2024-2025学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二上学期10月期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高二上学期10月期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知是两个平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知两直线，若，则与间的距离为( )
A. B. C. D.
4.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为( )
A. B. C. D.
5.在平行四边形中，点分别满足，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
7.如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是( )
A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 长的最小值为
C. 四边形面积的最小值为 D. 直线恒过定点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.圆与圆没有公共点，则的值可能是( )
A. B. C. D.
10.已知随机事件满足，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.在正方体中，为的中点，是正方形内部及边界上一点，则下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 当时，点的轨迹长度为
C. 平面内存在一条直线与直线成角
D. 将以边所在的直线为轴旋转一周，则在旋转过程中，到平面的距离的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被整除的概率是 ．
13.如图，在空间四边形中，，平面平面，且，则与平面所成角的正弦值是 ．
14.如图，圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，圆的方程为，过点的直线与圆相切，点为圆上的动点．
求直线的方程；
求面积的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面与底面所成角为，四边形是梯形，．
若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离；
点是线段上的动点，上是否存在一点，使平面，若存在，试确定点位置，若不存在，请说明理由．
17.本小题分
班级组织象棋比赛，共有人报名，现将名同学随机分成组且每组人进行单循环比赛，规则如下：每场比赛获胜的同学得分，输的同学不得分，平局的名同学均得分，三轮比赛结束后以总分排名，小组总分排名前两位的同学获奖．若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名抽签的胜者排在负者前面，且抽签时每人获胜的概率均为若甲、乙、丙、丁位同学分到一组且赛程如下表．假设甲、乙、丙名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为丁同学与任意一名同学比赛时胜、负、平的概率分别为每场比赛结果相互独立．
第一轮 甲乙 丙丁
第二轮 甲丙 乙丁
第三轮 甲丁 乙丙
求丁同学的总分为分的概率；
已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁名同学是平局，求甲同学获奖的概率．
18.本小题分
如图，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，点在线段上
若为的中点，且直线与直线的交点为，求的长，并证明直线平面；
是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．
19.本小题分
平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，圆交于点．

若直线的斜率为，求弦的长；
已知圆交轴于两点，当直线的斜率存在时，求直线交点的轨迹方程；
若的中点为，求面积的取值范围．
参考答案
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15.解：
圆：，，
圆心的坐标为，半径．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到的距离，与圆相切；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由直线与圆相切，得，解得，
所以直线的方程为．
综上所述：直线的方程为或．
由得直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为，又，
则的面积的最大值．

16.解：
由平面，平面，平面，
得，，两两垂直．
则以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．

则，，，，．
因为是的中点，点是的中点，所以，．
设平面的法向量为，，，
则，得
取，则，得平面的一个法向量为，
而，所以点到平面的距离为．
【小问详解】
设，
注意到，所以，所以，
设，注意到，
所以，因为，，
所以，若平面，
则当且仅当，即当且仅当
此时，．
综上所述，当且仅当重合，此时存在，，使平面．

17.解：
丁同学总分为分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平，
记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为，
则，
即丁同学的总分为分的概率为．
由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁名同学是平局，
则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，
故丁同学的总分为分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得分、分、分，
若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名．
若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，
甲同学的总分为分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率．
若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙名同学平局，
第三轮比赛中乙、丙名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为分，排第二名，
可以获得奖励，此时的概率．
若第一轮比赛中甲、乙名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，
第三轮比赛中当乙、丙名同学平局时，甲同学的总分为分，排第二名，
可以获得奖励，此时的概率．
第三轮比赛中当乙、丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为分，
需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，
此时的概率．
综上，甲同学能获得奖励的概率．

18.解：
分别为中点，
，且，
又为中点，且，
易得，
连接，交于点，连接，
由题设，易知四边形为平行四边形，
为中点，
是的中点，
为中点，
，又平面，平面，
平面；
，
，，
又平面，平面，
即为二面角的平面角，
；
取中点，连接，如图，
，，
，
，
，
，
，，又平面，，
平面，
平面，
，
则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，
则，，，，
设，则，，，
设平面的法向量，则
令，则，，，
直线与平面所成的角为，
，解得或，
存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为；
设平面的法向量，又，，
令，则，，；
当时，，；
当时，，；
综上所述：二面角的余弦值为．

19.解：
圆，圆心，半径．
若直线的斜率为，则直线斜率为，
则直线方程为，即，
所以圆心到直线的距离．
．
故弦的长为．

圆，圆心，半径．
由题意直线存在斜率，设直线，设，
联立消得，，
由韦达定理得，，．
则，即
又圆与轴交于，
则直线，直线，
联立两直线方程消得，，
将式代入得，，
解得．
故直线交点的轨迹方程为．

当直线的斜率不存在时，如图，此时的面积；

当直线的斜率存在且为时，
直线的方程为，经过圆心，
过点且垂直于的直线即轴不与圆相交，
故此时不存在；

当直线的斜率存在，设为且时，
设直线，即．
则直线，即
由圆心到直线的距离，
得，解得．
所以圆心到直线的距离，
因为，即，
所以．
由，所以，
所以点到直线的距离即点到直线的距离
，
所以的面积．
令，则，所以，
因为，所以，所以，
综上所述，面积的取值范围是．


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