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《解直角三角函数》同步提升训练题（二）
一．选择题（共22小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，，则sinC的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠BAD，tan∠CAD，则∠BAC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6 B．2 C．2 D．9
6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．在△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝100，，则AB的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，边D点作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，，则AE为（ ）
A． B．10 C． D．15
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，已知，AD＝2CD＝2，则BE的长为（ ）
A．4 B． C． D．3
10．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB＝（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在Rt△ABC中，AB＝10，∠B＝36°，则AC的长度为（ ）
A．10tan36° B．10cos36° C．10sin36° D．
12．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
14．在△ABC中，∠C＝90°，tanA，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（ ）
A．60 B．30 C．240 D．120
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD＝8，BD＝4，那么tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
16．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB，则AC等于（ ）
A．25 B．12 C．9 D．16
17．如图，△ABC是周长为36的等腰三角形，AB＝AC，BC＝10，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
18．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA，则AC的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
19．在△ABC中，AC＝6，∠B＝45°，∠C＝60°，尺规作图方式如图所示，AB＝（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在Rt△ABC中，延长斜边BC到点D，使CDBC，连接AD，若tanB，则tan∠CAD的值为（ ）
A． B． C． D．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB，则BC的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
22．如图，在△ABC中，若∠A﹣∠C＝90°，AB＝1，BC＝3，则AC的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共24小题）
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝10cm，则BC的长度为 cm．
24．等腰△ABC中，AB＝AC，，D为AB的中点，BE⊥BC交射线CD于E，若BC＝8，则线段BE的长为 ．
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为 ．
26．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，3CD＝BD．若，则sin∠BAD＝ ．
27．如图，在△ABC中，AB＝5，，BC＞AB．点D在BC上，BD＝2，连接AD，则AD＝ ．
28．已知△ABC中，∠C＝90°，cosA，AC＝6，那么AB的长是 ．
29．在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是 ．
30．如图，在△ABC中，AB＝BC，tan∠B，D为BC上一点，若满足CDBD，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则 ．
31．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB，BC1，则边AC的长为 ．
32．在△ABC中，AB＝15，，，则BC的长为 ．
33．在△ABC中，，，AC＝2，则BC为 ．
34．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B坐标为（4，3），则tan∠AOB的值为 ．
35．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO，则点F的坐标是 ．
36．如图，在△ABC中，D为AB的中点，将BD沿射线BC方向平移得到CE，连接AE，DE．若AD＝3，AE＝4，AB⊥AE，则tan∠BAC的值为 ．
37．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，D是AC的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，M为AE上一点，点N在CB的延长线上，连接MN，交DE的延长线于点F，若MF＝FN，CN＝6，则DF的长为 ．
38．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3）与原点O的连线OA与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为 ．
39．平面直角坐标系中，点A坐标为（3，4），点C的坐标为（x，0）且﹣2＜x＜3，点B是直线x＝﹣2上的动点，且BC⊥AC，连接AB．设AB与y轴正半轴的夹角是α，则tanα的最大值是 ．
40．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的顶点A的坐标是（2，4），∠ABO＝90°，且tan∠AOB，则点B的坐标为 ．
41．已知点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，m），以BC为斜边按如图所示作Rt△PBC（B、P、C三点按顺时针方向排列），使∠BPC＝90°，tan∠BCP＝2，连接AP，当线段AP的长最短时，点P的坐标为 ，此时m＝ ．
42．如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，当n＝2时，则tanα＝ ；当tanα的值最大时，n的值为 ．
43．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 ．
44．如图，平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，OA＝5，sin∠AOB，则点A的坐标是 ．
45．如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（9，0），点B在第一象限内，BO＝5，cos∠BOA，则sin∠BAO＝ ．
46．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．且tan∠BEC，则tanA＝ ．
三．解答题（共14小题）
47．在Rt△ABC中，AC＝2BC，求：
（1）cosA；
（2）当AB＝10时，求BC的长．
48．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC边上，AE＝2EC，过E作DE∥BC，交AB边于点D，CF平分∠ACB，交线段DE于点F．若BC＝9，，求DF长．
49．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD．
（1）求BC的长；
（2）求∠ACB的正切值．
50．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD⊥AB于D，AC＝12，试求：
（1）sinA的值；
（2）cos∠ACD的值；
（3）CD的值．
51．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝6，cosA．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠DBE的值．
52．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BF平分∠ABC交AD于点E，BC＝5，AD＝4，sin∠C．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）求线段EF的长．
53．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC，点D在边BC上，BD＝4，连接AD，tan∠DAC．
（1）求边AC的长；
（2）求tan∠BAD的值．
54．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF为矩形；
（2）若BC＝6，sin，求EF的长．
55．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝5，，过点A作AD⊥BC于点D．
（1）求BD的长；
（2）若点E是边AC的中点，连结BE，求tan∠EBC的值．
56．如图所示，△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，AB．
（1）求AC的长；
（2）求BC的长．
57．如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠A＝90°，点B在x轴上，AO＝5，cosα．
（1）求点A的坐标；
（2）求∠ABO的正切值；
（3）延长BA，交y轴于点C，求点C的坐标．
58．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD．
（1）求AB的长；
（2）求cos∠ADC的值．
59．如图，四边形ABCD中，∠DCB＝∠B＝90°，对角线CA⊥AD，AB＝8，BC＝6，点P为折线BA﹣AD上的点．
（1）求AD的长；
（2）若点P在∠ACB的平分线上，求AP的长；
（3）若AP＝2，求tan∠PCB的值．
60．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AC⊥BC，DE⊥AC，垂足为点E，AC＝4，DE＝3．
（1）求AD：AB的值；
（2）联结BD交AC于点F，如果，求CF的长．中小学教育资源及组卷应用平台
《解直角三角函数》同步提升训练题（二）
一．选择题（共22小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】利用三角函数的定义解答即可．
【解答】解：如图，
因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，
所以sinA，cosA，tanA，cotA，
故A、B、C不符合题意，D符合题意，
故选：D．
2．在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，，则sinC的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】过点A作AD⊥BC，先利用等腰三角形的性质求出CD，再利用三角形的面积求出AD，利用勾股定理求出AC，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∵AB＝AC，BC＝10cm，
∴CD＝5cm．
∵S△ABCBC AD，，
∴AD＝12．
在Rt△ACD中，
AC13cm．
∴sinC．
故选：D．
3．在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠BAD，tan∠CAD，则∠BAC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【思路点拔】根据题意画出图形即可解决问题．
【解答】解：△ABC如图所示，
∵tan∠BAD，tan∠CAD，
则令AD＝x，
∴BD，CD．
在Rt△ABD中，
AB，
同理可得，AC．
过点C作AB的垂线，垂足为E，
则，
∴CE．
在Rt△ACE中，
sin∠BAC，
∴∠BAC＝45°．
故选：B．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拔】根据正弦的定义即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，sinA，
∴AB为直角三角形的斜边，
∴sinA，
∴BC＝4，
∴AC．
故选：A．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6 B．2 C．2 D．9
【思路点拔】作CD⊥AB，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴ADAC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD3，
在Rt△BCD中，BC2，
故选：B．
6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【思路点拔】连接BE交CD于点F，由正方形的性质得DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，进而得BF＝CF＝DF，证得△ACP∽△BDP，得DP：CP＝BD：AC＝1：3，从而得到DP＝PFCFBF，进而利用正切定义解答即可．
【解答】解：如图，连接BE交CD于点F，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF＝DF，
根据题意，AC∥BD，
∴∠ACP＝∠BDP，∠DBP＝∠CAP，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∵BF＝CF＝DF，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PFCFBF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故选：A．
7．在△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝100，，则AB的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
【思路点拔】根据三角函数的定义求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，若AC＝100，，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴AB的长是80，
故选：D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，边D点作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，，则AE为（ ）
A． B．10 C． D．15
【思路点拔】根据在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA，可得AB、BC的长，从而求得AD的长；由ED⊥AB，从而可以推得AE的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，cosA，
∴AB＝1620，
BC12；
∵D是AB的中点，
∴AD＝2010，
又∵ED⊥AB，
∴∠EDA＝90°，
∴cosA，
∴AE＝10，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，已知，AD＝2CD＝2，则BE的长为（ ）
A．4 B． C． D．3
【思路点拔】根据算出AB＝5，再算出，即可求解．
【解答】解：∵AD＝2CD＝2，
∴AD＝2，CD＝1，AC＝3，
∵∠C＝90°，，
∴，
∴AB＝5，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠B＝90°﹣∠A，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB＝（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】先证明△OAB是等边三角形，得∠AOB＝60°，即可得出cos∠AOB．
【解答】解：根据题意得：OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴cos∠AOB＝cos60°．
故选：B．
11．如图，在Rt△ABC中，AB＝10，∠B＝36°，则AC的长度为（ ）
A．10tan36° B．10cos36° C．10sin36° D．
【思路点拔】由题意知，，进而可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝10，∠B＝36°，
∴，
∴AC＝10 sin36°．
故选：C．
12．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA，则BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
【思路点拔】根据正弦值的定义解决此题．
【解答】解：如图．
∵∠C＝90°，AB＝8，sinA，
∴sinA．
∴BC＝6．
故选：A．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据解直角三角形、相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠ACB＝90°，
∴△ANM∽△ACB，
∴，
∵AN＝3，AM＝4，
∴，
设AC＝3k，AB＝4k，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
∴．
故选：D．
14．在△ABC中，∠C＝90°，tanA，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（ ）
A．60 B．30 C．240 D．120
【思路点拔】由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长为60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积．
【解答】解：如图所示，由tanA，
设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理得：AB＝13x，
由题意得：12x+5x+13x＝60，
解得：x＝2，
∴BC＝24，AC＝10，
则△ABC面积为120，
故选：D．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD＝8，BD＝4，那么tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据相似三角形的判定和性质可以求得CD的长，然后即可求得tanB的值．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD＝8，BD＝4，
∴，
解得CD＝4，
∴tanB，
故选：D．
16．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB，则AC等于（ ）
A．25 B．12 C．9 D．16
【思路点拔】根据正弦的定义及条件求解即可．
【解答】解：如图，根据题意得：
，
∵AB＝15，
∴AC＝9．
故选：C．
17．如图，△ABC是周长为36的等腰三角形，AB＝AC，BC＝10，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】过点A作AD⊥BC，先利用AB＝AC，BC＝10，求得BD，再利用三角形的周长公式求出AD，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB＝AC，BC＝10，
∴，
∵△ABC是周长为36的等腰三角形，
∴，
在Rt△ABD中，
∴，
∴．
故选：C．
18．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA，则AC的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【思路点拔】首先由正弦函数的定义可知，从而可求得BC的长，然后由勾股定理可求得AC的长．
【解答】解：如图所示：
∵sinA，AB＝10，
∴BC＝6，
由勾股定理得：AC8．
故选：A．
19．在△ABC中，AC＝6，∠B＝45°，∠C＝60°，尺规作图方式如图所示，AB＝（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由∠C的正弦求出AD的长，判定△ABD是等腰直角三角形，得到ABAD＝3．
【解答】解：由尺规作图可知：AD⊥BC，
∵∠C＝60°，
∴sinC＝sin60°，
∵AC＝6，
∴AD＝3，
∵∠B＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴ABAD＝3．
故选：D．
20．如图，在Rt△ABC中，延长斜边BC到点D，使CDBC，连接AD，若tanB，则tan∠CAD的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】如图，作DE∥AC交AB于E．由tanB可以假设AD＝5k，AB＝3k，推出BDk，CDk，想办法求出AE即可解决问题．
【解答】解：如图，作DE∥AC交AB于E．
在Rt△ABD中，tanB，
∴可以假设AD＝5k，AB＝3k，
∴BDk，CDk，
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE，，
∴BE＝2k，
∴AE＝k，
∴tan∠CAD＝tan∠ADE，
故选：D．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB，则BC的长是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【思路点拔】过点A作BC的垂线，构造出直角三角形，再结合正弦的定义及等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sinB，
∴AM4，
∴BM．
又∵AB＝AC，
∴BC＝2BM＝6．
故选：B．
22．如图，在△ABC中，若∠A﹣∠C＝90°，AB＝1，BC＝3，则AC的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】在BC上取点D，使AD＝CD，利用勾股定理可求出AD的长，进而得出BD的长，再过点A作BC的垂线即可解决问题．
【解答】解：在BC上取点D，使AD＝CD，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC．
又∵∠BAC﹣∠C＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝90°，
则∠BAD＝90°．
令CD＝a，
则BD＝3﹣a，AD＝a，
在Rt△BAD中，
12+a2＝（3﹣a）2，
解得a，
∴AD，BD．
过点A作BC的垂线，垂足为M，
则，
∴AM，
则DM，
∴MC．
在Rt△AMC中，
AC．
故选：A．
二．填空题（共24小题）
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝10cm，则BC的长度为 6 cm．
【思路点拔】直接利用余弦的定义求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，
∴cosB，
∴BCAB10＝6（cm）．
故答案为：6．
24．等腰△ABC中，AB＝AC，，D为AB的中点，BE⊥BC交射线CD于E，若BC＝8，则线段BE的长为 2 ．
【思路点拔】作AF⊥BC交BC于F，交EC于G，利用等腰三角形的性质及锐角三角形函数可得AF＝3，利用ASA可得△BED≌△AGD，进而可得AG＝BE，则可得即可求解．
【解答】解：作AF⊥BC交BC于点F，交EC于点G，
∵AB＝AC，BC＝8，
∴BF＝CF，
∵tan，
∴，
∵BE⊥BC，
∴BE∥AF，
∴△CGF∽△CEB，
∴，
∴，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD，
在△BED和△AGD中，
，
∴△BED≌△AGD（ASA），
∴AG＝BE，
∴，
∴BE＝2，
故答案为：2．
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为 ．
【思路点拔】如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．利用全等三角形的性质证明BM＝CF＝9，AB＝BM，利用勾股定理求出BC，AC即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝DF，连接BM．
∵BD＝DC，∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴CF＝BM＝9，∠M＝∠CFD，
∵CE∥BM，
∴∠AFE＝∠M，
∵EA＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴∠BAM＝∠M，
∴AB＝BM＝9，
∵AE＝4，
∴BE＝5，
∵∠EBC＝90°，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
26．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，3CD＝BD．若，则sin∠BAD＝ ．
【思路点拔】过点D作DE⊥AB于E，则∠AED＝∠BED＝90°，设CD＝a，BD＝3a，则BC＝4a，由可得，，利用勾股定理求出AD、DE，根据正弦的定义即可求解．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，则∠AED＝∠BED＝90°，
∵3CD＝BD，
∴设CD＝a，BD＝3a，
∴BC＝4a，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
27．如图，在△ABC中，AB＝5，，BC＞AB．点D在BC上，BD＝2，连接AD，则AD＝ ．
【思路点拔】过点A作AE⊥BC于点E，根据正切值，设AE＝3x，则BE＝4x，利用勾股定理求出AE＝3，BE＝4，进而得到DE＝2，再利用勾股定理即可求出AD的长．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝5，．
∴设AE＝3x，则BE＝4x，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得：x＝1或x＝﹣1（舍），
∴AE＝3，BE＝4，
∵B D＝2，
∴DE＝2，
在Rt△ADE中，，
故答案为：．
28．已知△ABC中，∠C＝90°，cosA，AC＝6，那么AB的长是 10 ．
【思路点拔】利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵cosA，AC＝6，
∴AB＝10．
故答案为：10．
29．在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是 ．
【思路点拔】过点B作BD⊥AC于D，利用∠BAC＝120°，AB＝4，求出BD，再用勾股定理计算即可求解．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
则有∠ABD＝30°，
又∵AB＝4，
∴，
∴，CD＝2+6＝8，
∴，
故答案为：．
30．如图，在△ABC中，AB＝BC，tan∠B，D为BC上一点，若满足CDBD，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则 ．
【思路点拔】根据问题分析：要求的值，可能需要构造相似或者平行线分线段成比例，所以作CM⊥AD于点M，从而将转化成，再根据题中条件去求解即可．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥CB于点H，作CM⊥AD于点M，
∵AB＝BC，，
设BD＝8a，则CD＝5a，
∴BC＝AB＝BD+CD＝13a，
∵tanB，
∴AH＝5a，BH＝12a，
∴DH＝BH﹣BD＝4a，CH＝a，
在Rt△ACH中，ACa，
在Rt△ADH中，ADa，
∴cos∠ADC，
∴DM＝CD cos∠ADCa，
∴AM＝AD﹣DMa，
∴．
故答案为：．
31．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB，BC1，则边AC的长为 2 ．
【思路点拔】过点A作BC的垂线，构造出直角三角形，再结合特殊角的三角函数值即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sinB，cosB，
∴AM，BM．
又∵BC，
∴CM．
在Rt△ACM中，
AC．
故答案为：2．
32．在△ABC中，AB＝15，，，则BC的长为 15或9 ．
【思路点拔】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝BD﹣CD．
【解答】解：（1）如图，作AD⊥BC，锐角△ABC中，AB＝15，，，
∵在Rt△ABD中AB＝15，，AD2+BD2＝AB2，
∴AD＝9，BD＝12，
在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝9，
∴CD＝3，
∴BC的长为BD+DC＝15；
（2）如图：钝角△ABC中，AB＝15，，，
\
在Rt△ABD中，AB＝15，，AD2+BD2＝AB2，
则BD＝12，AD＝9，
在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝9，
∴CD＝3，
∴BC的长为DB﹣BC＝9．
故答案为：15或9．
33．在△ABC中，，，AC＝2，则BC为 或 ．
【思路点拔】此题分两种情况：如图1，过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，由已知条件，设AD＝x，BD＝2x，根据勾股定理求出x的值，从而得出，BD＝2，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出，于是得到结果；如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，同理可得结果．
【解答】解：如图1，过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，
∵tanB，
∴设AD＝x，BD＝2x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴，
∴，
∴，BD＝2，
在Rt△ADC中，，
∴；
如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
在Rt△ABD中，
∵tanB，
∴设AD＝x，BD＝2x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴，
∴，
∴，BD＝2，
∵AC＝2，
∴，
∴，
故答案为：或．
34．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B坐标为（4，3），则tan∠AOB的值为 ．
【思路点拔】过B作x轴的垂线，交x轴于C，在Rt△BOC中求值即可．
【解答】解：过B作x轴的垂线，交x轴于C，
∵点B坐标为（4，3），
∴tan∠AOB，
故答案为：．
35．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO，则点F的坐标是 （8，12） ．
【思路点拔】过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，先由平行线的性质及互余关系证明∠FEA＝∠HFG＝∠FGO；再解Rt△AEF，求得AE及AF，然后判定四边形OGHA为矩形，则可求得FH；解Rt△FGH，求得FG及HG，则点F的坐标可得．
【解答】解：过点F作直线FA∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥FA于点H，则∠FAE＝90°，
∵FA∥OG，
∴∠FGO＝∠HFG．
∵∠EFG＝90°，
∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，
∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，
∵cos∠FGO，
∴cos∠FEA，
在Rt△AEF中，EF＝10，
∴AE＝EFcos∠FEA＝106，
∴根据勾股定理得，AF＝8，
∵∠FAE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，
∴四边形OGHA为矩形，
∴AH＝OG，
∵OG＝17，
∴AH＝17，
∴FH＝17﹣8＝9，
∵在Rt△FGH中，cos∠HFG＝cos∠FGO，
∴FG＝915，
∴由勾股定理得：HG12，
∴F（8，12）．
故答案为：（8，12）．
36．如图，在△ABC中，D为AB的中点，将BD沿射线BC方向平移得到CE，连接AE，DE．若AD＝3，AE＝4，AB⊥AE，则tan∠BAC的值为 ．
【思路点拔】利用平移的性质和线段中点定义可得出BD∥CE，AD＝CE，然后证明四边形ADCE是矩形，得出CD＝4，∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，利用正切的定义求解即可．
【解答】解：连接CD，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∵将BD沿射线BC方向平移得到CE，
∴BD∥CE，BD＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB⊥AE，
∴平行四边形ADCE是矩形，
∴AE＝CD＝4，∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，AD＝3，CD＝4，∠ADC＝90°，
∴，
故答案为：．
37．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，D是AC的中点，过点D作DE⊥AB，垂足为E，M为AE上一点，点N在CB的延长线上，连接MN，交DE的延长线于点F，若MF＝FN，CN＝6，则DF的长为 ．
【思路点拔】如图，过点N作NP⊥AB于点P，过点C作CQ⊥AB，交AB的延长线于点Q，易得DE∥NP∥CQ，进而得到DE为△ACQ的中位线，EF为△MNP的中位线，即；再说明∠NBP＝∠CBQ＝60°，解直角三角形可得、，进而得到，最后结合CN＝BN+BC＝6即可解答．
【解答】解：如图，过点N作NP⊥AB于点P，过点C作CQ⊥AB，交AB的延长线于点Q，
∵DE⊥AB，
∴DE∥NP∥CQ，
∵D是AC的中点，MF＝FN，
∴DE为△ACQ的中位线，EF为△MNP的中位线，
∴，
∵∠ABC＝120°，
∴∠NBP＝∠CBQ＝60°，
∴，，
∴，
∵CN＝BN+BC＝6，
∴．
故答案为：．
38．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3）与原点O的连线OA与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为 ．
【思路点拔】过点A作x轴的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为M，
∵点A的坐标为（4，3），
∴OM＝4，AM＝3．
在Rt△AOM中，
AO，
∴sinα．
故答案为：．
39．平面直角坐标系中，点A坐标为（3，4），点C的坐标为（x，0）且﹣2＜x＜3，点B是直线x＝﹣2上的动点，且BC⊥AC，连接AB．设AB与y轴正半轴的夹角是α，则tanα的最大值是 ．
【思路点拔】过点作直线x＝﹣2的垂线，垂足为M，得出∠MBA＝α，再表示出∠MBA的正切，发现当BM最小时，tanα最大，则求出BN的最大值即可解决问题．
【解答】解：过点A作直线x＝﹣2的垂线，垂足为M，令直线x＝﹣2与x轴的交点为N，过点A作x轴的垂线，垂足为E，
∵MN∥y轴，
∴∠MBA＝α．
在Rt△ABM中，
tan∠MBA．
∵点A坐标为（3，4），
∴AM＝5，MN＝AE＝4．
则当MB取得最小值时，tan∠MBA取得最大值．
又∵BM+BN＝4，
∴当BN取得最大值时，BM取得最小值．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCN＝∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCN＝∠CAE．
又∵∠BNC＝∠CEA，
∴△BCN∽△ACE，
∴，
即，
∴BN，
则当x时，BN取得最大值，
∴BM的最小值为：4，
∴tan∠MBA，
∴tanα的最大值是．
故答案为：．
40．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABO的顶点A的坐标是（2，4），∠ABO＝90°，且tan∠AOB，则点B的坐标为 （0，4）或 ．
【思路点拔】先利用锐角三角函数的定义得到OB＝2AB，再利用勾股定理求出OB、AB的长，设点B（x，y），利用两点间距离公式建立方程，将两方程联立求解，即可得到点B的坐标．
【解答】解：如图 ，
∵tan∠AOB，
∴，即OB＝2AB，
∵点A（2，4），
∴OA，
在Rt△ABO中，AB2+OB2＝OA2，
∴，
∴AB＝2，OB＝4，
设点B（x，y），
∴AB，即（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4①，
∴OB，即x2+y2＝16②，
②﹣①得：x+2y＝8，即x＝8﹣2y，
将x＝8﹣2y代入②得：（8﹣2y）2+y2＝16，
整理得：5y2﹣32y+48＝0，
解得：y1＝4，，
将y1＝4代入x＝8﹣2y中得：x＝0，
将代入x＝8﹣2y中得：x，
∴点B的坐标为（0，4）或．
故答案为：（0，4）或．
41．已知点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，m），以BC为斜边按如图所示作Rt△PBC（B、P、C三点按顺时针方向排列），使∠BPC＝90°，tan∠BCP＝2，连接AP，当线段AP的长最短时，点P的坐标为 （，） ，此时m＝ 4 ．
【思路点拔】先确定出PE＝2PF，进而求出AP，利用AP最短，求出a的值，进而求出b，即可求出m的值．
【解答】解：如图，在Rt△BPC中，tan∠PCB2，
∴PB＝2PC，
设P（a，b）（由题意知，ab≤0）
过点P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，
∴E（a，0），F（0，b），∠PEB＝∠PFC＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴∠EPF＝90°，
∵∠BPC＝90°，
∴∠BPE＝∠CPF，
∵∠PEB＝∠PFC＝90°，
∴△PEB∽△PFC，
∴2，
∴BE＝2CF，PE＝2PF，
∴|b|＝2|a|，
∵ab＜0，
∴b＝﹣2a，
∴b2＝4a2，
∵A（﹣2，0），P（a，b），
∴AP2＝（a+2）2+b2＝a2+4a+4+b2＝a2+4a+4+a2＝5a2+4a+4＝5（a）2，
∴a时，AP最短，最短值为，
∴b＝﹣2a，
∴P（，），
∴点P在第二象限，如图所示，
∵B（6，0），C（0，m），
∴BE＝6﹣a，CF＝m，
∵BE＝2CF，
∴2（m），
∴m＝4，
故答案为：（，），4．
42．如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，当n＝2时，则tanα＝ ；当tanα的值最大时，n的值为 ．
【思路点拔】过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BG于点N，易证△AMC∽△CGB，根据相似三角形的性质可得，设BG＝m，可得，将n＝2代入求出m的值，进一步根据tanα求解即可；根据tanα，当BN最小，即BG最大时，tanα最大，因为m（n﹣3）（n+2）（n）2，根据二次函数的性质即可求出tanα的值最大时n的值．
【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BG于点N，如图所示：
则∠AMC＝90°，∠ANB＝90°，
∵直线y＝﹣2与x轴平行，
∴∠ABN＝α，∠CGB＝90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，
∴∠CAM＝∠BCG，
∵∠AMC＝∠CGB＝90°，
∴△AMC∽△CGB，
∴，
设BG＝m，
∵点A坐标为（4，3），点C坐标为（0，n），
∴AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，
∴，
当n＝2时，可得，
解得m＝1，
∴GB＝1，BN＝3，
∴tanα；
∵tanα，
当BN最小，即BG最大时，tanα最大，
∵，
∴m（n﹣3）（n+2）（n）2，
∵0，
∴当n时，m取得最大值，即tanα最大，
故答案为：，．
43．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 （4，） ．
【思路点拔】过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．只要求出AG、OG，则可求出顶点A的坐标．
【解答】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．
∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），
∴OC，OB＝1，
∴BC2．
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB2．
∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO．
∴sin∠ABG，cos∠ABG，
∴AG，BG＝3．
∴OG＝1+3＝4，
∴顶点A的坐标是（4，）．
故答案为：（4，）．
44．如图，平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，OA＝5，sin∠AOB，则点A的坐标是 （3，4） ．
【思路点拔】在直角△OAB中，根据∠AOB的正弦值和OA，先求出AB，再利用勾股定理求出OB，最后写出点A的坐标．
【解答】解：∵AB⊥x轴于点B，
∴△OAB是直角三角形．
∵，OA＝5，
∴AB＝4，
∴，
∴点A的坐标是（3，4），
故答案为：（3，4）．
45．如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（9，0），点B在第一象限内，BO＝5，cos∠BOA，则sin∠BAO＝ ．
【思路点拔】在Rt△BHO中，cos∠BOA，∠BOA的邻边是OH，斜边是BO．
在直角三角形中，斜边的平方＝一条直角边的平方+另一条直角边的平方．Rt△BHO中，BO为斜边，BH和OH为两条直角边．
【解答】解：如图，作BH⊥OA，垂足为H．
∵BO＝5，cos∠BOA，
∴OH＝BO×cos∠BOA＝53，
∴BH4，
∵点A（9，0），
∴OA＝9，
∴AH＝OA﹣OH＝9﹣3＝6．
∴AB2，
∴sin∠BAO．
故答案为：．
46．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．且tan∠BEC，则tanA＝ ．
【思路点拔】在Rt△EBC中，先用含k的代数式表示出BC、CE、BE，再利用线段垂直平分线的性质说明BE与AE的关系，最后在Rt△ABC中求出∠A的正切．
【解答】解：在Rt△EBC中，
∵tan∠BEC，
设BC＝3k，CE＝4k．
∴BE5k．
∵D是AB的中点，ED⊥AB，
∴BE＝AE＝5k．
∴AC＝AE+CE＝5k+4k＝9k．
在Rt△ABC中，
tanA．
故答案为：．
三．解答题（共14小题）
47．在Rt△ABC中，AC＝2BC，求：
（1）cosA；
（2）当AB＝10时，求BC的长．
【思路点拔】（1）根据在Rt△ABC中，AC＝2BC，得出BC是直角边，分为当AC是斜边时和当AC是直角边时根据勾股定理和余弦的定义求解即可；
（2）分为当AC是斜边时和当AC是直角边时，根据勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，AC＝2BC，
设BC＝x，则AC＝2x，
当AC是斜边时，，
则；
当AC是直角边时，，
则；
综上，cosA的值为或；
（2）∵在Rt△ABC中，AC＝2BC，
设BC＝x，则AC＝2x，
当AC是直角边时，（2x）2+x2＝100，解得：（负值已经舍去）；
当AC是斜边时，（2x）2＝x2+100，解得：（负值已经舍去）；
综上，或．
48．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC边上，AE＝2EC，过E作DE∥BC，交AB边于点D，CF平分∠ACB，交线段DE于点F．若BC＝9，，求DF长．
【思路点拔】由锐角的正弦求出AC＝6，由AE＝2EC，得到AE＝4，CE＝2，由∠ADE＝∠B，得到sin∠ADE＝sinB，因此，即可求出DE的长，由平行线的性质，等角对等边
求出EF的长，即可得到DF的长．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，BC＝9，
∴sinB，
∴AC＝6，
∵AE＝2EC，
∴AEAC＝4，CEAC＝2，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∴sin∠ADE＝sinB，
∴，
∴DE＝6，
∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ECF，
∵DE∥BC，
∴∠BCF＝∠EFC，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC＝2，
∴DF＝DE﹣EF＝6﹣2＝4．
49．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD．
（1）求BC的长；
（2）求∠ACB的正切值．
【思路点拔】（1）设DE＝3x，DE⊥BC，所以CD＝5x，CE＝4x，由CD＝5可求出x＝1，从而可求出答案．
（2）过点A作AF⊥BC于点F，由于D是AB的中点，所以DE是△ABF的中位线，从而可求出AF＝BF＝6，再求出CF＝1即可求出∠ACB的正切值．
【解答】解：（1）设DE＝3x，DE⊥BC，
∵sin∠BCD，
∴，
∴CD＝5x，CE＝4x，
∵CD＝5，
∴x＝1，
∴CE＝4，
∵∠B＝45°，
∴DE＝BE＝3x，
∴BC＝BE+CE＝7x＝7．
（2）过点A作AF⊥BC于点F，
∴DE∥AF，
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴AF＝2DE，BF＝2BE，
由（1）可知：DE＝BE＝3，
∴AF＝6，BF＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
∴tan∠ACB＝6．
50．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD⊥AB于D，AC＝12，试求：
（1）sinA的值；
（2）cos∠ACD的值；
（3）CD的值．
【思路点拔】（1）根据勾股定理得出AB＝13，再由正弦函数求解即可；
（2）根据同角的余角得出∠B＝∠ACD，再求余弦值即可；
（3）根据正弦函数求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB13，
∴；
（2）∵CD⊥AB于D，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∴；
（3）∵AC＝12，，
∴，
∴．
51．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝6，cosA．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠DBE的值．
【思路点拔】（1）在Rt△ABC中，先根据三角函数求出AB、AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长；
（2）过C点作CF⊥AB于F，求出DF的长，再根据余弦的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cosA，
设AC＝3k，则AB＝5k，
∴BC4k，
∵AC＝6，
∴3k＝6，k＝2，
∴AB＝10，
∵D是边AB的中点，
∴CDAB＝5；
（2）过C点作CF⊥AB于F．
CF＝AC BC÷AB＝4.8，
cos∠DCF．
∵∠DCF＝∠DBE，
∴cos∠DBE．
52．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BF平分∠ABC交AD于点E，BC＝5，AD＝4，sin∠C．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）求线段EF的长．
【思路点拔】（1）根据AD＝4，sin∠C，可以得到AC的长，然后根据勾股定理可以得到CD的长，再根据BC的长，从而可以得到BD的长，再利用勾股定理可以得到AB的长，然后即可求得sin∠BAD的值；
（2）根据题意和等腰三角形的性质，可以得到△AEF∽△ADC，然后即可计算出EF的长．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AD＝4，sin∠C，
∴，
解得AC＝2，
在Rt△ACD中，，
∵BC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3，
在Rt△ABD中，，
∴sin∠BAD；
（2）∵AB＝BC＝5，BF平分∠ABC，
∴BF⊥AC，，
∴∠AFE＝∠ADC，
又∵∠EAF＝∠CAD，
∴△AEF∽△ACD，
∴，
即．
解得EF．
53．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC，点D在边BC上，BD＝4，连接AD，tan∠DAC．
（1）求边AC的长；
（2）求tan∠BAD的值．
【思路点拔】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；
（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到tan∠BAD的值．
【解答】解：（1）设AC＝3m，
∵BD＝4，BC＝CD+BD∠C＝90°，sin∠ABC，tan∠DAC，
∴CD＝2m，
∴4m＝2m+4，
解得m＝2，
∴AC＝3m＝6；
（2）作DE⊥AB于点E，
由（1）知，AB＝5m＝10，AC＝6，BD＝4，
∵，
∴，
解得DE，
∵AC＝6，CD＝2m＝4，∠C＝90°，
∴AD2，
∴AE，
∴tan∠BAD，
即tan∠BAD的值是．
54．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF为矩形；
（2）若BC＝6，sin，求EF的长．
【思路点拔】（1）先证△AFE≌△DBE（AAS），得出AF＝BD，则AF＝DC，得出四边形ADCF为平行四边形，再证∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）BC＝6，AD为BC边上的中线，则，在Rt△ABD 中，，求出，则，又根据点E为AD中点，求出，则EF可根据勾股定理可求．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝BD，
∴AF＝DC，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形；
（2）解：∵BC＝6，AD为BC边上的中线，
∴，
∵在Rt△ABD 中，，
∴，
∴，
又∵点E为AD中点，
∴，
∴在 Rt△EBD中，，
∴．
55．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝5，，过点A作AD⊥BC于点D．
（1）求BD的长；
（2）若点E是边AC的中点，连结BE，求tan∠EBC的值．
【思路点拔】（1）在Rt△ABD中，根据∠ABD的正弦值及AB的长即可解决问题．
（2）将∠EBC转化为∠CAD，在Rt△ACD中求出∠CAD的正切即可．
【解答】解：（1）因为AD⊥BC，
则在Rt△ABD中，
sin∠ABD，
又因为AB＝5，sin∠ABD，
所以AD＝4，
所以BD．
（2）因为BC＝5，BD＝3，
所以CD＝2．
因为AB＝BC，且点E是AC边的中点，
所以BE⊥AC，
所以∠EBC+∠C＝90°，
又因为∠CAD+∠C＝90°，
所以∠EBC＝∠CAD．
在Rt△CAD中，
tan∠CAD，
所以tan∠EBC．
56．如图所示，△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，AB．
（1）求AC的长；
（2）求BC的长．
【思路点拔】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，先利用三角形内角和定理可得∠C＝30°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，然后在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出CD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵∠B＝45°，∠A＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝30°，
在Rt△ABD中，AB，
∴AD＝AB sin45°1，
∴AC＝2AD＝2，
∴AC的长为2；
（2）在Rt△ABD中，AB，∠B＝45°，
∴BD＝AB cos45°1，
在Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝1，
∴CDAD，
∴BC＝BD+CD＝1，
∴BC的长为1．
57．如图，在平面直角坐标系中，△ABO是直角三角形，∠A＝90°，点B在x轴上，AO＝5，cosα．
（1）求点A的坐标；
（2）求∠ABO的正切值；
（3）延长BA，交y轴于点C，求点C的坐标．
【思路点拔】（1）由cosα，则ON＝3，即可求解；
（2）由（1）知，tanα，而∠AOB+∠B＝90°，即可求解；
（3）由tan∠ABO，即可求解．
【解答】解：（1）过点A作AN⊥OB于点N，
则cosα，
则ON＝3，
则AN4，
则点A的坐标为：（3，4）；
（2）由（1）知，tanα，
∵∠AOB+∠B＝90°，
则tan∠ABO；
（3）如图，延长BC交y轴于点C，
由（2）知，tan∠ABO，
在Rt△OAB中，cosα，
则OB，
则tan∠ABO，
解得：OC，
即点C（0，）．
58．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD．
（1）求AB的长；
（2）求cos∠ADC的值．
【思路点拔】（1）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出tanB，把tanB的值，以及BC的长代入求出AC的长，再根据勾股定理即可；
（2）设CD＝x，则有AD＝BD＝8﹣x，在直角三角形ACD中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出CD与AD的长，利用锐角三角函数定义求出cos∠ADC的值即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB，
∴tanB，
解得：AC＝4，
在Rt△ABC中，AB4；
（2）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2＝CD2+AC2，
即（8﹣x）2＝x2+16，
解得：x＝3，
∴CD＝3，AD＝5，
则cos∠ADC．
59．如图，四边形ABCD中，∠DCB＝∠B＝90°，对角线CA⊥AD，AB＝8，BC＝6，点P为折线BA﹣AD上的点．
（1）求AD的长；
（2）若点P在∠ACB的平分线上，求AP的长；
（3）若AP＝2，求tan∠PCB的值．
【思路点拔】（1）由勾股定理可得AC＝10，证明△DAC∽△CAB，可得，代入数值进行计算即可得出答案；
（2）设AP＝x，则PB＝AB﹣AP＝8﹣x，过点P作PH⊥AC，由角平分线的性质定理可得PH＝PB＝8﹣x，证明△APH∽△ACB得出，代入数值进行计算即可得出答案；
（3）分两种情况：当点P在AB边上；当点P在AD边上，过点P作PE⊥BC于E，作PF⊥BA交BA的延长线于点F；分别根据正切的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝10，
∵∠DCB＝∠B＝90°，
∴DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵CA⊥AD，
∴∠DAC＝∠B，
∴△DAC∽△CAB，
∴，即，
∴；
（2）如图，设AP＝x，则PB＝AB﹣AP＝8﹣x，过点P作PH⊥AC，
∵CP为∠ACB的平分线，∠B＝90°，
∴PH＝PB＝8﹣x，
∵∠CAB＝∠CAB，∠AHP＝∠B，
∴△APH∽△ACB，
∴，即，
∴AP＝5；
（3）分两种情况：
当点P在AB边上，如图，
，
则PB＝6，则，
当点P在AD边上，如图，过点P作PE⊥BC于E，作PF⊥BA交BA的延长线于点F，
，
∵∠B＝90°，
∴四边形PFBE为矩形，
∴PF＝BE，PE＝BF，
∵∠F＝∠B＝∠PAC，
∴∠PAF+∠APF＝∠PAF+∠CAB＝90°，
∴∠APF＝∠CAB，
∴△APF∽△CAB，
∴，即，
∴，，
∴，，
∴，
综上所述．或1．
60．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AC⊥BC，DE⊥AC，垂足为点E，AC＝4，DE＝3．
（1）求AD：AB的值；
（2）联结BD交AC于点F，如果，求CF的长．
【思路点拔】（1）借助于△ABC∽△DAE即可解决问题．
（3）先求出BC的长，再借助于△BCF∽△DEF即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝90°．
∵AC⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ACB＝∠DEA＝90°，∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠DAE．
∴△ABC∽△DAE，
∴AD：AB＝DE：AC，
又∵AC＝4，DE＝3，
∴AD：AB．
（2）联结BD交AC于点F，如图所示，
在Rt△ABC中，
tan∠BAC，
∵tan∠BAC，AC＝4，
∴BC＝2．
在Rt△AED中，
tan∠ADE＝tan∠BAC，
则，
∴AE，
则CE＝4．
又∵∠ACB＝∠DEC，∠BFC＝∠DFE，
∴△BCF∽△DEF，
∴，
则，
解得CF＝1．
故CF的长为1．
