则点O到AB的距离为 1 . 6.△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6 cm，4 cm，4 cm，P为△ABC三条角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于( D ) A.1.1:1 B.2:2:3 C.2.3.2 D.3:2:2 【综合拓展类作业】 7.已知△ DCE 的顶点 C 在∠ AOB 的平分线 OP 上， CD 交 OA 于点 F ， CE 交 OB 于点 G . （1）如图①，若 CD ⊥ OA ， CE ⊥ OB ，则图中有哪些相等的线段，直接写出你的结论 CF ＝ CG ， OF ＝ OG ； （2）如图②，若∠ AOB ＝120°，∠ DCE ＝∠ AOC ，试判断线段 CF 与线段 CG 的数量关系，并加以证明. 解：（2） CF ＝ CG . 证明如下： 如图，过点C作CM⊥OA于点M， CN⊥OB 于点 N . ∵ OC 平分∠ AOB ，∴ CM ＝ CN ，① ∠ CMF ＝∠ CNG ＝90°.② ∵∠ AOB ＝120°，∴∠ AOC ＝∠ BOC ＝∠ DCE ＝60°， ∠ MCN ＝360°－∠ AOB －∠ CMF －∠ CNO ＝60°. ∴∠ DCE ＝∠ MCN ，∴∠ MCN －∠ FCN ＝∠ DCE －∠ FCN ， 即∠1＝∠2.③由①②③，得△ CMF ≌△ CNG ，（ ASA ） ∴ CF ＝ CG .
课堂总结 1.角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等． 2.角平分线的判定定理: 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 3.三角形内角平分线交点的性质： 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于 E，且DE＝3 cm，则点D到AC的距离是( B ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6cm 2.如图,在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,连接OA,则∠BAO与∠CAO之间的关系是（ B ） A.∠BAO>∠CAO B.∠BAO=∠CAO C.∠BAO＜∠CAO D.以上都有可能 3.已知P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD＝PE，∠AOB＝50°，则∠POE的度数是( A ) A.25° B.50° C.75° D.100° 选做题： 4.如图，点 E 是 BC 的中点， AB ⊥ BC ， DC ⊥ BC ， AE 平分∠BAD ，下列结论：①∠ AED ＝90°；②∠ ADE ＝∠ CDE ；③ DE ＝ BE ；④ AD ＝ AB ＋ CD ，四个结论中成立的是（ A ） A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③ 5．已知△ABC的周长为20 cm，角平分线AD、BE相交于点O,OP⊥AB交AB于点P，OP＝2 cm，则△ABC的面积为 20 cm2 . 【综合拓展类作业】 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H. 若PH=8 cm，求点P到直线BC的距离； 求证：点P在∠HAC的平分线上. （1）解：作PQ⊥BE于点Q，如图. ∵BP平分∠ABC，PH⊥BA, ∴PH=PQ=8，即点P到直线BC的距离为8 cm. （2）证明：∵PC平分∠ACE， ∴PD=PQ. ∵PH=PQ，∴PD=PH. 又∵PD⊥AC,PH⊥BA, ∴点P在∠HAC的平分线上.
教学反思 角平分线是初中数学中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础．教学时用数学语言叙述角平分线的性质定理和判定定理，让学生熟悉这两个定理的条件和结论后，再出一些具体的题目让学生在情境当中运用这两个定理．在证明定理时注重分析思路，学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚的表达思考的过程．在证明的选题上，注意减缓难度，循序渐进．
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