2024-2025学年江苏省南京外国语学校高二上学期期中考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年江苏省南京外国语学校高二上学期期中考试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 118.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-07 19:43:41 | ||
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文档简介
2024-2025学年江苏省南京外国语学校高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.抛物线的焦点坐标是 ．
A. B. C. D.
3.过圆上一点作圆的切线，则的方程是( )
A. B. C. D.
4.过点的抛物线的标准方程是( )
A. 或 B.
C. 或 D.
5.设为实数，直线与圆交点个数为( )
A. B. C. D. 无法确定
6.已知，分别是椭圆的左，右焦点，椭圆上存在点使为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，则面积为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右顶点分别为、，双曲线在第一象限的图象上有一点，，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.过椭圆的中心任作一直线交椭圆于，两点，，是椭圆的左、右焦点，，是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是( )
A. 周长的最小值为
B. 四边形可能为矩形
C. 若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是
D. 的最小值为
10.已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的面积为
C. 若，则
D. 若，的中点在的准线上的投影为，则
11.已知为双曲线右支上的一个动点不经过顶点，，分别是双曲线的左，右焦点，的内切圆圆心为，且与相切于点，过作，垂足为，下列结论正确的是( )
A. 为定点 B. 在定直线上 C. 为定值 D. 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线，的方程为，，为实数，若，则值为 ．
13.已知圆，是轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ．
14.已知点，为圆上两动点，且，点为直线上动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知过点的直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于，两点．
若为的中点，求直线的方程；
当最小时，求直线的方程．
16.本小题分
设双曲线的方程为．
若点在双曲线上，且双曲线为等轴双曲线．
(ⅰ)求双曲线的方程；
(ⅱ)直线的方程为，直线与双曲线的右支仅有一个交点，求实数的取值范围．
已知过点，的直线的倾斜角为，求双曲线的离心率．
17.本小题分
设过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且这两交点纵坐标分别为，，，在抛物线准线上的射影分别为，．
求值；
求证：是直角；
是线段中点，求点的轨迹方程．
18.本小题分
已知圆的方程为且与圆相切．
求直线的方程；
设圆与轴交与，两点，是圆上异于，的任意一点，过点且与轴垂直的直线为，直线交直线于点，直线交直线于点。求证：以为直径的圆总过定点，并求出定点坐标．
19.本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为，，点是椭圆上异于，的动点，过原点平行于的直线与椭圆交于点，，为线段的中点，直线与椭圆交于点，，点，，在轴的上方．
设直线，分别与直线交于点，，且满足，求点的坐标；
求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：设点，由线段的中点坐标公式，得，于是．
故直线的方程为，即．
解法如图，设，并作轴于点，轴于点，则．
当，即时，有最小值此时，，即直线的倾斜角，直线的斜率，即直线的方程为，
故直线方程为．
解法 设直线的方程为，则点，．
，故．
当且仅当，即舍去时，取得最小值．
故直线的方程为，即．
16.
(ⅰ)由题意，又，故解得
所以双曲线标准方程为；
(ⅱ)由得，
若，，时，方程的解为，不合题意；
时，方程的解为，满足题意，
若，则方程有两个相等正根，或一正一负根，
时，方程有两个相等实根：
，
时，方程的解为，不合题意，
时，方程的 解为，满足题意，
时，方程有两个不等实根，方程要有一正根一负根，
则，解得，
综上，的范围是；
由题意，
，所以．
17.
由题设，焦点，直线可设为，联立抛物线有，
所以，由直线与抛物线有两个交点，即，则．
如下图示，由题意易知，则，，
又，则，，
综上，，，即，
而，即，
所以，得证．
由题意，由知：，，
所以，故，
所以轨迹为．
18.解：直线过点，且与圆：相切，所以的斜率存在，
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
解得，
直线的方程为，即
证明：对于圆方程，令，得，即．
又直线过点且与轴垂直，直线方程为，
设，则直线方程为
解方程组，得
同理可得，
以为直径的圆的方程为，
又，
整理得，
若圆经过定点，只需令，从而有，
解得，
圆总经过定点坐标为．
19.
因为，所以，又因为，
所以与的相似比为，
又因为分别为与的中线，
所以，所以，
由椭圆的对称性可知，，所以，所以，
所以为的中点，连接，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，设，由椭圆的对称性知，，
，由四边形的性质可得，
所以，所以，
将代入可得，则，
所以点的坐标为．
解：设点，由，可得，
则，
可得，
又由直线的斜率一定存在且不为零，故可设其方程为，
由，解得，则，
因为，可得，同理可得，
方法： 由题可得，
令，则，可得，
当时，即时，取等号，即
又因为，所以的最大值为．
方法 ：由题可知，
所以，当且仅当时，等号成立，
又因为，所以的最大值为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.抛物线的焦点坐标是 ．
A. B. C. D.
3.过圆上一点作圆的切线，则的方程是( )
A. B. C. D.
4.过点的抛物线的标准方程是( )
A. 或 B.
C. 或 D.
5.设为实数，直线与圆交点个数为( )
A. B. C. D. 无法确定
6.已知，分别是椭圆的左，右焦点，椭圆上存在点使为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，则面积为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右顶点分别为、，双曲线在第一象限的图象上有一点，，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.过椭圆的中心任作一直线交椭圆于，两点，，是椭圆的左、右焦点，，是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是( )
A. 周长的最小值为
B. 四边形可能为矩形
C. 若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是
D. 的最小值为
10.已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的面积为
C. 若，则
D. 若，的中点在的准线上的投影为，则
11.已知为双曲线右支上的一个动点不经过顶点，，分别是双曲线的左，右焦点，的内切圆圆心为，且与相切于点，过作，垂足为，下列结论正确的是( )
A. 为定点 B. 在定直线上 C. 为定值 D. 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线，的方程为，，为实数，若，则值为 ．
13.已知圆，是轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ．
14.已知点，为圆上两动点，且，点为直线上动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知过点的直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于，两点．
若为的中点，求直线的方程；
当最小时，求直线的方程．
16.本小题分
设双曲线的方程为．
若点在双曲线上，且双曲线为等轴双曲线．
(ⅰ)求双曲线的方程；
(ⅱ)直线的方程为，直线与双曲线的右支仅有一个交点，求实数的取值范围．
已知过点，的直线的倾斜角为，求双曲线的离心率．
17.本小题分
设过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且这两交点纵坐标分别为，，，在抛物线准线上的射影分别为，．
求值；
求证：是直角；
是线段中点，求点的轨迹方程．
18.本小题分
已知圆的方程为且与圆相切．
求直线的方程；
设圆与轴交与，两点，是圆上异于，的任意一点，过点且与轴垂直的直线为，直线交直线于点，直线交直线于点。求证：以为直径的圆总过定点，并求出定点坐标．
19.本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为，，点是椭圆上异于，的动点，过原点平行于的直线与椭圆交于点，，为线段的中点，直线与椭圆交于点，，点，，在轴的上方．
设直线，分别与直线交于点，，且满足，求点的坐标；
求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：设点，由线段的中点坐标公式，得，于是．
故直线的方程为，即．
解法如图，设，并作轴于点，轴于点，则．
当，即时，有最小值此时，，即直线的倾斜角，直线的斜率，即直线的方程为，
故直线方程为．
解法 设直线的方程为，则点，．
，故．
当且仅当，即舍去时，取得最小值．
故直线的方程为，即．
16.
(ⅰ)由题意，又，故解得
所以双曲线标准方程为；
(ⅱ)由得，
若，，时，方程的解为，不合题意；
时，方程的解为，满足题意，
若，则方程有两个相等正根，或一正一负根，
时，方程有两个相等实根：
，
时，方程的解为，不合题意，
时，方程的 解为，满足题意，
时，方程有两个不等实根，方程要有一正根一负根，
则，解得，
综上，的范围是；
由题意，
，所以．
17.
由题设，焦点，直线可设为，联立抛物线有，
所以，由直线与抛物线有两个交点，即，则．
如下图示，由题意易知，则，，
又，则，，
综上，，，即，
而，即，
所以，得证．
由题意，由知：，，
所以，故，
所以轨迹为．
18.解：直线过点，且与圆：相切，所以的斜率存在，
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
解得，
直线的方程为，即
证明：对于圆方程，令，得，即．
又直线过点且与轴垂直，直线方程为，
设，则直线方程为
解方程组，得
同理可得，
以为直径的圆的方程为，
又，
整理得，
若圆经过定点，只需令，从而有，
解得，
圆总经过定点坐标为．
19.
因为，所以，又因为，
所以与的相似比为，
又因为分别为与的中线，
所以，所以，
由椭圆的对称性可知，，所以，所以，
所以为的中点，连接，
因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，设，由椭圆的对称性知，，
，由四边形的性质可得，
所以，所以，
将代入可得，则，
所以点的坐标为．
解：设点，由，可得，
则，
可得，
又由直线的斜率一定存在且不为零，故可设其方程为，
由，解得，则，
因为，可得，同理可得，
方法： 由题可得，
令，则，可得，
当时，即时，取等号，即
又因为，所以的最大值为．
方法 ：由题可知，
所以，当且仅当时，等号成立，
又因为，所以的最大值为．
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