2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 474.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-07 20:44:31 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在，”的否定是( )
A. 存在， B. 不存在，
C. 任意， D. 任意，
2.已知集合是虚数单位，，则( )
A. B. C. D.
3.已知奇函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知， 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列可以推出的是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则( )
A. B. C. D.
6.已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.是椭圆上一点，、是的两个焦点，点在的平分线上，为原点，，且则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图为某地年至年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是( )
A. 这年粮食年产量的极差为
B. 这年粮食年产量的第百分位数为
C. 这年粮食年产量的平均数为
D. 前年的粮食年产量的方差小于后年粮食年产量的方差
10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是( )
A. B. 最小正周期
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于对称
11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 点的运动轨迹为双曲线的一部分
C. 若，，则
D. 不存在点，使得取得最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 ．
13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为 ．
14.对任意的，不等式其中是自然对数的底恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为正项等比数列的前项和，，．
求数列的通项公式
数列满足，，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在四棱锥，，，，点在上，且，．
若为线段的中点，求证：平面
若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数有两个极值点，，
当时，求的值
若为自然对数的底数，求的最大值．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为．
求抛物线的方程；
已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线的斜率分别为，且满足．
求点的轨迹方程；
试探究：是否存在一个圆心为，半径为的圆，使得过可以作圆的两条切线，切线分别交抛物线于不同的两点，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由．
19.本小题分
对于一组向量，，，，且，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范围
若，且，向量组，，，，是否存在“长向量”给出你的结论并说明理由
已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，设在平面直角坐标系中有一点列，，，，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与且关于点对称，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为是正项等比数列，所以，公比，
因为，
所以，即，
则，解得舍去或，
又因为，
所以，
所以数列的通项公式为；
依题意得，
当时，，
所以，
因为，
所以，
当时，符合上式，
所以数列的通项公式为，
因为，
所以．
16.证明：取的中点为，连接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面．
解：因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由 ，可得，取，
设平面的法向量为，
则由 ，可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：由，
则，
令，得或；令，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，的极小值为．
．
，
又，
所以，是方程的两个实根，
则，，
设，令，，
．
在上单调递减，
则，
故的最大值为．
18.解：设抛物线 的准线 ，
为抛物线上任意一点过 作 于点 ，
由抛物线的定义得： ，
所以当 与原点 重合时， ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 ；
设 ，过点 且斜率存在的直线
联立 ，消去 ，整理得：
由题可知
是该方程的两个不等实根，由韦达定理， ，
又 ，
由 ，有 ，
因为 ，
所以点 的轨迹方程为 ；
由知
设
所以 式即为
又
由韦达定理， ，
所以 ，
又因为 和以圆心为 半径为的圆相切，
所以 即
同理
所以 分别是方程 的两个根，
所以由韦达定理，
所以 ，
若 为定值，则 ，
又，，
所以圆 的方程是．
19.解：
由题意可得：，则，解得：；
存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下：
由题意可得，
若存在“长向量”，只需使，
又，
故只需使
，即，即，
当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，；
由题意，得，，即，
即，同理
，
，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由得：
设，则依题意得：
得，
故，
，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
故．
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数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在，”的否定是( )
A. 存在， B. 不存在，
C. 任意， D. 任意，
2.已知集合是虚数单位，，则( )
A. B. C. D.
3.已知奇函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知， 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列可以推出的是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则( )
A. B. C. D.
6.已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.是椭圆上一点，、是的两个焦点，点在的平分线上，为原点，，且则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图为某地年至年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是( )
A. 这年粮食年产量的极差为
B. 这年粮食年产量的第百分位数为
C. 这年粮食年产量的平均数为
D. 前年的粮食年产量的方差小于后年粮食年产量的方差
10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是( )
A. B. 最小正周期
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于对称
11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 点的运动轨迹为双曲线的一部分
C. 若，，则
D. 不存在点，使得取得最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 ．
13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为 ．
14.对任意的，不等式其中是自然对数的底恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为正项等比数列的前项和，，．
求数列的通项公式
数列满足，，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在四棱锥，，，，点在上，且，．
若为线段的中点，求证：平面
若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数有两个极值点，，
当时，求的值
若为自然对数的底数，求的最大值．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为．
求抛物线的方程；
已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线的斜率分别为，且满足．
求点的轨迹方程；
试探究：是否存在一个圆心为，半径为的圆，使得过可以作圆的两条切线，切线分别交抛物线于不同的两点，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由．
19.本小题分
对于一组向量，，，，且，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范围
若，且，向量组，，，，是否存在“长向量”给出你的结论并说明理由
已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，设在平面直角坐标系中有一点列，，，，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与且关于点对称，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为是正项等比数列，所以，公比，
因为，
所以，即，
则，解得舍去或，
又因为，
所以，
所以数列的通项公式为；
依题意得，
当时，，
所以，
因为，
所以，
当时，符合上式，
所以数列的通项公式为，
因为，
所以．
16.证明：取的中点为，连接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面．
解：因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由 ，可得，取，
设平面的法向量为，
则由 ，可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：由，
则，
令，得或；令，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，的极小值为．
．
，
又，
所以，是方程的两个实根，
则，，
设，令，，
．
在上单调递减，
则，
故的最大值为．
18.解：设抛物线 的准线 ，
为抛物线上任意一点过 作 于点 ，
由抛物线的定义得： ，
所以当 与原点 重合时， ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 ；
设 ，过点 且斜率存在的直线
联立 ，消去 ，整理得：
由题可知
是该方程的两个不等实根，由韦达定理， ，
又 ，
由 ，有 ，
因为 ，
所以点 的轨迹方程为 ；
由知
设
所以 式即为
又
由韦达定理， ，
所以 ，
又因为 和以圆心为 半径为的圆相切，
所以 即
同理
所以 分别是方程 的两个根，
所以由韦达定理，
所以 ，
若 为定值，则 ，
又，，
所以圆 的方程是．
19.解：
由题意可得：，则，解得：；
存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下：
由题意可得，
若存在“长向量”，只需使，
又，
故只需使
，即，即，
当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，；
由题意，得，，即，
即，同理
，
，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由得：
设，则依题意得：
得，
故，
，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
故．
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