2024-2025学年新疆喀什市高二上学期期中质量监测数学试卷（含答案）

2024-2025学年新疆喀什市高二上学期期中质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为，则中卷录取人数为( )
A. B. C. D.
2.从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按、、、进行编号，然后从随机数表第一行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为( )
注：表中的数据为随机数表第一行和第二行
A. B. C. D.
3.抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于”，“点数小于”，“点数为”则下列结论不正确的是( )
A. 为对立事件 B. 为互斥不对立事件
C. 不是互斥事件 D. 是互斥事件
4.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量，，且，则( )
A. B. C. D.
6.如图，空间四边形中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
7.下列说法正确的是( )
A. 零向量没有方向
B. 在空间中，单位向量唯一
C. 若两个向量不相等，则它们的长度不相等
D. 若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底
8.若向量且与的夹角余弦为，则等于( )
A. B. C. 或 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平行六面体中与向量相等的向量有( )
A. B. C. D.
10.某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 频率分布直方图中的值为
B. 估计这名学生竞赛成绩平均数为
C. 估计这名学生竞赛成绩的众数为
D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为
11.下列说法正确的有( )
A. 若事件与事件是互斥事件，则
B. 若事件与事件是对立事件，则
C. 把红橙黄张纸牌随机分给甲乙丙人，每人分得张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
D. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.第届夏季奥林匹克运动会女子米跳台跳水决赛中，全红禅以的高分拿下冠军．下面统计某社团一位运动员次跳台跳水的训练成绩：，，，，，，，，，，则这组数据的中位数为 ．
13.数据，，，，的方差是 ．
14.若，则 ，若与互相垂直，则实数 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在一个盒子中有个红球分别用，，表示和个黑球分别用，表示，这个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出个球．
求第一次取到红球的概率；
求两次取到的球颜色相同的概率．
16.本小题分
黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择名游客对景区进行满意度评分满分分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，求的 值；
估计这名游客对景区满意度评分的分位数得数保留两位小数；
景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人进行个别交流，求选取的人评分分别在和内各人的概率．
17.本小题分
在一次猜灯谜活动中，共有道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了个，乙同学猜对了个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
18.本小题分
棱长为的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点．
证明：；
求；
求的长．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，为棱的中点．
证明：平面；
若，求二面角的余弦值；
参考答案
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15.解：
两次取球的基本事件为，，共个，
所以第一次取到红球的概率．
两次取到的球颜色相同，分全取红球与全取黑球两个互斥事件，
由可知两次取到红球的概率，
两次取到黑球的概率，
所以两次取到的球颜色相同的概率．

16.解：由图知：，可得．
由，
所以分位数在区间内，设其为，
则，解得．
所以满意度评分的分位数为．
因为评分在的频率分别为，
则在中抽取人，设为；
在中抽取人，设为；
从这人中随机抽取人，则有：
，，，，，，，，，
，，，，，，共有种可能，
设选取的人评分分别在和内各人为事件，
则有，，，，，，，，共有种可能，
所以．

17.解：设事件表示“甲猜对”，事件表示“乙猜对”，
则，，
任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
．
任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
．
18.解：
如图，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
因为，，
所以，
所以，故；
因为，所以
因为，且，
所以；
因为是的中点，所以，
又因为，所以，，即．

19.解：
取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
，，，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又，平面，，，由，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，所以即
令，则，所以平面的一个法向量为，
易知为平面的一个法向量，
所以，
因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

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