2024-2025学年江西省萍乡市高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省萍乡市高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.设，，是非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下图是我国年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是( )
A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量第百分位数为万辆
C. 这六年增长率最大的为年至年 D. 年销量高于这六年销量的平均值
4.直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若使的直线恰有条，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.如图，在平行四边形中，，，，为边上异于端点的一点，且，则( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系内，方程对应的曲线为椭圆，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知为坐标原点，双曲线：的左、右焦点分别是，，离心率为，点是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，，若双曲线上一点满足，则点到双曲线的两条渐近线距离之和为( )
A. B. C. D.
9.在中，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.已知双曲线，则( )
A. 的取值范围是
B. 时，的渐近线方程为
C. 的焦点坐标为，
D. 可以是等轴双曲线
11.如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是( )
A. 是定值
B. 是定值
C. 是定值
D. 是定值
12.直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是( )
A. 点的轨迹的长度为
B. 直线与平面所成的角为定值
C. 点到平面的距离的最小值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为 ．
14.的展开式中的系数为 用数字作答．
15.法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程的两个根，不同幂的和时，发现了，，，由此推算 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图所示的五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后的几何体，，，为的中点，，分别为，的中点．
判断和是否垂直，并说明理由
设，是否存在，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，请求出的值若不存在，请说明理由．
17.本小题分
将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为，，设表示不超过实数的最大整数，的值为随机变量．
求在的条件下，的概率
求的分布列及其数学期望．
18.本小题分
如左图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足现将沿折起到的位置，使平面平面，如右图所示．
求证：；
求异面直线与的距离；
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19.本小题分
已知，，是圆上任意一点，关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线．
求曲线的方程
设为曲线上一点，不与轴垂直的直线与曲线交于，两点异于点若直线，的斜率之积为，求证：直线过定点．
20.本小题分
在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为它等于的倾斜角与的倾斜角之差显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义若极限存在为曲线在点处的曲率．其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数
求单位圆上圆心角为的 圆弧的平均曲率；
求椭圆在处的曲率；
定义为曲线的“柯西曲率”已知在曲线上存在两点和，且，处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：和不垂直，理由如下：
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
因为，
所以和不垂直．
假设存在使得平面与平面夹角的余弦值为，
因为，所以，
显然平面的一个法向量为，
，设平面的法向量为，
则即取，得
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或舍去，
所以存在实数，使得平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：记抛掷骰子的样本点为，
则样本空间为，，，，样本空间容量为，
设事件为：，事件为：，
则，，，且其包含的样本点数为，
而，，，，，，，，，，，，，，
其包含的样本点数为，
根据条件概率得．
随机变量的可能取值为，，，，，，，
，，，
，，，，
所以其分布列为：
所以数学期望．
18.解：证明：在图中，连接，易求．
四边形为菱形连接交于点，则．
在图中，，又于，
平面．
又平面，；
由勾股定理可得，．
过作的垂线，交于，
则即异面直线与的距离，
；
在图中延长，，设，连接．
平面，平面．
又平面，平面．
是平面与平面的交线，
平面平面，，平面平面，
平面，又平面，，
作，垂足为，连接，
又，平面，又平面，．
即为平面与平面所成锐二面角的平面角．
由知，，为等边三角形，
，，，解得．
在中，，．
平面与平面所成锐二面角的余弦值．

19.解：连接，由题意可得，
且为的中点，又为的中点，
所以，且．
因为线段的中垂线与直线相交于点，
所以，
所以，
由双曲线的定义知动点的轨迹是以，为焦点的双曲线．
设其方程为，
则，，，
故曲线的方程为
证明：由知，
依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
由得，
，由，得，
所以，．
则
，
整理得，即，解得或，
当时，直线的方程为，
直线过定点
当时，直线的方程为，
直线过定点，不合题意，舍去．
综上所述，直线过定点．
20.解：．
，，，
故，，故．
，，故，其中，
令，，则，则，其中不妨
令，在递减，在递增，故；
令，
，令，
则，当时，恒成立，故在上单调递增，
可得，即，
故有，
则在递增，
又，，故，
故．

第1页，共1页