广东省深圳市宝安区宝安中学2023-2024学年高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·宝安月考）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为( )
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题直线的斜率为，故曲线在处的切线斜率为2，而，
所以，则，即，故点的坐标为或.
故答案为：C.
【分析】本题考查导数的几何意义.根据两条直线垂直的斜率转化公式可求出处的切线斜率为2，先求出导函数，再应用导数几何意义可列出方程，解方程可求出点的横坐标，反代回曲线可求出P点纵坐标，进而求出答案.
2．（2024高二下·宝安月考）在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，
则由得令，得，
则，
故点到平面的距离为.
故答案为：C.
【分析】本题考查利用空间向量求点到平面的距离.以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出对应点坐标，求出对应向量，求出平面的法向量，利用空间向量的点到面的距离公式可求出答案.
3．（2024高二下·宝安月考）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：由图象可知在上单调递增，在上单调递减，
所以当或时，；当时，；
而等价于①，或②，
由①得或，则，
由②得，则，
综上，.
故答案为：D.
【分析】本题考查导函数与原函数的图象之间的关系.利用的图象可求出函数的单调区间，再分析的正负情况，原不等式可转化为：，或，解不等式组可求出解集.
4．（2024高二下·宝安月考）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：，
，，，，.
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.
，.
故答案为：B.
【分析】本题考查导数的运算，导数的几何意义，直线的斜率与倾斜角的关系.先求出导函数，在中令后可求，进而求出函数解析式，再根据导数的取值范围可推出的范围，利用正切函数的图象和性质可求证的取值范围.
5．（2024高二下·宝安月考）从，，，，，，，中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：当取时，则只能为真数，此时这个对数值为，
当不取时，底数有种，真数有种，
其中，
故此时有个，
所以共有个.
故答案为：D.
【分析】本题考查分类计数原理和分步计数原理.分两类进行讨论：当取时；当不取时；求出对数的个数，再排除对数值重复的情况，可求出答案
6．（2024高二下·宝安月考）若函数存在个极值点，则称为折函数，例如为折函数，已知函数，则为( )
A．折函数 B．折函数 C．折函数 D．折函数
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：
由得，或
与，利用一次函数和正比例函数的知识可得方程有两根，且不为．
∴函数， 有3个极值点，．
故答案为C．
【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值．先求出函数的导数，令，利用函数极值和导数的关系可判断函数的极值点的个数，进而求出问题的答案.
7．（2024高二下·宝安月考）已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设线段的中点为，圆：的圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，所以，
故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为．
所以．
故答案为：A.
【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先设线段的中点为，利用圆的弦长公式可求出：圆心到直线的距离，进而推出点的轨迹，结合向量的模长可得出：，利用圆与直线的位置关系可求出最小值．
8．（2024高二下·宝安月考）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得设函数的切点坐标分别为：
对两个函数分别求导可得：则公切线的斜率为：可得：
则公切线的方程为：又公切线必然经过点
则把代入可得：化简可得：
令则因为 总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，
则方程有两个不相同的实根，设则
令可得x=1，则当时，当时故在上单调递增，在上单调递减，
故且当x趋近于时，也趋近于，又x趋近于时，也趋近于，
作出的图像如下图，
根据的图像可得：方程有两个不相同的实根，则解得故实数a的取值范围为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性求函数的极值，由题意可得设函数的切点坐标分别为：通过导数的几何意义及公切线的性质可求得：根据题意可得：令方程有两个不相同的实根，构造新函数利用导数判定其单调性后，作出其图像，结合图像即可求解.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·宝安月考）设数列的前项和为，，则下列说法正确的是( )
A．是等差数列
B．，，成等差数列，公差为
C．当或时，取得最大值
D．时，的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：A，由已知可得，
数列是一个等差数列，首项，公差为，
所以，，
所以，.
当时，；
当时，.
时，，满足.
综上所述，.
所以，，
所以，是等差数列，A正确；
B，设的公差为，
由A知，，，
根据等差数列的性质可知，，B错误；
C，因为，，
要使取得最大值，则应有，
即，解得.
又，所以当或时，取得最大值.C正确；
D，由A知，，
解，可得.
所以，时，n的最大值为33.D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题考查等差数列的定义，等差数列的前n项和公式，等差数列前n项和公式的性质.根据等差数列的定义可证明数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式可求出.根据的关系求出的表达式，根据等差数列的定义可判断等差数列；求出公差，通过作差可得：，利用等差数列的的定义可判断B选项；由已知列出，求出的值，可判断C选项；根据的表达式，求解不等式，可判断D选项.
10．（2024高二下·宝安月考）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，如图，过的直线与交于点，与轴交于点，，，设的离心率为，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为，，所以，，
A，依题意，设，则，
如图，在中，，
则，故或(舍去)，
所以，A正确；
B，由选项A知，，则，
在中，，即，B正确；
C，在中，，C错误；
D，由选项C可得，，
在中，，整理得，
故，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，椭圆的定义.利用平面向量的知识可得，，利用椭圆的定义，再结合勾股定理可求出，，利用线段的运算可判断A和B选项；根据直角三角函数的定义可得：，代入数据可判断C选项；利用余弦定理可列出方程，解方程可求出a和c的关系，进而求出离心率，判断D选项.
11．（2024高二下·宝安月考）已知函数，则下列结论正确的是( )
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则的最大值为
D．当时，方程有且只有两个实根
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：由可得，
令，得或，
当或时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
则有极小值，极大值为，B正确；
又，，即在内有1个零点；
又，故在内有1个零点；
当时，，此时无零点，
故函数存在2个不同的零点，A错误；
结合以上分析可作出函数图象：
函数在时取极大值，
故时，，则的最大值为1，C正确；
结合函数图象可知当时，图象与只有2个交点，
故方程有且只有两个实根，D正确，
故答案为：BCD
【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的极值，函数的最值，函数与方程的应用.先求出函数的导数，令，进而判断函数的单调性，求出函数的极值，据此可判断B选项；进一步作出函数的图象，利用零点存在定理可判断A选项；结合函数单调性，函数的极值可判断C选项；方程的根可转化为图象与的交点个数，观察函数的图象，可求出实数k的取值范围，判断D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·宝安月考）若函数在上的最小值为，则 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以为在上的极小值，也是最小值，
故，解得.
故答案为：
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数，再判断出在上单调性，进而判断出为在上的极小值和最小值，据此列出方程，解方程可求出答案.
13．（2024高二下·宝安月考）如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种．
【答案】48
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】按照分步计数原理，
第一步：涂区域1，有4种方法；
第二步：涂区域2，有3种方法；
第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；
所以不同的涂色种数有种．
故答案为：48
【分析】利用分步计数原理进行计算可得答案.
14．（2024高二下·宝安月考）已知函数，，，，都有，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，不妨设，则，
所以，
可变形化简为，
构造函数，则，
所以在上是单调递增函数，
所以恒成立，
即在上恒成立，
当时，，
又时，，而，所以，
所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数恒成立问题.先设，则已知变为，构造函数，可推出在上是单调递增函数，则恒成立，分离参数可得，应用三角函数的有界限，结合符号法则可得：，据此可求出实数a的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·宝安月考）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）过点作曲线的切线，若切线有且仅有条，求实数的值．
【答案】（1）解：，，
则，又，
曲线在点处的切线方程为，即．
取，得，取，得．
曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）解：设切点坐标为，由，
得，则曲线在切点处的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得：．
切线有且仅有条，，解得或．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程.
（1）先求出导函数，代入可求出切点的纵坐标，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，进而求出切线方程，分别令可求出与坐标轴的交点坐标，据此可求出围成的三角形面积；
（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义可求出切线斜率，写出切线方程，代入点坐标，化简得到，根据可列出方程，解方程可求出答案.
16．（2024高二下·宝安月考）已知双曲线：过点，且与双曲线：有相同的渐近线．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点，求直线的方程．
【答案】（1）解：双曲线：的渐近线方程为，
则双曲线：过点，且渐近线方程为，
，解得，．
双曲线的方程为；
（2）解：设，，
由，消去并整理得，
直线与双曲线有两个交点，
，解得且．
，，
中点的坐标为，
设的垂直平分线方程：，
在上，即，
，解得或．
直线的方程为或．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查双曲线方程，直线与双曲线的位置关系.
（1）根据条件可列出关于 的的方程组，解方程组可求出的值，进而写出双曲线C的方程.
（2）将直线方程和双曲线方程联立，消去，应用韦达定理可得：，，应用中点坐标公式可求出中点的坐标，写出的垂直平分线方程，根据线段的垂直平分线过点，进而列出关于k的方程，解方程可求出k的值，进而写出直线方程.
17．（2024高二下·宝安月考）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点，点是线段上动点且恒成立．
（1）证明：；
（2）当三棱锥与三棱锥的体积之和为时，求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：在平面上运动且恒成立，
，，，
平面，
，
，
，
平面，
，
，
平面，
；
（2）解：取中点为，连接，，，
，到直线的距离相等，
平面，，
，，为的高，
，同理，
平面，
，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，令，则，，
平面的一个法向量为
平面的一个法向量为
．
设平面与平面所成角为，
平面与平面所成角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求平面与平面所成的角.
（1）根据已知条件可推出，，利用直线与平面垂直的判定可证明：平面，再根据直线与平面垂直的性质可推出，进而推出平面，利用直线与平面垂直的性质可证明结论；
（2）取中点为，连接，，利用勾股定理和三棱锥的体积计算公式可求出，，，以为坐标原点构建空间直角坐标系，求出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出答案.
18．（2024高二下·宝安月考）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列现对数列，进行构造，第一次得到数列，，；第二次得到数列，，，，；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为．
（1）设第次构造后得的数列为，，，，，，则，请用含，，，的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：．
【答案】（1）解：由已知可得，
第次构造后得到的数列为，，，，，，，，，，
则，即与满足的关系式为；
（2）解：由，可得，
且，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，即；
（3）证明：，
，
．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【分析】本题考查数列的通项公式，等比数列的定义，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和.
（1）根据新数列构造的定义可得：，，，进行整体代换可求出满足的关系式；
（2）根据递推公式变形可得：，利用等比数列的定义可证明为等比数列，利用等比数列的通项公式可求出答案；
（3）利用放缩可得，再利用等比数列求和公式进行化简，求和后可证明结论.
19．（2024高二下·宝安月考）已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）证明：当时，．
（3）证明：．
【答案】（1）解：，，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：令，，
，
令，，
则，
所以在上单调递增，
当时，，
又，
所以，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，而此时，
所以当时，成立，
当时，可得，，
所以，
又，
所以存在，使得，即，
，，单调递减，
，，单调递增，
，
由可得，，
下面证明，，
令，
，
所以在上单调递增，
，
即得证，即成立，
综上所述，当时，成立．
（3）证明：由，当时，有，即，
令，，得，
，
，
即．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的最值.
（1）先求出导函数，再分两种情况：当时；当时；讨论导函数的正负，进而确定原函数的单调性 ；
（2）令，分和两种情况讨论的正负，进而判断函数的单调性，再求出的最小值，利用最小值进行说明可证明结论；
（3）由（2）可知，当时，有，令，，根据不等式进行放缩可得：，对求和式子进行放缩化简后可证明结论.
1 / 1广东省深圳市宝安区宝安中学2023-2024学年高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·宝安月考）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为( )
A． B．
C．或 D．
2．（2024高二下·宝安月考）在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为( )
A． B． C． D．
3．（2024高二下·宝安月考）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·宝安月考）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·宝安月考）从，，，，，，，中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2024高二下·宝安月考）若函数存在个极值点，则称为折函数，例如为折函数，已知函数，则为( )
A．折函数 B．折函数 C．折函数 D．折函数
7．（2024高二下·宝安月考）已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为( )
A． B． C． D．
8．（2024高二下·宝安月考）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·宝安月考）设数列的前项和为，，则下列说法正确的是( )
A．是等差数列
B．，，成等差数列，公差为
C．当或时，取得最大值
D．时，的最大值为
10．（2024高二下·宝安月考）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，如图，过的直线与交于点，与轴交于点，，，设的离心率为，则( )
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·宝安月考）已知函数，则下列结论正确的是( )
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则的最大值为
D．当时，方程有且只有两个实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·宝安月考）若函数在上的最小值为，则 ．
13．（2024高二下·宝安月考）如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种．
14．（2024高二下·宝安月考）已知函数，，，，都有，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·宝安月考）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）过点作曲线的切线，若切线有且仅有条，求实数的值．
16．（2024高二下·宝安月考）已知双曲线：过点，且与双曲线：有相同的渐近线．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线：与双曲线交于，两点，且线段的垂直平分线过点，求直线的方程．
17．（2024高二下·宝安月考）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点，点是线段上动点且恒成立．
（1）证明：；
（2）当三棱锥与三棱锥的体积之和为时，求平面与平面所成角的余弦值．
18．（2024高二下·宝安月考）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列现对数列，进行构造，第一次得到数列，，；第二次得到数列，，，，；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为．
（1）设第次构造后得的数列为，，，，，，则，请用含，，，的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：．
19．（2024高二下·宝安月考）已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）证明：当时，．
（3）证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题直线的斜率为，故曲线在处的切线斜率为2，而，
所以，则，即，故点的坐标为或.
故答案为：C.
【分析】本题考查导数的几何意义.根据两条直线垂直的斜率转化公式可求出处的切线斜率为2，先求出导函数，再应用导数几何意义可列出方程，解方程可求出点的横坐标，反代回曲线可求出P点纵坐标，进而求出答案.
2．【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，
则由得令，得，
则，
故点到平面的距离为.
故答案为：C.
【分析】本题考查利用空间向量求点到平面的距离.以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出对应点坐标，求出对应向量，求出平面的法向量，利用空间向量的点到面的距离公式可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：由图象可知在上单调递增，在上单调递减，
所以当或时，；当时，；
而等价于①，或②，
由①得或，则，
由②得，则，
综上，.
故答案为：D.
【分析】本题考查导函数与原函数的图象之间的关系.利用的图象可求出函数的单调区间，再分析的正负情况，原不等式可转化为：，或，解不等式组可求出解集.
4．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：，
，，，，.
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，.
，.
故答案为：B.
【分析】本题考查导数的运算，导数的几何意义，直线的斜率与倾斜角的关系.先求出导函数，在中令后可求，进而求出函数解析式，再根据导数的取值范围可推出的范围，利用正切函数的图象和性质可求证的取值范围.
5．【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：当取时，则只能为真数，此时这个对数值为，
当不取时，底数有种，真数有种，
其中，
故此时有个，
所以共有个.
故答案为：D.
【分析】本题考查分类计数原理和分步计数原理.分两类进行讨论：当取时；当不取时；求出对数的个数，再排除对数值重复的情况，可求出答案
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：
由得，或
与，利用一次函数和正比例函数的知识可得方程有两根，且不为．
∴函数， 有3个极值点，．
故答案为C．
【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值．先求出函数的导数，令，利用函数极值和导数的关系可判断函数的极值点的个数，进而求出问题的答案.
7．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设线段的中点为，圆：的圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，所以，
故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为．
所以．
故答案为：A.
【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先设线段的中点为，利用圆的弦长公式可求出：圆心到直线的距离，进而推出点的轨迹，结合向量的模长可得出：，利用圆与直线的位置关系可求出最小值．
8．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意可得设函数的切点坐标分别为：
对两个函数分别求导可得：则公切线的斜率为：可得：
则公切线的方程为：又公切线必然经过点
则把代入可得：化简可得：
令则因为 总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，
则方程有两个不相同的实根，设则
令可得x=1，则当时，当时故在上单调递增，在上单调递减，
故且当x趋近于时，也趋近于，又x趋近于时，也趋近于，
作出的图像如下图，
根据的图像可得：方程有两个不相同的实根，则解得故实数a的取值范围为：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性求函数的极值，由题意可得设函数的切点坐标分别为：通过导数的几何意义及公切线的性质可求得：根据题意可得：令方程有两个不相同的实根，构造新函数利用导数判定其单调性后，作出其图像，结合图像即可求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：A，由已知可得，
数列是一个等差数列，首项，公差为，
所以，，
所以，.
当时，；
当时，.
时，，满足.
综上所述，.
所以，，
所以，是等差数列，A正确；
B，设的公差为，
由A知，，，
根据等差数列的性质可知，，B错误；
C，因为，，
要使取得最大值，则应有，
即，解得.
又，所以当或时，取得最大值.C正确；
D，由A知，，
解，可得.
所以，时，n的最大值为33.D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题考查等差数列的定义，等差数列的前n项和公式，等差数列前n项和公式的性质.根据等差数列的定义可证明数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式可求出.根据的关系求出的表达式，根据等差数列的定义可判断等差数列；求出公差，通过作差可得：，利用等差数列的的定义可判断B选项；由已知列出，求出的值，可判断C选项；根据的表达式，求解不等式，可判断D选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为，，所以，，
A，依题意，设，则，
如图，在中，，
则，故或(舍去)，
所以，A正确；
B，由选项A知，，则，
在中，，即，B正确；
C，在中，，C错误；
D，由选项C可得，，
在中，，整理得，
故，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，椭圆的定义.利用平面向量的知识可得，，利用椭圆的定义，再结合勾股定理可求出，，利用线段的运算可判断A和B选项；根据直角三角函数的定义可得：，代入数据可判断C选项；利用余弦定理可列出方程，解方程可求出a和c的关系，进而求出离心率，判断D选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】解：由可得，
令，得或，
当或时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
则有极小值，极大值为，B正确；
又，，即在内有1个零点；
又，故在内有1个零点；
当时，，此时无零点，
故函数存在2个不同的零点，A错误；
结合以上分析可作出函数图象：
函数在时取极大值，
故时，，则的最大值为1，C正确；
结合函数图象可知当时，图象与只有2个交点，
故方程有且只有两个实根，D正确，
故答案为：BCD
【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的极值，函数的最值，函数与方程的应用.先求出函数的导数，令，进而判断函数的单调性，求出函数的极值，据此可判断B选项；进一步作出函数的图象，利用零点存在定理可判断A选项；结合函数单调性，函数的极值可判断C选项；方程的根可转化为图象与的交点个数，观察函数的图象，可求出实数k的取值范围，判断D选项.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以为在上的极小值，也是最小值，
故，解得.
故答案为：
【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值.先求出导函数，再判断出在上单调性，进而判断出为在上的极小值和最小值，据此列出方程，解方程可求出答案.
13．【答案】48
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】按照分步计数原理，
第一步：涂区域1，有4种方法；
第二步：涂区域2，有3种方法；
第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；
所以不同的涂色种数有种．
故答案为：48
【分析】利用分步计数原理进行计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，不妨设，则，
所以，
可变形化简为，
构造函数，则，
所以在上是单调递增函数，
所以恒成立，
即在上恒成立，
当时，，
又时，，而，所以，
所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题考查函数恒成立问题.先设，则已知变为，构造函数，可推出在上是单调递增函数，则恒成立，分离参数可得，应用三角函数的有界限，结合符号法则可得：，据此可求出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解：，，
则，又，
曲线在点处的切线方程为，即．
取，得，取，得．
曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）解：设切点坐标为，由，
得，则曲线在切点处的切线方程为，
把点代入，可得，
整理得：．
切线有且仅有条，，解得或．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程.
（1）先求出导函数，代入可求出切点的纵坐标，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，进而求出切线方程，分别令可求出与坐标轴的交点坐标，据此可求出围成的三角形面积；
（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义可求出切线斜率，写出切线方程，代入点坐标，化简得到，根据可列出方程，解方程可求出答案.
16．【答案】（1）解：双曲线：的渐近线方程为，
则双曲线：过点，且渐近线方程为，
，解得，．
双曲线的方程为；
（2）解：设，，
由，消去并整理得，
直线与双曲线有两个交点，
，解得且．
，，
中点的坐标为，
设的垂直平分线方程：，
在上，即，
，解得或．
直线的方程为或．
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查双曲线方程，直线与双曲线的位置关系.
（1）根据条件可列出关于 的的方程组，解方程组可求出的值，进而写出双曲线C的方程.
（2）将直线方程和双曲线方程联立，消去，应用韦达定理可得：，，应用中点坐标公式可求出中点的坐标，写出的垂直平分线方程，根据线段的垂直平分线过点，进而列出关于k的方程，解方程可求出k的值，进而写出直线方程.
17．【答案】（1）证明：在平面上运动且恒成立，
，，，
平面，
，
，
，
平面，
，
，
平面，
；
（2）解：取中点为，连接，，，
，到直线的距离相等，
平面，，
，，为的高，
，同理，
平面，
，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，令，则，，
平面的一个法向量为
平面的一个法向量为
．
设平面与平面所成角为，
平面与平面所成角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求平面与平面所成的角.
（1）根据已知条件可推出，，利用直线与平面垂直的判定可证明：平面，再根据直线与平面垂直的性质可推出，进而推出平面，利用直线与平面垂直的性质可证明结论；
（2）取中点为，连接，，利用勾股定理和三棱锥的体积计算公式可求出，，，以为坐标原点构建空间直角坐标系，求出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出答案.
18．【答案】（1）解：由已知可得，
第次构造后得到的数列为，，，，，，，，，，
则，即与满足的关系式为；
（2）解：由，可得，
且，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，即；
（3）证明：，
，
．
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【分析】本题考查数列的通项公式，等比数列的定义，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和.
（1）根据新数列构造的定义可得：，，，进行整体代换可求出满足的关系式；
（2）根据递推公式变形可得：，利用等比数列的定义可证明为等比数列，利用等比数列的通项公式可求出答案；
（3）利用放缩可得，再利用等比数列求和公式进行化简，求和后可证明结论.
19．【答案】（1）解：，，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增，
令，得，即在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：令，，
，
令，，
则，
所以在上单调递增，
当时，，
又，
所以，，即单调递减，
，，即单调递增，
所以，而此时，
所以当时，成立，
当时，可得，，
所以，
又，
所以存在，使得，即，
，，单调递减，
，，单调递增，
，
由可得，，
下面证明，，
令，
，
所以在上单调递增，
，
即得证，即成立，
综上所述，当时，成立．
（3）证明：由，当时，有，即，
令，，得，
，
，
即．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的最值.
（1）先求出导函数，再分两种情况：当时；当时；讨论导函数的正负，进而确定原函数的单调性 ；
（2）令，分和两种情况讨论的正负，进而判断函数的单调性，再求出的最小值，利用最小值进行说明可证明结论；
（3）由（2）可知，当时，有，令，，根据不等式进行放缩可得：，对求和式子进行放缩化简后可证明结论.
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