2024-2025学年江苏省苏州市（昆山）高二第一学期期中调研数学试题（含答案)

2024-2025学年江苏省苏州市（昆山）高二第一学期期中调研数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知经过点，的直线的斜率为，则的值为
A. B. C. D.
2.等差数列中，，则的值为
A. B. C. D.
3.已知动点与两定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为
A. B.
C. D.
4.在和之间插入个实数使得成等比数列，则的值为
A. B. 或 C. D.
5.若两直线，平行，则实数的取值集合是
A. B. C. D.
6.等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为
A. B. C. D. 不能确定
7.已知直线与，过点的直线被两直线、所截得的线段恰好被点平分，则三条直线围成的三角形面积为
A. B. C. D.
8.已知数列 的前 项和为 ，且 ， 则 的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列是等差数列，是等比数列，，，，．
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.已知公差不为的等差数列的前项和为，则
A. 点在同一条直线上
B. 点在同一条直线上
C. 点在同一条直线上
D. 点均为正整数，且为常数在同一条直线上
11.已知直线，圆，则
A. 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大值是
B. 若与圆相交于，两点，且，则
C. 若圆上恰有四个点到的距离为，则
D. 若对于两个不同的值，与圆分别相切于点，，则所在直线的方程是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，两点到直线的距离相等，则的值为_____________．
13.已知等比数列满足，，则_____________．
14.如图，已知点，点为圆上的动点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是_____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知的三个顶点是，，，求：
边上的中线所在直线的方程；
边上的高所在直线的方程；
的角平分线所在直线的方程．
17.本小题分
已知数列，满足且，．
求；
证明数列是等比数列，并求．
18.本小题分
已知圆内有一点，倾斜角为的直线过点且与圆交于两点．
当时，求的长；
是否存在弦被点三等分？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由；
记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
19.本小题分
已知点，，向量，点在一条直线上，且满足．
求；
证明在同一个圆上，并求该圆的圆心和半径；
过引圆的切线，记切线与轴的交点为，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：设等差数列的公差为，由得，
又，所以
解得：
所以；
，
于是有，
，
作差得：
所以．
16.解： 记的中点为，因为，，所以，
又因为，所以直线的方程为，即．
边所在直线的斜率，
因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为．
又因为边上的高经过点，
所以边上的高所在直线的方程为即．
由，可得的方程为，即．
由，可得的方程为，即．
设的角平分线上的点的坐标为，于是，
整理得：或．
经检验不符合题意．
所以的角平分线所在直线为．
17.由于且，，
所以
即
所以
由得，
则，
将代入得，
化简得，
所以，
又，
所以，
所以，
又，所以
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，所以．
18.解：由于，所以直线的斜率为，的方程为，
设圆心到直线的距离为，则，
所以
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则的方程为，圆心到直线的距离为，
则
记中点为，由于为的三等分点，，有
即
解得，
所以
易知，当直线的斜率不存在时，，，不妨取，，
则，，
此时．
直线的斜率存在时，设为，则的方程为，将代入圆的方程得，，
设，，则，，
，所以，
综上，为定值．
19.解：因为，，所以，
又因为，所以，
于是．
因为点，，在一条直线上，设，
于是，
因为，所以，解得：，
所以，
设，，则，带入，
整理得：，
所以在同一个圆上，且圆心，半径．
直线的斜率是，
所以圆在点处的切线的斜率为，
所以圆在点处的切线的方程是，
与轴的方程联立解得：，所以，
又因为，
所以．
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