江苏省淮安市盱眙县新马高中2015-2016学年高一（上）第二次月考数学试卷（解析版）

2015-2016学年江苏省淮安市盱眙县新马高中高一（上）第二次月考数学试卷
　
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上.）
1．sin660°的值是　　　　　　．
　
2．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|log2x≤2}，则A∩B=　　　　　　．
　
3．设P（x，2）是角α终边上一点，且满足sinα=，则实数x=　　　　　　．
　
4．设圆弧所对的圆心角为30°，半径为r=3，则弧长l=　　　　　　．
　
5．已知a=log23.4，b=log43.6，c=log30.3，则a，b，c从小到大排列为　　　　　　．
　
6．已知x+x﹣1=5，则x2+x﹣2的值是　　　　　　．
　
7．已知幂函数y=x3m﹣7（m∈N）的图象关于y轴对称，且与x轴，y轴均无交点，则m=　　　　　　．
　
8．已知函数f（x）=4x5+3x3+2x+1，则=　　　　　　．
　
9．函数f（x）=loga（6﹣ax）在（0，2）上为减函数，则a的取值范围是　　　　　　．
　
10．若cosθ tanθ＜0，则角θ在第　　　　　　象限．
　
11．已知log73=a，log74=b，用a，b表示log4948为　　　　　　．
　
12．已知f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围　　　　　　．
　
13．sinx，则x的取值范围为　　　　　　．
　
14．已知函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴有　　　　　　个交点．
　
　
二、解答题（本大题共6小题，第15、16、17题每题14分，第18、19、20题每题16分，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．计算：
（1）；
（2）．
　
16．已知α为第二象限角，且sin（π+α）=﹣，计算：
（1）cos（2π﹣α）；
（2）tan（α﹣7π）．
　
17．已知．
（1）求sinθ cosθ的值；
（2）当0＜θ＜π时，求tanθ的值．
　
18．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．
（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）
　
19．已知函数（a∈R）．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）为定义域上的奇函数，
①求函数f（x）的值域；
②求满足f（ax）＜f（2a﹣x2）的x的取值范围．
　
20．已知函数f（x）=log2x，x∈[2，8]，函数g（x）=[f（x）]2﹣2a f（x）+3的最小值为h（a）．
（1）求h（a）；
（2）是否存在实数m，n，同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
　
　
2015-2016学年江苏省淮安市盱眙县新马高中高一（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上.）
1．sin660°的值是　﹣　．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：sin660°=sin（720°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
　
2．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|log2x≤2}，则A∩B=　（0，2]　．
【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】哟条件利用对数函数的单调性和特殊点求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|log2x≤2}={x|log2x≤log24}={x|0＜x≤4}，
则A∩B=（0，2]，
故答案为：（0，2]．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，交集的运算，属于基础题．
　
3．设P（x，2）是角α终边上一点，且满足sinα=，则实数x=　±5　．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得x的值．
【解答】解：由题意可得=，求得x=±5，
故答案为：±5．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
　
4．设圆弧所对的圆心角为30°，半径为r=3，则弧长l=　　．
【考点】弧长公式．
【专题】计算题．
【分析】根据弧长公式即可计算得解．
【解答】解：∵圆弧所对的圆心角为30°=，半径为r=3，
∴则弧长l==．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了弧长公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．
　
5．已知a=log23.4，b=log43.6，c=log30.3，则a，b，c从小到大排列为　c＜b＜a　．
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】判断三个数与0，1的大小关系，然后求出结果．
【解答】解：a=log23.4＞1，b=log43.6∈（0，1），c=log30.3＜0，
∴c＜b＜a，
故答案为：c＜b＜a．
【点评】本题考查对数值的判断，大小比较，是基础题．
　
6．已知x+x﹣1=5，则x2+x﹣2的值是　23　．
【考点】有理数指数幂的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】直接对已知条件两边平方化简即可得到结果．
【解答】解：因为x+x﹣1=5，所以（x+x﹣1）2=25，
可得x2+x﹣2+2=25，
所以x2+x﹣2=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查有理指数幂的化简与求值，考查计算能力．
　
7．已知幂函数y=x3m﹣7（m∈N）的图象关于y轴对称，且与x轴，y轴均无交点，则m=　1　．
【考点】幂函数图象及其与指数的关系．
【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】利用幂函数的性质可得3m﹣7＜0，且3m﹣7为偶数，解出即可．
【解答】解：由题意可得：3m﹣7＜0，且3m﹣7为偶数．
解得m＜，∴m=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
　
8．已知函数f（x）=4x5+3x3+2x+1，则=　2　．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的值；对数的运算性质．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】判断函数y=4x5+3x3+2x是奇函数，利用对数运算法则化简所求表达式，即可得到结果．
【解答】解：函数f（x）=4x5+3x3+2x+1，函数g（x）=4x5+3x3+2x是奇函数，g（log23）+g（﹣log23）=0
则=f（log23）+f（﹣log23）=1+1=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．
　
9．函数f（x）=loga（6﹣ax）在（0，2）上为减函数，则a的取值范围是　（1，3]　．
【考点】复合函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由条件利用对数函数的性质，复合函数的单调性，可得，由此求得a的范围．
【解答】解：由函数f（x）=loga（6﹣ax）在（0，2）上为减函数，
可得函数t=6﹣ax在（0，2）上大于零，且t为减函数，且a＞1，
故有，求得1＜a≤3，
故答案为：（1，3]．
【点评】本题主要考查对数函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题．
　
10．若cosθ tanθ＜0，则角θ在第　三或四　象限．
【考点】三角函数值的符号．
【专题】分类讨论；定义法；三角函数的求值．
【分析】根据三角函数符号和象限之间的关系进行判断即可．
【解答】解：若cosθ tanθ＜0，
则等价为或，
即θ是第三或四象限，
故答案为：三或四
【点评】本题主要考查三角函数象限的判断，比较基础．
　
11．已知log73=a，log74=b，用a，b表示log4948为　　．
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用对数换底公式、对数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵log73=a，log74=b，
∴log4948===．
故答案为：．
【点评】本题考查了对数换底公式、对数的运算法则，属于基础题．
　
12．已知f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围　，　．
【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数单调性的性质，确定a满足的条件即可求得a的取值范围．
【解答】解：要使函数f（x）是增函数，
则满足，
即，
即，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分段函数的单调性，分段函数单调递增，则每个函数需满足条件，且在端点处也满足相应的大小关系．
　
13．sinx，则x的取值范围为　[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）　．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】利用正弦函数的图象与性质即可求得不等式sinx中x的取值范围．
【解答】解：∵sinx≥，作出y=sinx与直线y=的图象，
由图知，当2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）时，sinx≥，
∴sinx中x的取值范围时[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）．
故答案为：[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）．
【点评】本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查正弦函数的单调性与作图能力，属于中档题．
　
14．已知函数f（x）=，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴有　2　个交点．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数，函数值的求法，分类讨论，分别代入得到相应的方程的，解得即可．
【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+1，
当x≤0时，f（x）=x+1，
当﹣1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0
y=f[f（x）]﹣1=log2（x+1）﹣1=0，即log2（x+1）=1，解得x=1（舍去）
当x≤﹣1时，f（x）=x+1≤0，
y=f[f（x）]+1=f（x）+1﹣1=x+1=0，
∴x=﹣1．
当x＞0时，f（x）=log2x，
y=f[f（x）]﹣1=log2[f（x）]﹣1，
当0＜x＜1时，f（x）=log2x＜0，
y=f[f（x）]﹣1=log2[f（x）]﹣1=log2（log2x+1）﹣1=0，
∴log2x﹣1=0，x=2（舍去）
当x＞1时，f（x）=log2x＞0，
∴y=f[f（x）]﹣1=log2（log2x）﹣1=0，
∴log2x=2，x=4．
综上所述，y=f[f（x）]﹣1的零点是x=﹣1，或x=4，
∴则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴有2个交点，
故答为：2．
【点评】本题考查了函数零点的问题，以及函数值的问题，关键是分类讨论，属于中档题
　
二、解答题（本大题共6小题，第15、16、17题每题14分，第18、19、20题每题16分，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．计算：
（1）；
（2）．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【专题】常规题型；方案型；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．
（2）利用对数运算法则化简求解即可．
【解答】（1）解： =π﹣3+（0.2）﹣1﹣=π …
（2）解： =+2×3== …
【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力．
　
16．已知α为第二象限角，且sin（π+α）=﹣，计算：
（1）cos（2π﹣α）；
（2）tan（α﹣7π）．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；规律型；三角函数的求值．
【分析】（1）利用诱导公式化简已知条件与所求的表达式，然后求解即可．
（2）化简所求的表达式为正弦函数余弦函数的形式，然后求解即可．
【解答】解：（1）α为第二象限角，且sin（π+α）=﹣，可得sin．
cos（2π﹣α）=…
（2）…
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力．
　
17．已知．
（1）求sinθ cosθ的值；
（2）当0＜θ＜π时，求tanθ的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题．
【分析】（1）可对两边进行平方然后整理即可求得sinθ cosθ的值．
（2）要求tanθ的值即求sinθ和cosθ的值故可根据以及第一问的结论sinθ cosθ的值即可求出sinθ和cosθ的值同时要根据0＜θ＜π以及sinθ cosθ的值的正负来确定θ的范围从而对sinθ和cosθ的值进行取舍．
【解答】解：（1） ．
（2）∵0＜θ＜π且sinαcosα＞0
∴
由 得．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用．解题的关键是对于已知sinθcosθ的关系求sinθ cosθ常采用两边平方来求而对于第二问需利用0＜θ＜π以及sinθ cosθ的值的正负来确定θ的范围从而对sinθ和cosθ的值进行取舍！
　
18．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．
（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）
【考点】函数的最值及其几何意义；根据实际问题选择函数类型．
【专题】应用题；压轴题；函数思想．
【分析】（1）观察图一可知此函数是分段函数（0，200）和（200，300）的解析式不同，分别求出各段解析式即可；第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可．
（2）要求何时上市的西红柿纯收益最大，先用市场售价减去种植成本为纯收益得到t时刻的纯收益h（t）也是分段函数，分别求出各段函数的最大值并比较出最大即可．
【解答】解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
由图二可得种植成本与时间的函数关系为．
（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）﹣g（t），
即h（t）=
当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=．
所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=，
所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5、
综上，由100＞87.5可知，h（t）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，
即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
【点评】本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．
　
19．已知函数（a∈R）．
（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）若f（x）为定义域上的奇函数，
①求函数f（x）的值域；
②求满足f（ax）＜f（2a﹣x2）的x的取值范围．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．
【专题】综合题；函数的性质及应用．
【分析】（1）函数f（x）为定义域（﹣∞，+∞），且，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，推导出f（x2）﹣f（x1）＞0，由此得到f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调增函数．
（2）由f（x）是定义域上的奇函数，知对任意实数x恒成立，由此能够求出函数f（x）的值域和满足f（ax）＜f（2a﹣x2）的x的取值范围．
【解答】（本小题满分16分）
解：（1）函数f（x）为定义域（﹣∞，+∞），
且，
任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2
则…
∵y=2x在R上单调递增，且x1＜x2
∴，，，，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调增函数．…
（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
即对任意实数x恒成立，
化简得，
∴2a﹣2=0，即a=1，…
（注：直接由f（0）=0得a=1而不检验扣2分）
①由a=1得，
∵2x+1＞1，∴，…
∴，∴
故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．…
②由a=1，得f（x）＜f（2﹣x2），
∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴x＜2﹣x2，…
解得﹣2＜x＜1，
故x的取值范围为（﹣2，1）．…
【点评】本题考查函数的单调性的判断，考查函数的值域的求法和满足f（ax）＜f（2a﹣x2）的x的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法判断函数的单调性的应用．
　
20．已知函数f（x）=log2x，x∈[2，8]，函数g（x）=[f（x）]2﹣2a f（x）+3的最小值为h（a）．
（1）求h（a）；
（2）是否存在实数m，n，同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）设t=f（x），利用换元法，可将已知函数化为一个二次函数，根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到h（a）的解析式．
（2）由（1）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上为减函数，进而根据h（a）的定义域为[n，m]时值域为[n2，m2]构造关于m，n的不等式组，如果不等式组有解，则存在满足条件的m，n的值；若无解，则不存在满足条件的m，n的值．
【解答】解：（1）令t=f（x），
∵函数f（x）=log2x，x∈[2，8]，
∴t∈[1，3]，y=g（x）=t2﹣2at+3，
当a≤1时，y=t2﹣2at+3在[1，3]上为增函数，此时当t=1时，h（a）=4﹣2a，
当1＜a＜2时，y=t2﹣2at+3在[1，a]上为减函数，在[a，3]上为增函数，此时当t=a时，h（a）=﹣a2+3，
当a≥2时，y=t2﹣2at+3在[1，3]上为减函数，此时当t=2时，h（a）=7﹣4a，
综上所述，h（a）=，
（2）由（1）得m＞n＞3时，h（a）在定义域为[n，m]中为减函数，
若此时值域为[n2，m2]．
则，
此时n+m=4，与m＞n＞3矛盾，故不存在满足条件的m，n的值；
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．