襄阳四中2025届高三上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则用列举法表示（）
A. B. C. D.
2. 设，其中为虚数单位.则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（）
A. 1 B.
C. 1或 D. 或
4. 已知，则下列结论中正确的是（）
A. B. C. D.
5. 从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 若数列满足，，（，n为正整数），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设是数列的前n项和，则下列结论成立的是（）
A. B.
C. D.
7. 已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（）
A. B. C. D.
8. 圆锥表面积为，其内切球的表面积为，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，为随机事件，且，是，发生的概率. ，，则下列说法正确的是（）
A. 若，互斥，则 B. 若，则，相互独立
C若，互斥，则，相互独立 D. 若，独立，则
10. 已知函数，则（）
A. 的图象关于点对称
B. 的值域为
C. 若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是
D. 若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是
11. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是（）
A. 对任意三点，都有；
B. 已知点和直线，则；
C. 到定点距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.
D. 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为________．
13. 已知函数在处取得极小值，则__________.
14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的最小值.
16. 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点．
17. 如图，已知正方形的边长为4，分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为60°，点在线段上．
（1）若为的中点，且直线与直线的交点为，求的长，并证明直线//平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．
18已知函数.
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）若时，，求的取值范围；
（3）求证：.
19. 已知整数，数列是递增的整数数列，即且．数列满足，．若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的“右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数列为的“左右型间隔数列”．
（1）写出数列所有递增的“左右1型间隔数列”；
（2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列是的“右型间隔数列”，若，且有，求的值；
（3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于的最小值（即关于的最小值函数）．襄阳四中2025届高三上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】B
2.
【答案】A
3.
【答案】B
4.
【答案】A
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】B
8.
【答案】B
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】ABD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可得，再结合余弦定理得，从而可求解.
（2）结合的面积可求得，再由，平方后得，，再结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理得，即，
由余弦定理可得，
因为，所以.
【小问2详解】
因为的面积为，所以，所以.
因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
16.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点的坐标，由此可求抛物线方程；
（2）联立直线的方程与抛物线方程可得关于x的一元二次方程，设，，，根据韦达定理求出，求出直线的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点.
【小问1详解】
设点的坐标为，因为点在第一象限，所以，
双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以，
所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以，
故抛物线的标准方程为：；
【小问2详解】
设直线的方程为，联立，消得，，
方程的判别式，即，
设，，则，
因为点A、B在第一象限，所以，故，
设B关于x轴的对称点为，
则直线的方程为，
令得：
．
直线过定点．
17.【解析】
【分析】（1）根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论；
（2）由二面角平面角定义可知，取，中点，，由线面垂直的判定和勾股定理可知，，两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得结果.
【小问1详解】
分别为中点，
，且，
又为中点，且，
易得，，
连接，交于点，连接，
由题设，易知四边形为平行四边形，
为中点，
是的中点，
为中点，
，又平面，平面，
平面；
【小问2详解】
，
，，
又平面，平面，
即为二面角的平面角，
；
取中点，连接，如图，
，，
，
，
，
，
，，又平面，，
平面，
平面，
，
则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，
则，，，，
设，则，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，，
∵直线与平面所成的角为，
，解得或，
存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为；
设平面的法向量，又，，
，
令，则，，；
当时，，；
当时，，；
综上所述：二面角的余弦值为.
18.
【答案】（1）
（2） （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为，求出函数的最大值得解；
（3）先构造函数，利用导数证明，，令，可得，迭代累加可证得结果.
【小问1详解】
当时，，，
则，则，
所以在点处的切线方程为.
【小问2详解】
由时，，
即，整理得，对恒成立，
令，则，
令，，
所以，即函数在上单调递减，
所以，即，
所以函数在上单调递减，则，
.
【小问3详解】
设，，
则，
所以在上单调递减，则，即，
，，
令，，
可得，
所以，
，
，
…
，
以上式子相加得，
整理得，，
两边取指数得，，
即得，得证.
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数，利用导数证明，，令，得到.
19.
【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由“左右型间隔数列”的定义，求数列的所有递增的“左右1型间隔数列”；
（2）根据“左型间隔数列”和“右型间隔数列”的定义，由，则有，代入通项计算即可；
（3）由“右4型间隔数列”的定义，有，可知，则有，化简即可．
【小问1详解】
数列的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．
【小问2详解】
由，可得，
即，即，
即，所以．
【小问3详解】
当时，由，可知．
又因为对任意，都有，
即当时，两两不相等．
因为
．
所以的最小值函数．
另外，当数列的通项
间隔数列的通项时也符合题意．
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