2024-2025学年江苏省泰州中学高二（上）月考数学试卷（10月份）(含答案）

2024-2025学年江苏省泰州中学高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若方程表示一个圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.平面内一点到两定点，的距离之和为，则的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
4.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面米，水面宽米，当水面下降米后，水面宽度为米．
A. B. C. D.
5.若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
6.已知点在圆：上，点，，则满足点的个数为( )
A. B. C. D.
7.设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知圆：，点，点是：上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知中，，，，则关于下列说法中正确的有( )
A. 某一边上的中线所在直线的方程为
B. 某一条角平分线所在直线的方程为
C. 某一边上的高所在直线的方程为
D. 某一条中位线所在直线的方程为
10.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角的取值范围是
B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
D. 设点，，若点在线段上含端点，则的取值范围是
11.已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是( )
A. 若点在直线上，则直线过定点
B. 当取得最小值时，点在圆上
C. 直线，关于直线对称
D. 与的乘积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求过点且与圆相切的直线方程为______．
13.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______．
14.已知为圆上任意一点，，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，和直线：．
求过点与直线平行的直线的方程；
求过，的中点与垂直的直线的方程．
16.本小题分
已知以点为圆心的圆与_____，过点的动直线与圆相交于，两点从直线相切；圆关于直线对称这个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题．
求圆的方程；
当时，求直线的方程．
17.本小题分
如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为．
用表示出直线的方程，并求出、的坐标；
求锯成的的面积的最小值．
18.本小题分
如图，圆：．
若圆与轴相切，求圆的方程；
当时，圆与轴相交于两点，点在点的左侧问：是否存在圆：，使得过点的任一条直线与该圆的交点，，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知，，为圆：上三点．
若直线过点，求面积的最大值；
若为曲线上的动点，且试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：的斜率为，因为，所以，
代入点斜式，得，
化简，得．
，的中点坐标为，因为，所以，
代入点斜式，得，
化简，得．
16.解：选：因为圆与直线相切，
所以圆的半径为，
因此圆的方程为；
选：因为圆与圆关于直线对称，
所以两个圆的半径相等，因此圆的半径为，
所以圆的方程为．
两种选择圆的方程都是，
当过点的动直线不存在斜率时，直线方程为，
把代入中，得，
显然，符合题意，
当过点的动直线存在斜率时，设为，
直线方程为，
圆心到该直线的距离为：，
因为，所以有，
即方程为：．
综上所述：直线的方程为或．
17.解：设直线：，
因为直线过点，所以，即，
所以，
又因为，，易得直线：，直线：，
联立，解得，
联立，解得
故，．
因为，，所以，所以，
因为，
设到直线的距离为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
18.解：因为由可得
，
由题意得，
所以，
故所求圆的方程为．
令，得，
即，
求得，或，
所以，．
假设存在圆：，当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，
代入得，
，
设，，从而
，．
因为、的斜率之和为
，
而
因为，
所以，、的斜率互为相反数，即
，
所以，即．
当直线与轴垂直时，仍然满足，即、的斜率互为相反数．
综上，存在圆：，使得．
19.解：方法一：直线过点，面积等于面积的一半，
设到直线的距离为，则，
，
设，则，
当，即时，面积取得最大值．
方法二：设直线的方程为，，，
将代入得，，
，
令，则，
当，即时，面积取得最大值．
设直线和直线的斜率之积为，
设，，，则，
，，
因为，为圆：上，所以，
，化简得，
整理得，
因为，所以，
从而，又因为为曲线上的动点，
所以，
展开得
，将代入得
，
化简得，
将代入得
，
整理得
，
因为，所以，从而，
又，所以．
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