广西南宁市2023-2024学年高二上学期1月教学质量调研（期末）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（2024高二上·南宁期末）若直线过点，，则该直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·南宁期末）已知数列是等差数列，为其前项和，，，则的值为（ ）
A．48 B．56 C．81 D．100
3．（2024高二上·南宁期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
4．（2024高二上·南宁期末）已知数列满足，，则 （ ）
A． B．2 C．12 D．33
5．（2024高二上·南宁期末）如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·南宁期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（ ）
A．10 B．18 C．36 D．40
7．（2024高二上·南宁期末）已知点和圆：一束光线从点经轴反射到圆上的最短路程是（ ）
A． B．8 C． D．10
8．（2024高二上·南宁期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（2024高二上·南宁期末）在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．（2024高二上·南宁期末）下列说法错误的有（ ）
A．若，则直线的斜率大于0
B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为
D．经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为
11．（2024高二上·南宁期末）已知数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则是等差数列
B．若 ，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且 则
12．（2024高二上·南宁期末）已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．二面角的大小为
B．
C．若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高二上·南宁期末）已知圆的方程为，则圆的半径为 ．
14．（2024高二上·南宁期末）已知，，，则在上的投影向量的模为 ．
15．（2024高二上·南宁期末）已知函数且过定点，直线过定点，则 ．
16．（2024高二上·南宁期末）记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2024高二上·南宁期末）已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长
18．（2024高二上·南宁期末）已知等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的前项和．
19．（2024高二上·南宁期末）已知圆．
（1）已知直线l：，求该直线截得圆C的弦AB的长度；
（2）若直线过点且与圆C相交于M，N两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
20．（2024高二上·南宁期末）如图，在直角梯形中，∥，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．
（1）求证：∥平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21．（2024高二上·南宁期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）直线与相交异于坐标原点的两点，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
22．（2024高二上·南宁期末）如图，已知点M在圆上运动，轴（垂足为N），点Q在NM的延长线上，且．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）直线：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆上存在两点C、D，满足，，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：因为直线过点， ，则该直线的斜率为：
故答案为：A.
【分析】本题主要考查斜率公式，根据过两点斜率公式求解即可.
2．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：数列是等差数列， 则根据求和公式可得：
故答案为：C.
【分析】本题主要考查等差数列的基本性质及求和公式，根据等差数列的性质：若，则，再根据求和公式进行求解即可.
3．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为方程表示双曲线 ，所以即
故答案为：A.
【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，根据题意建立不等式进行求解即可.
4．【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为数列满足， ，
所以
则数列是周期为3的数列，
故
故答案为：A.
【分析】本题主要考查数列的递推关系的应用，根据已知数列的递推关系求得数列的周期，利用周期进行解题即可.
5．【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】连接 ，
是 的中点， ， ，
.
故答案为：B
【分析】由向量的加法、减法及数乘运算法则计算，可得答案.
6．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为在正项等比数列中，为其前n项和，
若， 所以
即又根据等比数列求和公式可得：，
则可得：即解得：或者（舍去），
则
故答案为：D.
【分析】本题主要考查等比数列的求和公式、立方差公式，根据已知条件可求得然后利用等比数列的求和公式及立方差公式可求得然后再运用等比数列的求和公式进行求解即可.
7．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由反射定律可得点关于x轴的对称点为必在反射光线上，
当反射光线经过圆心时距离最短，最短路程为：
故光线从点经轴反射到圆上的最短路程是 8.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，根据反射定律可得点关于x轴的对称点为必在反射光线上，当反射光线经过圆心时距离最短，然后运用两点间的距离公式进行求解即可.
8．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得：且
又即则故离心率
连接作则N为的中点，
又，故
又即
又根据椭圆的定义可得：即
则离心率
综上所述的离心率的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查椭圆的定义及基本性质，余弦函数的单调性，根据题意可得解得离心率再利用椭圆的定义及性质求出等腰三角形的底角的余弦值，列出不等式进行求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】空间向量的概念；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：解画出正方体，如图所示：
对于A选项：根据正方体的性质可得：，，，不共面，能作为空间的一个基底，故A选项正确；
对于B选项：因为则，，，共面，不能作为空间的一个基底，故B选项错误；
对于C选项：，，不共面，能作为空间的一个基底，故C选项正确；
对于D选项：，
所以，，，共面不能作为空间的一个基底，故D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】本题主要考查基地向量的定义，根据正方体的性质及不共面的三个向量可以作为空间向量的基底，逐项判定即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：对于A选项：直线的斜率为因为，则故A选项错误；
对于B选项：过点且斜率为的直线的点斜式方程为 ，故B选项正确；
C选项： 斜率为-2，在y轴上截距为3的直线方程为故C选项错误；
对于D选项：经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程可设为
将点代入得：解得
故过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为，故D选项错误.
故答案为：ACD.
【分析】本题主要考查直线方程的基本概念，A选项，根据直线的斜率即可判定；B选项，结合直线的点斜式方程即可判定；C选项：利用直线的斜截式方程即可判定；D选项：根据题意设出直线的方程，再将点代入即可求解.
11．【答案】B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：对于A选项：①，则，则①-②可得：
当时，不满足，故数列不是等差数列；
对于B选项：①，则，
则①-②可得：当时，满足故B选项正确；
对于C选项：若是等差数列，则故C选项正确；
对于D选项：若是等比数列，且
则，故D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】本题主要考查等差数列的基本性质及求和公式、等比数列的基本性质及求和公式.利用并结合n=1时的情况即可判定AB选项；利用等差数列的求和公式及基本性质即可判定C选项；利用等比数列的求和公式即可判定D选项.
12．【答案】B,C,D
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：由正方体的性质可建立如图所示空间直角坐标系：则
，设其中
对于A选项：设平面的法向量为
则令，可得：，故
同理可求得平面的一个法向量为
设二面角 的平面角为，
则
二面角的余弦值为，不为，故二面角的大小不为，故A选项错误；对于B选项：，则则，故B选项正确；
对于C选项：由于O在正方形内部，且，若E，F分别是上的点，且
此时由图可知：O在上，故以C为圆心，为半径的四分之一圆弧上，
所以点O的轨迹长度为：故C选项正确；
对于D选项：设直线CD与平面所成的角为，因为平面，
故为平面的法向量，而，
故
又，所以故D选项正确.
【分析】本题考查空间中、直线、平面的位置关系，根据几何体为正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，然后利用向量的数量积计算夹角的余弦值即可判定A选项；求出坐标，求出即可判定B选项；由已知条件确定O的轨迹图形，进而求其长度判定C选项；最后利用直线CD和平面的法向量计算线面角的正弦值后即可判定D选项.
13．【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】解：将圆的方程为 ，化为标准方程：
则圆的半径为：.
故答案为：.
【分析】本题主要考查圆的一般方程与标准方程得互化，根据已知圆的一般方程通过配方得到圆的标准方程，从而即可求得半径.
14．【答案】
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，， 所以
则在上的投影向量的模为
故答案为：.
【分析】本题主要考查投影向量的定义，根据已知条件，写出的坐标，然后根据投影向量的定义结合数量积公式进行计算即可求解.
15．【答案】
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解： 因为函数且过定点，
直线 的方程可化为：，
则直线过定点
则则
故答案为：5.
【分析】根据已知条件求出点A，B的坐标，从而得到向量的坐标，再根据模长公式进行计算即可.
16．【答案】1296
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，所以当，时
当时，，
则①-②可得：则
又当，时满足则，
故又因为是等比数列的前三项 ，
则化简得：解得：或（舍去），
故故数列的公比
由等比数列的通项公式可得：
故答案为：1296.
【分析】本题主要考查求数列通项公式得方法、等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和公式，根据已知条件可求得数列的通项公式然后运用等差数列的求和公式求得再根据等比中项的性质及等比数列的通项公式进行求解即可.
17．【答案】解：由题可知，双曲线是等轴双曲线，设方程为
因为点在双曲线上，代入方程得：.
解得
所以双曲线的方程为，双曲线的标准方程为
并且，，
则.
离心率.
实轴长
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质、标准方程，根据题意可，设方程为，将点代入方程求出m，再根据双曲线的几何性质进行求解即可.
18．【答案】（1）设等比数列的首项和公比分别为和
∵，∴
∵，解得
∴
（2）由题可知，
∴.
∴
即
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】本题主要考查等比数列的通项公式及分组求和.
（1）根据等比数列的通项项公式及已知条件列出关于的方程组，解出即可求解；
（2）由题可知，然后分组利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和即可.
19．【答案】（1）法1：圆C的圆心坐标为，半径，
圆心C到直线的距离.
则截得的弦长
法2：
消得
法3：
消得
则
（2）因为直线过点且与圆C相交，所以直线的斜率一定存在.
设直线的方程为，即，
则圆心C到直线的距离为.
又的面积
所以当时S取最大值8
由，得，解得，
所以直线的方程为或
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】本题主要考查直线与圆相交的几何性质及弦长公式.
（1）方法一：根据圆的标准方程求出圆心及半径，再根据弦长公式，弦心距和半径的关系求解；
方法二：设出点A，B的坐标，联立直线的方程和圆的方程，消去y，然后利用韦达定理及弦长公式进行求解即可；方法三：求出A，B坐标结合举例公式可得答案.
（2）根据题意可得直线的斜率一定存在，设直线的方程为，求出圆心C到直线的距离从而又的面积，然后利用二次函数的性质即可求出S的最大值，再根据求出即可求解.
20．【答案】（1）证明：将直角梯形绕着旋转得到直角梯形，
故
且，
故四边形为平行四边形.
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为，，，
所以两两垂直.则以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.
因，设，
则
设，则，
设，则，解得，
故，
(i)当时，此时与重合，直线和平面垂直，不满足所成角的正弦值为，舍去；
(ii)当时，设平面的法向量为，
则，即
令，则，故
设直线和平面所成角的正弦值为，
则
解得或（舍去）
综上，在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，
此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题主要考查线面平行的判定、运用空间向量解决直线与平面所成角的问题.
（1）根据选择的性质可得：且，从而证明四边形为平行四边形，在根据四边形的性质可得：，然后根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据已知条件可得两两垂直，则以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，设，则，进而可求得点P的坐标，然后分和两种情况进行讨论结合直线与平面所成角的向量公式进行求解即可.
21．【答案】（1）解：法一因为到点的距离与到直线的距离相等；
所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线
故可设的方程为，
则有 所以，
故的方程为.
法二设的坐标为
则有
所以.
即， 所以的方程为.
（2）证明：法一设方程为，
因为，所以，即.
所以，即；
由得，
所以.
代入上式可得
即，所以；
所以方程为，故恒过定点.
法二设，
因为，所以；
所以
所以.
所以的方程为
整理得，
所以，即，
所以直线恒过定点.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合过定点问题.
（1）利用抛物线的定义或直接把条件转化为答案即可求解；
（2）设出直线l方程为，利用垂直结合向量的数量积运算求出n的值，进而利用直线与抛物线的方程或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理即可求得定点.
22．【答案】（1）解：设动点，点
由点在圆上，则，
由，则，，
把，代入，
得动点的轨迹方程为
（2）解：
联立直线与（1）中的轨迹方程得，
，由于有两个交点、，
故，解得，
设，，的中点，
由根与系数的关系得
则，
故AB的垂直平分线方程为，即
由圆上存在两点、，满足，，
可知的垂直平分线与圆交于、两点
由直线与圆的位置关系可得，解得：，
由、解得，的取值范围是.
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查代入法求动点轨迹方程、椭圆的几何性质及直线与椭圆的综合问题.
（1）利用代入法即可求出动点Q的轨迹方程；
（2）根据直线l与Q的轨迹交于两个不同的点，联立直线l及Q的轨迹方程消去y，利用判别式求出m的取值范围，将圆O上存在两点C、D，满足，，转化为AB的垂直平分线与圆O又两个交点，然后列出不等式求解即可.
1 / 1广西南宁市2023-2024学年高二上学期1月教学质量调研（期末）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（2024高二上·南宁期末）若直线过点，，则该直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：因为直线过点， ，则该直线的斜率为：
故答案为：A.
【分析】本题主要考查斜率公式，根据过两点斜率公式求解即可.
2．（2024高二上·南宁期末）已知数列是等差数列，为其前项和，，，则的值为（ ）
A．48 B．56 C．81 D．100
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：数列是等差数列， 则根据求和公式可得：
故答案为：C.
【分析】本题主要考查等差数列的基本性质及求和公式，根据等差数列的性质：若，则，再根据求和公式进行求解即可.
3．（2024高二上·南宁期末）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为方程表示双曲线 ，所以即
故答案为：A.
【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，根据题意建立不等式进行求解即可.
4．（2024高二上·南宁期末）已知数列满足，，则 （ ）
A． B．2 C．12 D．33
【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为数列满足， ，
所以
则数列是周期为3的数列，
故
故答案为：A.
【分析】本题主要考查数列的递推关系的应用，根据已知数列的递推关系求得数列的周期，利用周期进行解题即可.
5．（2024高二上·南宁期末）如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】连接 ，
是 的中点， ， ，
.
故答案为：B
【分析】由向量的加法、减法及数乘运算法则计算，可得答案.
6．（2024高二上·南宁期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（ ）
A．10 B．18 C．36 D．40
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为在正项等比数列中，为其前n项和，
若， 所以
即又根据等比数列求和公式可得：，
则可得：即解得：或者（舍去），
则
故答案为：D.
【分析】本题主要考查等比数列的求和公式、立方差公式，根据已知条件可求得然后利用等比数列的求和公式及立方差公式可求得然后再运用等比数列的求和公式进行求解即可.
7．（2024高二上·南宁期末）已知点和圆：一束光线从点经轴反射到圆上的最短路程是（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由反射定律可得点关于x轴的对称点为必在反射光线上，
当反射光线经过圆心时距离最短，最短路程为：
故光线从点经轴反射到圆上的最短路程是 8.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，根据反射定律可得点关于x轴的对称点为必在反射光线上，当反射光线经过圆心时距离最短，然后运用两点间的距离公式进行求解即可.
8．（2024高二上·南宁期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得：且
又即则故离心率
连接作则N为的中点，
又，故
又即
又根据椭圆的定义可得：即
则离心率
综上所述的离心率的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查椭圆的定义及基本性质，余弦函数的单调性，根据题意可得解得离心率再利用椭圆的定义及性质求出等腰三角形的底角的余弦值，列出不等式进行求解即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（2024高二上·南宁期末）在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A,C
【知识点】空间向量的概念；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：解画出正方体，如图所示：
对于A选项：根据正方体的性质可得：，，，不共面，能作为空间的一个基底，故A选项正确；
对于B选项：因为则，，，共面，不能作为空间的一个基底，故B选项错误；
对于C选项：，，不共面，能作为空间的一个基底，故C选项正确；
对于D选项：，
所以，，，共面不能作为空间的一个基底，故D选项错误.
故答案为：AC.
【分析】本题主要考查基地向量的定义，根据正方体的性质及不共面的三个向量可以作为空间向量的基底，逐项判定即可.
10．（2024高二上·南宁期末）下列说法错误的有（ ）
A．若，则直线的斜率大于0
B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为
D．经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为
【答案】A,C,D
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：对于A选项：直线的斜率为因为，则故A选项错误；
对于B选项：过点且斜率为的直线的点斜式方程为 ，故B选项正确；
C选项： 斜率为-2，在y轴上截距为3的直线方程为故C选项错误；
对于D选项：经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程可设为
将点代入得：解得
故过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为，故D选项错误.
故答案为：ACD.
【分析】本题主要考查直线方程的基本概念，A选项，根据直线的斜率即可判定；B选项，结合直线的点斜式方程即可判定；C选项：利用直线的斜截式方程即可判定；D选项：根据题意设出直线的方程，再将点代入即可求解.
11．（2024高二上·南宁期末）已知数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则是等差数列
B．若 ，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且 则
【答案】B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：对于A选项：①，则，则①-②可得：
当时，不满足，故数列不是等差数列；
对于B选项：①，则，
则①-②可得：当时，满足故B选项正确；
对于C选项：若是等差数列，则故C选项正确；
对于D选项：若是等比数列，且
则，故D选项错误.
故答案为：BC.
【分析】本题主要考查等差数列的基本性质及求和公式、等比数列的基本性质及求和公式.利用并结合n=1时的情况即可判定AB选项；利用等差数列的求和公式及基本性质即可判定C选项；利用等比数列的求和公式即可判定D选项.
12．（2024高二上·南宁期末）已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．二面角的大小为
B．
C．若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】B,C,D
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：由正方体的性质可建立如图所示空间直角坐标系：则
，设其中
对于A选项：设平面的法向量为
则令，可得：，故
同理可求得平面的一个法向量为
设二面角 的平面角为，
则
二面角的余弦值为，不为，故二面角的大小不为，故A选项错误；对于B选项：，则则，故B选项正确；
对于C选项：由于O在正方形内部，且，若E，F分别是上的点，且
此时由图可知：O在上，故以C为圆心，为半径的四分之一圆弧上，
所以点O的轨迹长度为：故C选项正确；
对于D选项：设直线CD与平面所成的角为，因为平面，
故为平面的法向量，而，
故
又，所以故D选项正确.
【分析】本题考查空间中、直线、平面的位置关系，根据几何体为正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，然后利用向量的数量积计算夹角的余弦值即可判定A选项；求出坐标，求出即可判定B选项；由已知条件确定O的轨迹图形，进而求其长度判定C选项；最后利用直线CD和平面的法向量计算线面角的正弦值后即可判定D选项.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高二上·南宁期末）已知圆的方程为，则圆的半径为 ．
【答案】
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】解：将圆的方程为 ，化为标准方程：
则圆的半径为：.
故答案为：.
【分析】本题主要考查圆的一般方程与标准方程得互化，根据已知圆的一般方程通过配方得到圆的标准方程，从而即可求得半径.
14．（2024高二上·南宁期末）已知，，，则在上的投影向量的模为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，， 所以
则在上的投影向量的模为
故答案为：.
【分析】本题主要考查投影向量的定义，根据已知条件，写出的坐标，然后根据投影向量的定义结合数量积公式进行计算即可求解.
15．（2024高二上·南宁期末）已知函数且过定点，直线过定点，则 ．
【答案】
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解： 因为函数且过定点，
直线 的方程可化为：，
则直线过定点
则则
故答案为：5.
【分析】根据已知条件求出点A，B的坐标，从而得到向量的坐标，再根据模长公式进行计算即可.
16．（2024高二上·南宁期末）记数列的前项和为，若，且是等比数列的前三项，则 ．
【答案】1296
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为，所以当，时
当时，，
则①-②可得：则
又当，时满足则，
故又因为是等比数列的前三项 ，
则化简得：解得：或（舍去），
故故数列的公比
由等比数列的通项公式可得：
故答案为：1296.
【分析】本题主要考查求数列通项公式得方法、等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和公式，根据已知条件可求得数列的通项公式然后运用等差数列的求和公式求得再根据等比中项的性质及等比数列的通项公式进行求解即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2024高二上·南宁期末）已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长
【答案】解：由题可知，双曲线是等轴双曲线，设方程为
因为点在双曲线上，代入方程得：.
解得
所以双曲线的方程为，双曲线的标准方程为
并且，，
则.
离心率.
实轴长
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质、标准方程，根据题意可，设方程为，将点代入方程求出m，再根据双曲线的几何性质进行求解即可.
18．（2024高二上·南宁期末）已知等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的前项和．
【答案】（1）设等比数列的首项和公比分别为和
∵，∴
∵，解得
∴
（2）由题可知，
∴.
∴
即
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】本题主要考查等比数列的通项公式及分组求和.
（1）根据等比数列的通项项公式及已知条件列出关于的方程组，解出即可求解；
（2）由题可知，然后分组利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和即可.
19．（2024高二上·南宁期末）已知圆．
（1）已知直线l：，求该直线截得圆C的弦AB的长度；
（2）若直线过点且与圆C相交于M，N两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
【答案】（1）法1：圆C的圆心坐标为，半径，
圆心C到直线的距离.
则截得的弦长
法2：
消得
法3：
消得
则
（2）因为直线过点且与圆C相交，所以直线的斜率一定存在.
设直线的方程为，即，
则圆心C到直线的距离为.
又的面积
所以当时S取最大值8
由，得，解得，
所以直线的方程为或
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】本题主要考查直线与圆相交的几何性质及弦长公式.
（1）方法一：根据圆的标准方程求出圆心及半径，再根据弦长公式，弦心距和半径的关系求解；
方法二：设出点A，B的坐标，联立直线的方程和圆的方程，消去y，然后利用韦达定理及弦长公式进行求解即可；方法三：求出A，B坐标结合举例公式可得答案.
（2）根据题意可得直线的斜率一定存在，设直线的方程为，求出圆心C到直线的距离从而又的面积，然后利用二次函数的性质即可求出S的最大值，再根据求出即可求解.
20．（2024高二上·南宁期末）如图，在直角梯形中，∥，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．
（1）求证：∥平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：将直角梯形绕着旋转得到直角梯形，
故
且，
故四边形为平行四边形.
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为，，，
所以两两垂直.则以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.
因，设，
则
设，则，
设，则，解得，
故，
(i)当时，此时与重合，直线和平面垂直，不满足所成角的正弦值为，舍去；
(ii)当时，设平面的法向量为，
则，即
令，则，故
设直线和平面所成角的正弦值为，
则
解得或（舍去）
综上，在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，
此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题主要考查线面平行的判定、运用空间向量解决直线与平面所成角的问题.
（1）根据选择的性质可得：且，从而证明四边形为平行四边形，在根据四边形的性质可得：，然后根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据已知条件可得两两垂直，则以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，设，则，进而可求得点P的坐标，然后分和两种情况进行讨论结合直线与平面所成角的向量公式进行求解即可.
21．（2024高二上·南宁期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）直线与相交异于坐标原点的两点，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）解：法一因为到点的距离与到直线的距离相等；
所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线
故可设的方程为，
则有 所以，
故的方程为.
法二设的坐标为
则有
所以.
即， 所以的方程为.
（2）证明：法一设方程为，
因为，所以，即.
所以，即；
由得，
所以.
代入上式可得
即，所以；
所以方程为，故恒过定点.
法二设，
因为，所以；
所以
所以.
所以的方程为
整理得，
所以，即，
所以直线恒过定点.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查抛物线的定义、直线与抛物线的综合过定点问题.
（1）利用抛物线的定义或直接把条件转化为答案即可求解；
（2）设出直线l方程为，利用垂直结合向量的数量积运算求出n的值，进而利用直线与抛物线的方程或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理即可求得定点.
22．（2024高二上·南宁期末）如图，已知点M在圆上运动，轴（垂足为N），点Q在NM的延长线上，且．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）直线：与1中动点Q的轨迹交于两个不同的点A和B，圆上存在两点C、D，满足，，求的取值范围．
【答案】（1）解：设动点，点
由点在圆上，则，
由，则，，
把，代入，
得动点的轨迹方程为
（2）解：
联立直线与（1）中的轨迹方程得，
，由于有两个交点、，
故，解得，
设，，的中点，
由根与系数的关系得
则，
故AB的垂直平分线方程为，即
由圆上存在两点、，满足，，
可知的垂直平分线与圆交于、两点
由直线与圆的位置关系可得，解得：，
由、解得，的取值范围是.
【知识点】直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题主要考查代入法求动点轨迹方程、椭圆的几何性质及直线与椭圆的综合问题.
（1）利用代入法即可求出动点Q的轨迹方程；
（2）根据直线l与Q的轨迹交于两个不同的点，联立直线l及Q的轨迹方程消去y，利用判别式求出m的取值范围，将圆O上存在两点C、D，满足，，转化为AB的垂直平分线与圆O又两个交点，然后列出不等式求解即可.
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