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圆心角、弧、弦关系 专项练习
一．选择题（共6小题）
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AD B．BC＝CD C． D．∠BCA＝∠DCA
【思路点拔】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴，∴BC＝CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选：B．
2．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A．或2 B．或2 C．或2 D．或2
【思路点拔】过B作直径，连接AC交BO于E，如图①，根据已知条件得到BD2×3＝2，如图②，BD2×3＝4，求得OD＝1，OE＝2，DE＝1，连接OD，根据勾股定理得到结论，
【解答】解：过B作直径，连接AC交BO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD2×3＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DEBD＝1，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE，
∴边CD；
如图②，BD2×3＝4，
同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，
连接OC，
∵CE2，
∴边CD2，
故选：D．
3．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【思路点拔】画出符合题意的几何图形，证明△OAB是等边三角形即可得到此弦所对圆心角的度数．
【解答】解：如图，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
故选：C．
4．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【思路点拔】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD＝BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC∠AOB，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC∠AOB＝40°，
故选：A．
5．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
【思路点拔】由，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【解答】解：如图，∵，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO（180°﹣78°）＝51°．
故选：A．
6．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（ ）
A．AC+CB＝AD+DB
B．AC+CB＜AD+DB
C．AC+CB＞AD+DB
D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
【思路点拔】欲求AC+CB和AD+DB的大小关系，需将这些线段构建到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系求解．
【解答】解：如图；
以C为圆心，AC为半径作圆，交BD的延长线于E，连接AE、CE；
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB；
∵∠DAC＝∠CBE，
∴∠DAC＝∠CEB；
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴∠CAE﹣∠DAC＝∠CEA﹣∠CED，即∠DAE＝∠DEA；
∴AD＝DE；
∵EC+BC＞BE，EC＝AC，BE＝BD+DE＝AD+BD，
∴AC+BC＞BD+AD；
故选：C．
二．填空题（共6小题）
7．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为 ．
【思路点拔】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，根据勾股定理得到32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，然后利用面积法出AG，从而得到AF的长．
【解答】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BEAB＝3，
设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，
在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，
∴OE＝5﹣1＝4，
∵，
∴OB⊥AF，AG＝FG，
∵AG OBOE AB，
∴AG，
∴AF＝2AG．
故答案为．
8．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 30° ．
【思路点拔】想办法证明△AOC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC．
∵AB是直径，，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°．
故答案为30°
9．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于 40 度．
【思路点拔】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．
【解答】解：△OAB中，OA＝OB，
∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°；
∵点C是弧AB的中点，即，
∴∠BOC∠BOA＝40°．
故答案为：40．
10．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝ 40 度．
【思路点拔】首先由AD∥OC可以得到∠BOC＝∠DAO，又由OD＝OA得到∠ADO＝∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．
【解答】解：∵AD∥OC，
∴∠BOC＝∠DAO＝70°，
又∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO＝70°，
∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．
11．如图，已知：AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，则∠BOC＝ 70 度．
【思路点拔】利用平行线的性质和等腰三角形的性质即可求出．
【解答】解：∵AB和CD为⊙O的两条直径，弧CE的度数为40°，
∴连接OE，则OE＝OC，
∠COE＝40°，
故∠1＝∠2（180°﹣∠COE）（180°﹣40°）＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠BOC＝∠1＝70°．
故填70°．
12．如图，OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE＝OF，那么 AB＝CD （只需写出一个正确的结论）．
【思路点拔】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论可以直接得到所求的结论．
【解答】解：∵OE＝OF，
∴AB＝CD．（在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．答案不唯一）．
三．解答题（共9小题）
13．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
【思路点拔】（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；
（2）解法一：连接OF，设⊙O的半径为r，由CF＝BD列出关于r的勾股方程就能求解；
解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE＝AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH＝BE＝2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．
解法三：连接OC，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH＝1，证明△COE≌△BOH，并利用勾股定理可得结论．
【解答】证明：（1）∵C是的中点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴，
∴，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
∵，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，
∵，
∴，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，
解得：r＝1（舍）或3，
∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，
∴BF＝2；
解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，
∵，
∴∠HAC＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CH＝CE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），
∴AE＝AH，
∵CH＝CE，CD＝CB，
∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），
∴DH＝BE＝2，
∴AE＝AH＝2+2＝4，
∴AB＝4+2＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BEC＝90°，
∵∠EBC＝∠ABC，
∴△BEC∽△BCA，
∴，
∴BC2＝AB BE＝6×2＝12，
∴BF＝BC＝2．
解法三：如图，连接OC，交BD于H，
∵C是的中点，
∴OC⊥BD，
∴DH＝BH，
∵OA＝OB，
∴OHAD＝1，
∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，
∴△COE≌△BOH（AAS），
∴OH＝OE＝1，
∴CE＝EF2，
∴BF2．
14．如图，在⊙O中，2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD．
【思路点拔】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．
【解答】证明：延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴，AE＝2AD，
∵，
∴，
∴AB＝AE，
∴AB＝2AD．
15．如图，在⊙O中，，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．
【思路点拔】连接OC，先根据得出∠AOC＝∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
【解答】证明：连接OC，
∵，
∴∠AOC＝∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°
在△COD与△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∵AO＝BO，
∴AD＝BE．
16．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．
求证：CD＝CE．
【思路点拔】证CD和CE所在的三角形全等即可．
【解答】证明：∵OA＝OB AD＝BE，
∴OA﹣AD＝OB﹣BE，即OD＝OE．
在△ODC和△OEC中，，
∴△ODC≌△OEC（SAS）．
∴CD＝CE．
17．如图，AD是⊙O的直径．
（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是 22.5 °，∠B2的度数是 67.5 °；
（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；
（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，Bn n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数（只需直接写出答案）．
【思路点拔】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．
【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；
（2）∵圆周被6等分
∴360°÷6＝60°
∵直径AD⊥B1C1
∴30°，
∴∠B115°
∠B2（30°+60°）＝45°
∠B3（30°+60°+60°）＝75°；
（3）Bn n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，
则∠BnAD，
在直角△ABnD中，．
18．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2+BN2；
（思路点拨：考虑MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．请你完成证明过程．）
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【思路点拔】（Ⅰ）考虑MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了；
（Ⅱ）还将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，△GCM≌△ACM，然后由勾股定理即可证明．
【解答】（Ⅰ）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，
∴△DCM≌△ACM（1分）
∴CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM，∠CDM＝∠A
又∵CA＝CB，
∴CD＝CB（2分），
∴∠DCN＝∠ECF﹣∠DCM＝45°﹣∠DCM
∠BCN＝∠ACB﹣∠ECF﹣∠ACM
＝90°﹣45°﹣∠ACM＝45°﹣∠ACM
∴∠DCN＝∠BCN （3分）
又∵CN＝CN，
∴△CDN≌△CBN．（4分）
∴DN＝BN，∠CDN＝∠B．
∴∠MDN＝∠CDM+∠CDN＝∠A+∠B＝90°．（5分）
∴在Rt△MDN中，由勾股定理
∴MN2＝DM2+DN2，即MN2＝AM2+BN2．（6分）
（Ⅱ）解：关系式MN2＝AM2+BN2仍然成立．（7分）
证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，
∴△GCM≌△ACM．（8分）
∴CG＝CA，GM＝AM，∠GCM＝∠ACM，∠CGM＝∠CAM，
又∵CA＝CB，得CG＝CB．
∵∠GCN＝∠GCM+∠ECF＝∠GCM+45°
∴∠BCN＝∠ACB﹣∠ACN＝90°﹣（∠ECF﹣∠ACM）＝45°+∠ACM
得∠GCN＝∠BCN． （8分）
又∵CN＝CN，
∴△CGN≌△CBN．
∴GN＝BN，∠CGN＝∠B＝45°，∠CGM＝∠CAM＝180°﹣∠CAB＝135°，
∴∠MGN＝∠CGM﹣∠CGN＝135°﹣45°＝90°，
∴在Rt△MGN中，由勾股定理，
∴MN2＝GM2+GN2，即MN2＝AM2+BN2．（9分）
19．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．
（1）求证：AC＝AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
【思路点拔】（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．证△APO≌△AQO，由BC＝CD，得CP＝EQ后得证；
（2）同AC＝AE得∠ECM＝∠CEN，由CE＝EF得∠FCE＝∠FEC∠MCE∠CEN得证．
【解答】证明：（1）作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．
∵，
∴BC＝DE，
∴BP＝DQ，
又∵OB＝OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP＝OQ．
∴BP＝DQ＝CP＝EQ．
直角三角形APO和AQO中，
AO＝AO，OP＝OQ，
∴△APO≌△AQO．
∴AP＝AQ．
∵CP＝EQ，
∴AC＝AE．
（2）∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC．
∴∠ECM＝∠CEN．
由于AF是CE的垂直平分线，
∴CF＝EF．
∴∠FCE＝∠FEC∠MCE∠CEN．
因此EF平分∠CEN．
20．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD＝∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
【思路点拔】（1）根据垂径定理知，弧CD＝2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠BOC的度数，弧AD的度数等于∠CPD的2倍，
可得：∠CPD＝∠COB；
（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D＝180°﹣∠CPD，而：∠CPD＝∠COB，∴∠CP′D+∠COB＝180°．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴．
∴∠COB＝∠DOB∠COD．
又∵∠CPD∠COD，
∴∠CPD＝∠COB．
（2）解：∠CP′D+∠COB＝180°．
理由如下：连接OD，
∵∠CPD+∠CP′D＝180°，∠COB＝∠DOB∠COD，
又∵∠CPD∠COD，
∴∠COB＝∠CPD，
∴∠CP′D+∠COB＝180°．
21．已知如图AB、CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，求证：AD＝AE．
【思路点拔】连接BC，首先根据在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，得到弧BC＝弧AD，再根据两条平行弦所夹的弧相等得到弧BC＝弧AE，从而得到弧AD＝弧AE，则AD＝AE．
【解答】证明：连接BC，AC．
∵AB、CD是⊙O的两条直径，∠AOD＝∠BOC，
∴弧BC＝弧AD．
∵CE∥AB，
∴∠ECA＝∠CAB，
∴弧BC＝弧AE．
∴弧AD＝弧AE．
∴AD＝AE．中小学教育资源及组卷应用平台
圆心角、弧、弦关系 专项练习
一．选择题（共6小题）
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AD B．BC＝CD C． D．∠BCA＝∠DCA
2．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A．或2 B．或2 C．或2 D．或2
3．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
5．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
6．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（ ）
A．AC+CB＝AD+DB
B．AC+CB＜AD+DB
C．AC+CB＞AD+DB
D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
二．填空题（共6小题）
7．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为 ．
8．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为 ．
9．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于 度．
10．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝ 度．
11．如图，已知：AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，则∠BOC＝ 度．
12．如图，OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE＝OF，那么 （只需写出一个正确的结论）．
三．解答题（共9小题）
13．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
14．如图，在⊙O中，2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD．
15．如图，在⊙O中，，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．
16．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．
求证：CD＝CE．
17．如图，AD是⊙O的直径．
（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是 °，∠B2的度数是 °；
（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；
（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，Bn n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数（只需直接写出答案）．
18．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2+BN2；
（思路点拨：考虑MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．请你完成证明过程．）
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
19．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．
（1）求证：AC＝AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
20．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD＝∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．
21．已知如图AB、CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，求证：AD＝AE．
