2024-2025学年江苏省南京市赣榆高级中学、南京市第五中学高一上学期10月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省赣榆高级中学、南京市第五中学高一上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
3.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若，，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 随值变化而变化
5.若直角三角形的面积为，则两条直角边的和的最小值是( )
A. B. C. D.
6.使“或”成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D. 或
7.下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
8.下列说法正确的是( )
A. 函数的最小值是
B. 正数，满足，则的最大值是
C. 函数的最小值是
D. 若，则函数取到最小值时
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.命题的否定是真命题，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
10.设正实数，满足，则( )
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最小值
11.关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 的最大值为
D. 关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.关于的不等式的解是 ．
13.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是 ．
14.南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的，只参加数学的占全班的，参加物理的比参加数学的少人，两门都参加的有人，则全班有 人
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，集合，其中．
若“”是“”的充分条件，求的取值范围；
若“”是“”的必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
当取什么值时，不等式对一切实数都成立？
若实数，，满足，则称比远离对任意两个不相等的实数，，证明比远离．
17.本小题分
设为实数，若函数有且只有唯一零点，求的值．
设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
某网店销售一批新款削笔器，进价为元个经统计，该削笔器的日销售量单位：个与售价单位：元满足如图所示的函数关系．
为了使这批削笔器的日利润最大，应怎样定制这批削笔器的销售价格？
为了使这批削笔器的日利润不低于售价为元时的日利润，求售价的取值范围．
19.本小题分
已知二次函数．
若的解集为，解关于的不等式
若且，求的最小值
若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．
参考答案
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15.解：由题意得到，
由“”是“”的充分条件可得，
则且，解得，
实数的取值范围是；
由“”是“”的必要条件可得，
，即，即时，满足题意；
，即，即时，
且，
解得：．
综上，实数的取值范围是．
16.解：当时，显然成立，；
当时，不等式对一切实数都成立，
，解得．
综上，的 取值范围为．
证明：，
，
，，
比远离．

17.解：若函数有且只有唯一零点，则，
所以；
当时，由可得，
由可得或，
若是的必要不充分条件，则，推不出，
则，
故的 范围为．

18.解：
根据图象可设，
将和代入解得，故，
设日利润为元，则，
所以当时，日利润最大．
为了使这批削笔器的日利润最大，这批削笔器的销售价格应定为元．
由可知，当时，，
要使这批削笔器的日利润不低于售价为元时的日利润，
则，即，
对于方程，
方程的两个实数根为，
为了使这批削笔器的日利润不低于售价为元时的日利润，
则售价的取值范围是．

19.解：由已知的解集为，且，
所以是方程的解，
所以，，
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
故不等式的解集为
因为，
所以，
因为，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
即当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为；
因为对任意，不等式恒成立，
所以，，
所以，，
，
令，则，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
即当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为．

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