矩形翻折模型—北师大版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2024七下·冷水滩期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置.若∠EFB=65°，则∠AED'的度数为（ ）
A．65° B．90° C．60° D．50°
【答案】D
【知识点】矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠知，
四边形为矩形，
，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质可得 ∠ EFB= ∠ DEF=65 ° ，再根据折叠可得，据此即可求得．
2．（2024八下·麒麟月考）如图所示，在矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，则重叠部分的面积是（ ）
A．20 B．16 C．12 D．10
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得
四边形ABCD是矩形，
BF=DF，
在Rt△DFC中，
解得DF=5，
故答案为：D.
【分析】由折叠的性质可得再证明得到BF=DF，利用勾股定理列出关于DF的方程，解方程得到DF的值，利用三角形的面积公式即可求解.
3．（2023八下·商洛期末）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点C与点A重合，则的长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．15
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，
∴D′F=DF，AD′=AB=CD=12，∠D=∠D′=90°，AD=Bc=24，
设AF=x，则DF=24-x，
∴122+（24-x）2=x2，
解之：x=15，
∴AF的长为15.
故答案为：D.
【分析】利用矩形和折叠的性质可知D′F=DF，AD′=AB=CD=12，∠D=∠D′=90°，AD=Bc=24，设AF=x，则DF=24-x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AF的长.
4．（2024八下·昌黎期末）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB=6，则BC的长为（ ）
A．1 B． C． D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=90°，
由折叠得AO=CO=BC=AD，
设BC=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中，BC2+AB2=AC2，
∴x2+62=(2x)2，
解得x=（负值已舍）
即BC的长为.
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质得AD=BC，∠B=90°，由折叠得AO=CO=BC=AD，设BC=x，则AC=2x，在Rt△ABC中，由勾股定理建立方程可求出BC的长.
5．（2024八下·兴宁月考）某周五学校举行了家长开放日活动，在以“纸片的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BM为x ，
∵四边形ABEF是正方形
∴AB=BE=EF=4，∠BEF=90°
∴ME=4-x，MC=6-x
∵三角形MNC翻折后得到三角形MFN
∴MF=MC=6-x
∴42+（4-x）2=（6-x）2，解得x=1；
∴BM的长为1
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，可得AB=BE=EF=4，∠BEF=90°；根据线段的计算，可得ME和MC的代数式；根据翻折的性质，可得MF=MC=6-x；根据勾股定理，列一元二次方程，即可求出BM的值.
6．（2024七下·杭州期中）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74° B．72° C．70° D．68°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠得：
∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
即：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得到∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，进而得到：然后结合平行线的性质得到：进而即可求解.
二、填空题
7．（2024八下·黔东南期末）在矩形中，点，分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：根据折叠可得，∠A=∠EPF=90°，AF=FP，
当BP⊥EP时，即点B、P、F三点共线时，BP的值最小，
即点P在矩形ABCD的对角线BD上，
故FP=AD=3，
在Rt△ADB中，，
∴.
故答案为：.
【分析】根据折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应角相等，对应边相等可得∠A=∠EPF=90°，AF=FP，推得点B、P、F三点共线时，BP的值最小，得出FP=AD=3，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出BD的值，根据BP=BD-DP即可求解.
8．（2023八下·潍坊期末）如图，在矩形中，在边上，将沿折叠，点恰好落在矩形的对称中心处，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接OD，如图：
∵O是矩形ABCD的中心，
∴点B、O、D三点共线，OD=OB，
∵△BOE由△BAE沿BE折叠得到的，
∴OB=BA=OD，
∵，
∴BD=2OB=2，
∵矩形ABCD，
∴CD=AB=1，∠C=90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得：
BC=，
故答案为：.
【分析】先求出BD=2OB=2，再结合CD=AB=1，∠C=90°，利用勾股定理求出BC的长即可.
9． 如图，一张矩形纸片 中， 点 在 边上， 把 沿直线 折叠， 使点 落在对角线 上的点 处．点 在 边上，把 沿直线 折叠，使点 落在线段 上的点 处． 若 ， 则 ， 矩形 的面积
【答案】29；420
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，
，
，
由折叠的性质可得，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，解得，
，
.
故答案为：29；420.
【分析】设，利用折叠的性质可得，再通过勾股定理得到，解得，进而求得BD的长度及矩形的面积.
10．（2024八下·海曙期末）在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶
第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是 ．
【答案】10
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可知：四边形ABEF是正方形，四边形ABCD和四边形CDFE都是矩形，
，，，
是由折叠得到的，
，
在中，，即，
在中，，即，
联立解得：，
故答案为：10．
【分析】由题意可知：四边形ABEF是正方形，四边形ABCD和四边形CDFE都是矩形，根据矩形的性质，正方形的性质，得EF=AB=8，BC=AD=12，EC=FD=AD-AF=4，由翻折性质得GE=CE=4，在Rt△DGH与Rt△EFH中，再利用勾股定理列方程建立方程组，解出即可．
三、解答题
11．（2024八下·定州期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，求的长．
【答案】解：由翻折而成，
，，
设，则，
，，
，
在与中，
≌，
，
在中，，
即，解得，即．
【知识点】矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【分析】根据翻折的性质可得，，设DE为x，则AE为16-x，根据矩形的性质可得∠A=∠ABC=90°，依据AAS判定△ABE≌△C'DE推出BE=DE=x，根据勾股定理列出方程，求解即可.
12．（2024八下·中山期中）如图，一张长方形纸片ABCD，长，宽；将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，解答下列问题：
（1）求BF的长；
（2）求EC的长．
【答案】（1）解：在长方形ABCD中，，，
∵将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴，
在中，由勾股定理得：
；
（2）解：∵，BC=20cm，
∴CF=BC-BF=8cm，
∵四边形ABCD是长方形，，，
∴，∠C=90°，
∵将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，即．
【知识点】勾股定理；矩形翻折模型
【解析】【分析】（1）根据长方形的性质和折叠的性质得到：，然后在中，利用勾股定理即可求出BF的长度；
（2）根据线段间的数量关系及长方形性质求出，，然后根据折叠的性质得到：，设，则，在中，利用勾股定理列出方程进而即可求解.
13．（2024八下·潮安期中） 如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F，若AB＝6，BC＝8．
（1）求DF的长；
（2）求△DBF和△DEF的面积；
（3）求△DBF中F点到BD边上的距离．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠DBC＝∠FDB，
由折叠性质得：∠DBC＝∠DBE，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴BF＝FD，
设AF＝x，则BF＝DF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，
即：62+x2＝（8﹣x）2，
解得：.
（2）解：由折叠的性质得：BE＝BC＝8，DE＝CD＝6，∠E＝90°，
（3）解：
设F到BD边上的距离为h，
即：
解得：
∴F到BD边上的距离为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠A＝90°，AD∥BC，根据平行线的性质和折叠性质可证得∠FDB＝∠FBD，由等角对等边得FB=FD，设AF=x，在Rt△ABF中利用勾股定理可求得x长，即可得DF长；
（2）由折叠性质得BE＝BC＝8，DE＝CD＝6，∠E＝90°，利用BE-BF可得EF长，利用可得 △DEF 的面积，利用可求得△DBF的面积；
（3）利用勾股定理求出BD的长，利用“”即可求得BD边上的高h，也即F点到BD边上的距离 .
1 / 1矩形翻折模型—北师大版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2024七下·冷水滩期末）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置.若∠EFB=65°，则∠AED'的度数为（ ）
A．65° B．90° C．60° D．50°
2．（2024八下·麒麟月考）如图所示，在矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，则重叠部分的面积是（ ）
A．20 B．16 C．12 D．10
3．（2023八下·商洛期末）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点C与点A重合，则的长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．15
4．（2024八下·昌黎期末）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB=6，则BC的长为（ ）
A．1 B． C． D．12
5．（2024八下·兴宁月考）某周五学校举行了家长开放日活动，在以“纸片的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
6．（2024七下·杭州期中）已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74° B．72° C．70° D．68°
二、填空题
7．（2024八下·黔东南期末）在矩形中，点，分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接，若，，则的最小值为 ．
8．（2023八下·潍坊期末）如图，在矩形中，在边上，将沿折叠，点恰好落在矩形的对称中心处，若，则的长为 ．
9． 如图，一张矩形纸片 中， 点 在 边上， 把 沿直线 折叠， 使点 落在对角线 上的点 处．点 在 边上，把 沿直线 折叠，使点 落在线段 上的点 处． 若 ， 则 ， 矩形 的面积
10．（2024八下·海曙期末）在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶
第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是 ．
三、解答题
11．（2024八下·定州期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，求的长．
12．（2024八下·中山期中）如图，一张长方形纸片ABCD，长，宽；将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，解答下列问题：
（1）求BF的长；
（2）求EC的长．
13．（2024八下·潮安期中） 如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F，若AB＝6，BC＝8．
（1）求DF的长；
（2）求△DBF和△DEF的面积；
（3）求△DBF中F点到BD边上的距离．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠知，
四边形为矩形，
，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质可得 ∠ EFB= ∠ DEF=65 ° ，再根据折叠可得，据此即可求得．
2．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得
四边形ABCD是矩形，
BF=DF，
在Rt△DFC中，
解得DF=5，
故答案为：D.
【分析】由折叠的性质可得再证明得到BF=DF，利用勾股定理列出关于DF的方程，解方程得到DF的值，利用三角形的面积公式即可求解.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，
∴D′F=DF，AD′=AB=CD=12，∠D=∠D′=90°，AD=Bc=24，
设AF=x，则DF=24-x，
∴122+（24-x）2=x2，
解之：x=15，
∴AF的长为15.
故答案为：D.
【分析】利用矩形和折叠的性质可知D′F=DF，AD′=AB=CD=12，∠D=∠D′=90°，AD=Bc=24，设AF=x，则DF=24-x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AF的长.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=90°，
由折叠得AO=CO=BC=AD，
设BC=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中，BC2+AB2=AC2，
∴x2+62=(2x)2，
解得x=（负值已舍）
即BC的长为.
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质得AD=BC，∠B=90°，由折叠得AO=CO=BC=AD，设BC=x，则AC=2x，在Rt△ABC中，由勾股定理建立方程可求出BC的长.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BM为x ，
∵四边形ABEF是正方形
∴AB=BE=EF=4，∠BEF=90°
∴ME=4-x，MC=6-x
∵三角形MNC翻折后得到三角形MFN
∴MF=MC=6-x
∴42+（4-x）2=（6-x）2，解得x=1；
∴BM的长为1
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质，可得AB=BE=EF=4，∠BEF=90°；根据线段的计算，可得ME和MC的代数式；根据翻折的性质，可得MF=MC=6-x；根据勾股定理，列一元二次方程，即可求出BM的值.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠得：
∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
即：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得到∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，进而得到：然后结合平行线的性质得到：进而即可求解.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：根据折叠可得，∠A=∠EPF=90°，AF=FP，
当BP⊥EP时，即点B、P、F三点共线时，BP的值最小，
即点P在矩形ABCD的对角线BD上，
故FP=AD=3，
在Rt△ADB中，，
∴.
故答案为：.
【分析】根据折叠前后的两个图形是全等图形，全等图形的对应角相等，对应边相等可得∠A=∠EPF=90°，AF=FP，推得点B、P、F三点共线时，BP的值最小，得出FP=AD=3，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出BD的值，根据BP=BD-DP即可求解.
8．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接OD，如图：
∵O是矩形ABCD的中心，
∴点B、O、D三点共线，OD=OB，
∵△BOE由△BAE沿BE折叠得到的，
∴OB=BA=OD，
∵，
∴BD=2OB=2，
∵矩形ABCD，
∴CD=AB=1，∠C=90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得：
BC=，
故答案为：.
【分析】先求出BD=2OB=2，再结合CD=AB=1，∠C=90°，利用勾股定理求出BC的长即可.
9．【答案】29；420
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，
，
，
由折叠的性质可得，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，解得，
，
.
故答案为：29；420.
【分析】设，利用折叠的性质可得，再通过勾股定理得到，解得，进而求得BD的长度及矩形的面积.
10．【答案】10
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意可知：四边形ABEF是正方形，四边形ABCD和四边形CDFE都是矩形，
，，，
是由折叠得到的，
，
在中，，即，
在中，，即，
联立解得：，
故答案为：10．
【分析】由题意可知：四边形ABEF是正方形，四边形ABCD和四边形CDFE都是矩形，根据矩形的性质，正方形的性质，得EF=AB=8，BC=AD=12，EC=FD=AD-AF=4，由翻折性质得GE=CE=4，在Rt△DGH与Rt△EFH中，再利用勾股定理列方程建立方程组，解出即可．
11．【答案】解：由翻折而成，
，，
设，则，
，，
，
在与中，
≌，
，
在中，，
即，解得，即．
【知识点】矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【分析】根据翻折的性质可得，，设DE为x，则AE为16-x，根据矩形的性质可得∠A=∠ABC=90°，依据AAS判定△ABE≌△C'DE推出BE=DE=x，根据勾股定理列出方程，求解即可.
12．【答案】（1）解：在长方形ABCD中，，，
∵将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴，
在中，由勾股定理得：
；
（2）解：∵，BC=20cm，
∴CF=BC-BF=8cm，
∵四边形ABCD是长方形，，，
∴，∠C=90°，
∵将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，即．
【知识点】勾股定理；矩形翻折模型
【解析】【分析】（1）根据长方形的性质和折叠的性质得到：，然后在中，利用勾股定理即可求出BF的长度；
（2）根据线段间的数量关系及长方形性质求出，，然后根据折叠的性质得到：，设，则，在中，利用勾股定理列出方程进而即可求解.
13．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠DBC＝∠FDB，
由折叠性质得：∠DBC＝∠DBE，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴BF＝FD，
设AF＝x，则BF＝DF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，
即：62+x2＝（8﹣x）2，
解得：.
（2）解：由折叠的性质得：BE＝BC＝8，DE＝CD＝6，∠E＝90°，
（3）解：
设F到BD边上的距离为h，
即：
解得：
∴F到BD边上的距离为．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠A＝90°，AD∥BC，根据平行线的性质和折叠性质可证得∠FDB＝∠FBD，由等角对等边得FB=FD，设AF=x，在Rt△ABF中利用勾股定理可求得x长，即可得DF长；
（2）由折叠性质得BE＝BC＝8，DE＝CD＝6，∠E＝90°，利用BE-BF可得EF长，利用可得 △DEF 的面积，利用可求得△DBF的面积；
（3）利用勾股定理求出BD的长，利用“”即可求得BD边上的高h，也即F点到BD边上的距离 .
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