垂美四边形模型—北师大版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2023八上·清苑期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若，，则等于（ ）
A．15 B．16 C．17 D．20
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形是“垂美”四边形，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意即可得到，再根据勾股定理得到，，进而得到，从而结合题意运用勾股定理即可求解。
二、填空题
2．（2020·雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 交于点O．若 ，则 ．
【答案】20
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴ AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
3．（2024八上·雅安期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则＝ ．
【答案】41
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：41．
【分析】抓住有对顶角的一对直角三角形，根据勾股定理得AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2，AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2，于是有：AD2+BC2=AB2+DC2，据此求解。
4．（2024九下·泰山模拟）小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形，如图：已知四边形中，，垂足为，对角线，，设，则的最小值等于 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；平行四边形的性质
三、实践探究题
5．（2024八下·高州期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求．
【答案】61
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形是“垂美”四边形，
∴，
则
∵
∴．
【分析】根据题意可得，结合勾股定理即可求出答案.
6．（2024八下·平泉期中）我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”．
探索证明（1）如图，设，猜想之间的关系，用等式表示出来，并说明理由．（提示：运用勾股定理说理）
变式思考（2）如图，是的中线，，垂足为O，设，请用一个等式把三者之间的数量关系表示出来：
拓展应用（3）如图，在矩形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且求的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】勾股定理
7．（2023八上·西安月考）我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．如图1，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”．
（1）探索证明
如图1，设，，，，猜想，，，之间的关系，用等式表示出来，并说明你的理由．
（2）变式思考
如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，，，请用一个等式把，，三者之间的数量关系表示出来： ．
（3）拓展应用
如图3，在长方形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求的长．
【答案】（1）解：；
理由：∵，
∴．
在直角中，由勾股定理得．①
在直角中，由勾股定理得．②
在直角中，由勾股定理得．③
在直角中，由勾股定理得．④
由①+③得，
由②+④得，
∴．
（2）
（3）解：∵，E为的中点，
∴．
设，则．
∵，
∴．
由（1）得，即，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】勾股定理；三角形的中线
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴四边形BCDE是“垂美四边形”，
由（1）知，
∵BD，CE是△ABC的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
得.
【分析】（1）在4个直角三角形中分别利用勾股定理，从而即可得出结论；
（2）由，可得四边形BCDE是“垂美四边形”，由（1）知，再题中所给代入即可得到答案；
（3）由，E为的中点，，设，则．表示为，再由（1）得，即，最后解方程即可得到AB的长.
8．（2023八下·安化期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：我们已经学行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ．
（2）性质探究：如图2，已知四边形是垂美四边形，求证：．
（3）问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，交于点，已知，，求的长．
【答案】（1）菱形，正方形
（2）证明：如图，连接，交于点．
四边形是垂美四边形，
，
．
由勾股定理，得，
，
．
（3）解：如图，连接，．
，
，即．
在和中，，，，
，
．
又，
．
又，
，
，
四边形是垂美四边形．
由（2）可知，
，，
由勾股定理，得，，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）由题意得在这四种图形中是垂美四边形的是菱形，正方形，
故答案为：菱形，正方形
【分析】（1）直接根据垂美四边形的定义即可求解；
（2）连接，交于点，先根据垂美四边形的定义得到，进而结合题意运用勾股定理即可求解；
（3）连接，，先根据题意即可得到，即，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，再结合题意证明四边形是垂美四边形，由（2）可知，再然后根据勾股定理即可求解。
1 / 1垂美四边形模型—北师大版数学八（上）知识点训练
一、选择题
1．（2023八上·清苑期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若，，则等于（ ）
A．15 B．16 C．17 D．20
二、填空题
2．（2020·雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 交于点O．若 ，则 ．
3．（2024八上·雅安期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则＝ ．
4．（2024九下·泰山模拟）小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形，如图：已知四边形中，，垂足为，对角线，，设，则的最小值等于 ．
三、实践探究题
5．（2024八下·高州期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求．
6．（2024八下·平泉期中）我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”．
探索证明（1）如图，设，猜想之间的关系，用等式表示出来，并说明理由．（提示：运用勾股定理说理）
变式思考（2）如图，是的中线，，垂足为O，设，请用一个等式把三者之间的数量关系表示出来：
拓展应用（3）如图，在矩形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且求的长．
7．（2023八上·西安月考）我们把对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．如图1，已知四边形，，像这样的四边形称为“垂美四边形”．
（1）探索证明
如图1，设，，，，猜想，，，之间的关系，用等式表示出来，并说明你的理由．
（2）变式思考
如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，，，请用一个等式把，，三者之间的数量关系表示出来： ．
（3）拓展应用
如图3，在长方形中，E为的中点，若四边形为“垂美四边形”，且，求的长．
8．（2023八下·安化期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：我们已经学行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ．
（2）性质探究：如图2，已知四边形是垂美四边形，求证：．
（3）问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，交于点，已知，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形是“垂美”四边形，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意即可得到，再根据勾股定理得到，，进而得到，从而结合题意运用勾股定理即可求解。
2．【答案】20
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2，
∵AD=2，BC=4，
∴ AD2+BC2=22+42=20，
故答案为：20.
【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.
3．【答案】41
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：41．
【分析】抓住有对顶角的一对直角三角形，根据勾股定理得AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2，AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2，于是有：AD2+BC2=AB2+DC2，据此求解。
4．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；平行四边形的性质
5．【答案】61
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形是“垂美”四边形，
∴，
则
∵
∴．
【分析】根据题意可得，结合勾股定理即可求出答案.
6．【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】勾股定理
7．【答案】（1）解：；
理由：∵，
∴．
在直角中，由勾股定理得．①
在直角中，由勾股定理得．②
在直角中，由勾股定理得．③
在直角中，由勾股定理得．④
由①+③得，
由②+④得，
∴．
（2）
（3）解：∵，E为的中点，
∴．
设，则．
∵，
∴．
由（1）得，即，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】勾股定理；三角形的中线
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴四边形BCDE是“垂美四边形”，
由（1）知，
∵BD，CE是△ABC的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
得.
【分析】（1）在4个直角三角形中分别利用勾股定理，从而即可得出结论；
（2）由，可得四边形BCDE是“垂美四边形”，由（1）知，再题中所给代入即可得到答案；
（3）由，E为的中点，，设，则．表示为，再由（1）得，即，最后解方程即可得到AB的长.
8．【答案】（1）菱形，正方形
（2）证明：如图，连接，交于点．
四边形是垂美四边形，
，
．
由勾股定理，得，
，
．
（3）解：如图，连接，．
，
，即．
在和中，，，，
，
．
又，
．
又，
，
，
四边形是垂美四边形．
由（2）可知，
，，
由勾股定理，得，，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）由题意得在这四种图形中是垂美四边形的是菱形，正方形，
故答案为：菱形，正方形
【分析】（1）直接根据垂美四边形的定义即可求解；
（2）连接，交于点，先根据垂美四边形的定义得到，进而结合题意运用勾股定理即可求解；
（3）连接，，先根据题意即可得到，即，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，再结合题意证明四边形是垂美四边形，由（2）可知，再然后根据勾股定理即可求解。
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