河南省“金太阳大联考”2025届高三上学期联考（三）（10月）数学试题（含答案）

河南省“金太阳大联考”2025届高三上学期联考（三）（10月）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
4.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题，很多数学定理以费马的名字命名对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点在中，已知，设为的费马点，，的外接圆半径长为，则( )
A. B. C. D.
7.若实数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的奇函数满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知是边长为的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是( )
A. 在方向上的投影向量的模为
B.
C.
D. 若为外接圆上任意一点，则
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 当时，函数的值域是
B. 将图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数有个零点
C. 若函数在区间内没有零点，则的取值范围为
D. 若，，记方程在上的根从小到大依次为，，，，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若“，”为假命题，则的取值范围是 ．
13.已知定义域为的函数在上单调递增，且，则不等式的解集是 ．
14.若函数的图象上存在两点，关于轴对称，则点对称为的“比肩点对”点对与视为同一个“比肩点对”若函数恰有个“比肩点对”，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知C.
求角
若，的面积为，求．
16.本小题分
已知函数．
当时求的极值
讨论的单调性．
17.本小题分
设数列的前项和为，对于任意的，恒成立，且．
求的通项公式
若，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，求数列的前项和．
18.本小题分
已知数列的通项公式为，数列满足，．
求，的值及的通项公式
已知设数列的前项和为，已知，设数列的前项和为，试比较与的大小．
19.本小题分
已知函数与的定义域的交集为若对恒成立，则称与为同号函数，例如，则函数与为同号函数若存在区间，使得对恒成立，则称与为区间同号函数．
设函数，，，试问这三个函数中是否任意两个都互为区间同号函数请说明你的理由．
设函数，．
(ⅰ)证明：与为同号函数．
(ⅱ)若恒成立，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以，
因为，，所以，
所以．
又，所以．
因为，所以，
所以，
解得．
16.解：若，则，，
令，解得或；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以的极大值为，极小值为
由题意可得：，
令，解得或，
当，即时，令，解得或；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
当，即时，则，可知在内单调递增；
当，即时，令，解得或；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：当时，在内单调递增，在内单调递减；
当时，在内单调递增；
当时，在内单调递增，在内单调递减．
17.解：由题意知是公差为的等差数列，
则，
解得，从而．
因为，所以．
令，得，满足条件的有个，
令，得，满足条件的有个，
令，得，满足条件的有个，
令，得，满足条件的有个
满足条件的有个，
所以
．
18.解：因为，所以，．
当时，由题设可得，即，所以．
当时，由题设可得，即，所以．
当时，由题设可得，
则．
在式两边同时乘以，得．
由得，即．
又由上可知，不适合上式，
故的通项公式为
因为
所以数列的前项和
．
当时，，
所以
．
可知，
当，，，时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以．
19.解：，，
则与为区间同号函数；
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
因为，，可知对恒成立，
又因为，对都恒成立，
所以存在，使得，对都恒成立，
所以这三个函数中任意两个都互为区间同号；
证明：与的定义域的交集为．
当时，，则，
所以，即；
当时，，则，
所以，即；
综上所述：恒成立，则与为同号函数．
因为，若，
可得，
令，
则，
当时，，可得；
当时，，可得；
又因为，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
可知最多有两个零点，
且，，，，
所以在和内各有一个零点，
不妨假设零点为和，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
且当趋近于时，趋近于，
又因为，即，可得，
可得
，
设，则，
可知在内单调递减，可得，
所以．
第1页，共1页