2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 254.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-07 19:39:08 | ||
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文档简介
2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于、两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.“”是“直线与直线垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 双曲线一支
8.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球规则的球体，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.圆：和圆：的交点为，，则( )
A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为
C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距
10.已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是，，点在上，是的一条渐近线，是坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 焦点到的距离为
B. 若，则的面积为
C. 若的倾斜角为，则其实轴长为
D. 若直线，的 斜率分别为，则
11.某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左右焦点且，为上一动点，直线说法中正确的有( )
A. 椭圆的“蒙日圆”的面积为
B. 对直线上任意点，都有
C. 椭圆的标准方程为
D. 椭圆的“蒙日圆”的两条弦都与椭圆相切，则面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且，则 ．
13.经过点，且被圆：所截得的弦最短时的直线的方程为 ．
14.已知双曲线的左右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求符合下列条件的方程：
直线过点，且横截距为纵截距的两倍．
求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程．
16.本小题分
已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段为切点长的最小值为．
求圆的标准方程；
若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦的长．
17.本小题分
已知双曲线的虚轴长为，且离心率为．
求的方程和焦点坐标；
设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为，求．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为，且点到焦点的距离为．
求抛物线的方程；
过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值其中为坐标原点．
19.本小题分
定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点焦点与顶点在同一边和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中对应图，对应图．
判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”？若是，求出相似比；若不是，请说明理由；
已知椭圆，椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积用，，表示．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当所直线过原点时，
则有，即；
当所求直线不过原点时，设直线方程为，
代入，得，解得，
此时直线方程为：；
综上，所求直线方程为或；
设所求圆的 标准方程为：，
代入，，
得，即
解得
所以所求圆的方程为：．
16.解：因为圆心到直线的距离，
设圆的半径为，
又过直线上一点作圆的切线，切线段为切点长的最小值为，
所以，则圆的标准方程为．
圆：的圆心，半径，
圆的圆心为，半径，
所以，则，所以两圆相交，
则相交弦：，
则圆心到距离，
所以．
17.解：因为的离心率为，又的虚轴长为，所以，
又，
联立解得，，
所以的方程为，左、右焦点坐标分别为．
由知，
根据题意易得过的直线斜率存在，
设的直线方程为，如下图所示：
联立，化简得，
所以，
因为中点横坐标为，所以，
解得，所以，
则，
则．
18.解：由题意知，准线方程：，
由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到准线的距离，
所以 ，解得．
所以．
由知，抛物线，直线过，
可设直线的方程为，，不妨设，
联立消得，
所以，，
，
当且仅当，即时取等号，
面积最小值为．
19.解：这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下：
椭圆中，
，
椭圆中，
，
则，
所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为
设椭圆的半焦距为，因为的面积为，
又，，
所以的面积与的面积之比为，
所以的面积为，又与的相似比为，
所以的面积与的面积的比为，即
所以的面积为，
又两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形”的三个对应角相等，
如图，有，
则，，所以，
又因为，
，所以，
故的面积为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于、两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.“”是“直线与直线垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 双曲线一支
8.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球规则的球体，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.圆：和圆：的交点为，，则( )
A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段中垂线的方程为
C. 公共弦的长为 D. 两圆圆心距
10.已知双曲线的左，右焦点分别是，，左，右顶点分别是，，点在上，是的一条渐近线，是坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 焦点到的距离为
B. 若，则的面积为
C. 若的倾斜角为，则其实轴长为
D. 若直线，的 斜率分别为，则
11.某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左右焦点且，为上一动点，直线说法中正确的有( )
A. 椭圆的“蒙日圆”的面积为
B. 对直线上任意点，都有
C. 椭圆的标准方程为
D. 椭圆的“蒙日圆”的两条弦都与椭圆相切，则面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且，则 ．
13.经过点，且被圆：所截得的弦最短时的直线的方程为 ．
14.已知双曲线的左右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求符合下列条件的方程：
直线过点，且横截距为纵截距的两倍．
求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程．
16.本小题分
已知以为圆心的圆，过直线上一点作圆的切线，切线段为切点长的最小值为．
求圆的标准方程；
若圆与圆相交于，两点，求两个圆公共弦的长．
17.本小题分
已知双曲线的虚轴长为，且离心率为．
求的方程和焦点坐标；
设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为，求．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为，且点到焦点的距离为．
求抛物线的方程；
过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值其中为坐标原点．
19.本小题分
定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点焦点与顶点在同一边和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中对应图，对应图．
判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”？若是，求出相似比；若不是，请说明理由；
已知椭圆，椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积用，，表示．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当所直线过原点时，
则有，即；
当所求直线不过原点时，设直线方程为，
代入，得，解得，
此时直线方程为：；
综上，所求直线方程为或；
设所求圆的 标准方程为：，
代入，，
得，即
解得
所以所求圆的方程为：．
16.解：因为圆心到直线的距离，
设圆的半径为，
又过直线上一点作圆的切线，切线段为切点长的最小值为，
所以，则圆的标准方程为．
圆：的圆心，半径，
圆的圆心为，半径，
所以，则，所以两圆相交，
则相交弦：，
则圆心到距离，
所以．
17.解：因为的离心率为，又的虚轴长为，所以，
又，
联立解得，，
所以的方程为，左、右焦点坐标分别为．
由知，
根据题意易得过的直线斜率存在，
设的直线方程为，如下图所示：
联立，化简得，
所以，
因为中点横坐标为，所以，
解得，所以，
则，
则．
18.解：由题意知，准线方程：，
由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到准线的距离，
所以 ，解得．
所以．
由知，抛物线，直线过，
可设直线的方程为，，不妨设，
联立消得，
所以，，
，
当且仅当，即时取等号，
面积最小值为．
19.解：这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下：
椭圆中，
，
椭圆中，
，
则，
所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为
设椭圆的半焦距为，因为的面积为，
又，，
所以的面积与的面积之比为，
所以的面积为，又与的相似比为，
所以的面积与的面积的比为，即
所以的面积为，
又两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形”的三个对应角相等，
如图，有，
则，，所以，
又因为，
，所以，
故的面积为．
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