广东省广州市花都区2025届高三上学期10月调研考试数学试卷（含答案）

广东省广州市花都区2025届高三上学期10月调研考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.一质点沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3.设是第一象限角，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知是等差数列，且，，则( )
A. B. C. D.
5.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.学校举办运动会，高三班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛若从该班参加比赛的同学中随机抽取人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为( )
A. B. C. D.
7.若，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若函数同时满足：，当时，有；，恒成立，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，以为周期的有( )
A. B. C. D.
10.德国数学家高斯用取整符号“”定义了取整运算：对于任意的实数，取整运算的结果为不超过该实数的最大整数，如已知函数，以下结论正确的有( )
A. B. 的最小值为
C. D.
11.若函数的图象关于直线对称，则( )
A. 是的极小值点 B.
C. 当时， D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和为，且满足，则______．
13.已知函数，．，用表示，中的较小者，记为，则不等式的解集为______．
14.已知函数，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
当时，求证：．
16.本小题分
已知函数，．
若，求的值；
求函数的单调递减区间；
若在区间上的最小值为，求的最小值．
17.本小题分
已知函数．
若在区间单调递增，求的取值范围；
讨论的单调性．
18.本小题分
已知函数在区间单调，，且．
求图象的一条对称轴；
求的解析式；
在锐角中，若，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，记为函数在区间内的从小到大的第个零点．
证明：数列是等比数列；
记为函数在区间内的从小到大的第个极值点，将数列，中的所有项从小到大排列构成一个新的数列若，，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.．
14.
15.解：由题可知 ．
，则 ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
令 ， ．
则 ，令 ，解得 或 ．
当 时， ， 的变化情况如下表所示：
单调递减 单调递增
又因为 ， ．
所以 在区间 的最大值为．
即当 时， 恒成立，亦即 ．

16.解： ，
已知 ，即 ，
因为 ，则 ，所以 或 可得 或 ；
令 ， ，则
因为 ， 的单调递减区间是 ，
且由 ，得 ；
所以，函数 的单调递减区间是 ．
当 ，则 ．
在区间 上的最小值为 ，
即 在 上的最小值为 ．
又因为 ，所以 ，
即 所以 的最小值为 ．

17.解：函数 的定义域为 ， ，
在区间 单调递增，即当 时， 恒成立，
亦即 在区间 恒成立；
因为 当且仅当 时取等号
所以， 的取值范围为 ．
Ⅰ当 时， 在 恒成立，
则 在 单调递增；
Ⅱ当 时， ，易知 ，
令 ，解得 ， ，且
当 ， ；当 或 时， ；
所以， 在区间 单调递减，在区间 和 单调递增．
综上所述，当 时， 在 单调递增；
当 时， 在区间 单调递减，在区间 和 单调递增．

18.解：由题可知函数的最小正周期．
又因为且，所以直线为图像的一条对称轴．
由知，故，由，得，或．
由直线为图像的一条对称轴，所以，
因为，所以，或，
若，，则，
即，不存在整数，，使得，或．
若，，则，
即不存在整数，，使得或
当时，此时，由，得．
所以
因为，所以，，
因为在锐角中，，所以，由，得，
由得，则
当且仅当，即时，取最小值
当或时，，则的值域为．
所以的取值范围为
19.证明：令 ，即 ，
解得 ， ．
由题意，可知 ，


因为 ，而 是常数．
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
解：
令 ，解得 ，
当 ，即 时， ，则
当 ，即 时， ，则
因此，当 ， 时， 取得极值．
由题意，可知 ，
所以 ，
所以 ；
当 ， 成立，即 成立，
亦即 成立；
设 ，则
令 得 当 时， ；当 时， ，
所以 在区间 上单调递减；在区间 上单调递增．
因为 ，当 时， ，且 ， ；
因为 ， ， ，
所以 的最小值为 ；
因此 ， 成立，当且仅当 成立，解得
所以 的最大值是 ．

第1页，共1页