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最短路径 专项练习（60题）
一．选择题（共33小题）
1．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，则△PMN周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知点A（1，3）、B（3，﹣1），点M在x轴上，当AM﹣BM最大时，点M的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（2.5，0） C．（4，0） D．（4.5，0）
3．如图，在锐角△ABC中，AB＝8，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．8 B．6 C． D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（ ）
A．AC B．AD C．BE D．BC
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6，△BDC面积为21，AB的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，BC边上的高AD＝8，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则EB+EF的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝9，则AC为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
8．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点D在边BC上且CD＝1，点E，F分别为边AB，AC上的动点，连接DE，EF，DF得到△DEF，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．2
10．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
11．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．2 D．3
12．如图，在等边△ABC中，AD、CE是△ABC的两条中线，AD＝5，P是AD上一个动点，则PB+PE最小值的是（ ）
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
13．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
14．如图，在锐角三角形ABC中AB＝2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
15．如图，△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，线段MN在边AB上运动，MN，D是BC的中点，则DM+CN的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
16．如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．120° B．60° C．30° D．90°
17．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（ ）
A．10o B．20o C．40o D．50o
18．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，AC＝8，BD是∠ABC的平分线．若P、Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
19．如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC＝8，B到MN的距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，|PA﹣PB|的最大值为b，则a2﹣b2的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
20．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．3
21．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
22．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AMAB时，PB+PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．22 D．33
23．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）
24．如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）
A．PA+PB的最小值为3
B．PE+PF的最小值为2
C．△CDE周长的最小值为6
D．四边形ABCD面积的最小值为3
25．在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．6 D．3
26．如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（ ）
A．24 B．24 C．12 D．12
27．如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
28．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
29．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．84° B．88° C．90° D．96°
30．如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
32．如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
33．如图，等边△ABC，边长为8，点D为边BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，当△ADE周长最小时，CE的长度为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
二．填空题（共17小题）
34．已知，如图△ABC为等边三角形，高AH＝10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为 cm．
35．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC＝BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 米．
36．将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2．将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC+GC的最小值为 ．
37．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 ．
38．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 ．
39．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为 ．
40．使取最小值的实数x的值为 ．
41．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（4，3），点C是x轴上的一个动点，则AC+BC的最小值为 ．
42．已知x、y是正数，且x+y＝8，，m的最小值是 ．
43．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为
44．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是 ．
45．如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为 ．
46．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是 ．
47．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为 ．
48．如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是 ．
49．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
50．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 ．
三．解答题（共10小题）
51．如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？
52．如图：要求在l1、l2上找出M，N两点．使四边形PQNM的周长最小，在图上画出M，N的位置．（不写画法，保留作图痕迹）
53．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
54．如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？
55．如图，A，B是直线l同侧的两点，且点A，B到l的距离分别为4.5，10.5，且垂足C、D间的距离为8，若点P是l上一点，求PA+PB的最小值．
56．如图，B，C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣a，﹣a﹣b）．
（1）直接写出点B的坐标为 ；
（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）
57．A，B两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么：
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）在x轴上有一条河，现准备在河流边上建一个抽水站P，使得抽水站P到A、B两个村庄的距离之和最小，请作出点P的位置，并求此时距离之和的最小值．
58．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；
（3）四边形BCC1B1的面积为 ．
59．如图，在10×10的网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A、B和直线l．
（1）求作点A关于直线l的对称点A1；
（2）P为直线l上一点，连接BP，AP，求△ABP周长的最小值．
60．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．中小学教育资源及组卷应用平台
最短路径 专项练习（60题）
一．选择题（共33小题）
1．如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，则△PMN周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拔】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到MP＝MP1，NP＝NP2，于是△PMN周长可转化为P1P2的长．
【解答】解：∵P与P1关于OA对称，
∴OA为PP1的垂直平分线，
∴MP＝MP1，
P与P2关于OB对称，
∴OB为PP2的垂直平分线，
∴NP＝NP2，
于是△PMN周长为MN+MP+NP＝MN+MP1+NP2＝P1P2＝6．
故选：C．
2．已知点A（1，3）、B（3，﹣1），点M在x轴上，当AM﹣BM最大时，点M的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（2.5，0） C．（4，0） D．（4.5，0）
【思路点拔】作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．利用待定系数法求出直线AB′的解析式，然后求出其与x轴交点的坐标，即M点的坐标．
【解答】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．此时AM﹣BM＝AM﹣B′M＝AB′．
不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B′．
则M′A﹣M′B＝M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．
∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时AM﹣BM最大．
∵B′是B（3，﹣1）关于x轴的对称点，
∴B′（3，1）．
设直线AB′解析式为y＝kx+b，把A（1，3）和B′（3，1）代入得：
，解得，
∴直线AB′解析式为y＝﹣x+4．
令y＝0，解得x＝4，
∴M点坐标为（4，0）．
故选：C．
3．如图，在锐角△ABC中，AB＝8，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．8 B．6 C． D．
【思路点拔】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB＝8，∠BAC＝45°，
∴BH＝AB sin45°＝84，
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝4．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（ ）
A．AC B．AD C．BE D．BC
【思路点拔】如图连接PB，只要证明PB＝PC，即可推出PC+PE＝PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
【解答】解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
故选：C．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6，△BDC面积为21，AB的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】连接AQ，过点D作DH⊥BC于H．利用三角形的面积公式求出DH，由题意PB+PQ＝AP+PQ≥AQ，求出AQ的最小值，可得结论．
【解答】解：连接AQ，过点D作DH⊥BC于H．
∵△DBC面积为21，BC＝6，
∴ BC DH＝21，
∴DH＝7，
∵MN垂直平分线段AB，
∴PA＝PB，
∴PB+PQ＝AP+PQ≥AQ，
∴当AQ的值最小时，PB+PQ的值最小，
根据垂线段最短可知，当AQ⊥BC时，AQ的值最小，
∵AD∥BC，
∴AQ＝DH＝7，
∴PB+PQ的值最小值为7．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，BC边上的高AD＝8，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则EB+EF的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拔】先连接CE，再根据EB＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【解答】解：连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC
∴EB＝EC，
当C、F、E三点共线时，EF+EC＝EF+BE＝CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD＝CF＝8，
∴EF+BE的最小值为8，
故选：D．
7．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝9，则AC为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【思路点拔】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝18，求得EG＝12，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BF＝9，
∴BG＝2BF＝18，
∴EG＝12，
∵CE＝CG＝6，
∴AC＝BC＝12，
故选：C．
8．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【思路点拔】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，证明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；
故选：B．
9．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点D在边BC上且CD＝1，点E，F分别为边AB，AC上的动点，连接DE，EF，DF得到△DEF，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．5 B．2 C．3 D．2
【思路点拔】作D关于AB的对称点G，作D关于AC的对称点H，连接BG，CH，FH，GH，当G，E，F，H在同一条直线上时，△DEF的周长最小，由对称性求出GH即可．
【解答】解：如图，作D关于AB的对称点G，作D关于AC的对称点H，
连接BG，CH，FH，GH，
∵∠ABC＝90°，
∴∠GBE＝∠ABC＝90°，
∴G，B，D，C在同一条直线上，
由对称性可知，
GB＝DB＝3，CH＝CD＝1，∠FCH＝∠FCD＝45°，
FH＝FD，EG＝ED，
∴∠HCG＝90°，GC＝GB+BD+DC＝3+3+1＝7，
∴GH5，
∴DE+EF+FD＝GE+EF+FH≥GH＝5，
∴△DEF的周长的最小值5．
故选：A．
10．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
【思路点拔】连接CC′，根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形A′BCC′为菱形，进而得出点C关于BC'对称的点是A'，以此确定当点D与点B重合时，AD+CD的值最小，代入数据即可得出结论．
【解答】解：连接CC′，如图所示．
∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，
∴∠ABC＝∠A′＝60°，A′B＝BC＝A′C′，
∴A′C′∥BC，
∴四边形A′BCC′为菱形，
∴点C关于BC'对称的点是A'，
∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，最小值为AA′的长．
∵AA′＝AB+A′B＝2+2＝4，
∴AD+CD的最小值为4．
故选：A．
11．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．2 D．3
【思路点拔】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，故PE+PC＝AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，
∴BD⊥AC，EC＝3，
连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴AE3，
∴PE+PC的最小值是3．
故选：D．
12．如图，在等边△ABC中，AD、CE是△ABC的两条中线，AD＝5，P是AD上一个动点，则PB+PE最小值的是（ ）
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
【思路点拔】如图连接PC，只要证明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为AD的长度．
【解答】解：如图连接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，
最小值为CE的长度，即为AD的长为5．
故选：B．
13．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【思路点拔】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
【解答】解：
过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC＝4，AE＝2，
∴EC＝2＝AE，
∴AM＝BM＝2，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴∠ECF∠ACB＝30°，
故选：C．
14．如图，在锐角三角形ABC中AB＝2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【思路点拔】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段之和的最小值．
【解答】解：如图，在AC上截取AE＝AN，连接BE，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM＝∠NAM，
在△AME与△AMN中，
AE＝AN，∠EAM＝∠NAM，AM＝AM，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME＝MN．
∴BM+MN＝BM+ME≥BE，
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，此时BM+MN有最小值，
∵AB＝2，∠BAC＝45°，此时△ABE为等腰直角三角形，
∴BE，即BE取最小值为，
∴BM+MN的最小值是．
故选：B．
15．如图，△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，线段MN在边AB上运动，MN，D是BC的中点，则DM+CN的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【思路点拔】作AC的中点E，连接DE，求得DE，得到DE＝MN，DE∥MN，推出四边形MNED是平行四边形，连接EN，求得NE＝DM，作点E关于AB的对称点F，连接FA，FN，FC，则△CFA直角三角形，且FA＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：作AC的中点E，连接DE，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴CD＝CE＝1，
∴DE，
∴DE＝MN，DE∥MN，
∴四边形MNED是平行四边形，
连接EN，
∴NE＝DM，
作点E关于AB的对称点F，连接FA，FN，FC，
则△CFA直角三角形，且FA＝1，
∴DM+CN＝CN+EN＝CN+NF≥CF
∴DM+CN的最小值为，
故选：B．
16．如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．120° B．60° C．30° D．90°
【思路点拔】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周长最小值等于P1P2的长，然后依据等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2∠O，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝180°﹣2∠O＝60°．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于M，交OB于N，
∴OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长的最小值＝P1P2，
由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣∠P1OP2＝180°﹣2∠AOB，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N
＝∠OP1P2+∠OP2P1
＝180°﹣2∠AOB
＝60°，
故选：B．
17．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（ ）
A．10o B．20o C．40o D．50o
【思路点拔】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°（180°﹣β），
∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），
∴β﹣α＝40°，
故选：C．
18．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，AC＝8，BD是∠ABC的平分线．若P、Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
【思路点拔】如图，作点Q关于直线BD的对称点Q′，作AM⊥BC于M．由PA+PQ＝PA+PQ′，推出根据垂线段最短可知，当A，P，Q′共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值＝线段AM的长．
【解答】解：如图，
作点Q关于直线BD的对称点Q′，作AM⊥BC于M，
∵PA+PQ＝PA+PQ′，
∴根据垂线段最短可知，当A，P，Q′共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值＝线段AM的长．
∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，AC＝8，
∴AM，
故选：C．
19．如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC＝8，B到MN的距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，|PA﹣PB|的最大值为b，则a2﹣b2的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
【思路点拔】作点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交直线MN于点P，过点A′作直线A′E⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出A′B的长就是PA+PB的最小值；
延长AB交MN于点P′，此时P′A﹣P′B＝AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA﹣PB|，故当点P运动到P′点时|PA﹣PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长就是|PA﹣PB|的最大值．进一步代入求得答案即可．
【解答】解：如图，
作点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交直线MN于点P，
则点P即为所求点．
过点A′作直线A′E⊥BD的延长线于点E，则线段A′B的长即为PA+PB的最小值．
∵AC＝8，BD＝5，CD＝4，
∴A′C＝8，BE＝8+5＝13，A′E＝CD＝4，
∴A′B，
即PA+PB的最小值是a．
如图，
延长AB交MN于点P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，
∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝4，AE＝AC﹣BD＝8﹣5＝3，
∴AB5．
∴|PA﹣PB|＝5为最大，
即b＝5，
∴a2﹣b2＝185﹣25＝160．
故选：A．
20．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．3
【思路点拔】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，所以∠COD＝2∠AOB＝120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH＝DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．
【解答】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，
∴PN+PM+MN＝ND+MN+MC＝DC，∠COD＝∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC＝2∠AOB＝120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH＝DH，
∵∠OCH＝30°，
∴OHOC，
CHOH，
∴CD＝2CH＝3．
故选：D．
21．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【思路点拔】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
【解答】解：如图，在BA上截取BE＝BN，
因为∠ABC的平分线交AC于点D，
所以∠EBM＝∠NBM，
在△BME与△BMN中，
所以△BME≌△BMN（SAS），
所以ME＝MN．
所以CM+MN＝CM+ME≥CE．
因为CM+MN有最小值．
当CE是点C到直线AB的距离时，即C到直线AB的垂线段时，CE取最小值为：4×sin60°．
故选：C．
22．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AMAB时，PB+PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．22 D．33
【思路点拔】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB+PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB于H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB+PM的最小值为2．
【解答】解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，
∴PB+PM＝B'P+PM≥B'M，
∴PB+PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB于H点，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝6，
∴BC＝3，
∴BB'＝6，
在Rt△BB'H中，B'H＝B'B sin60°＝63，
HB＝B'B cos60°＝63，
∴AH＝3，
∵AMAB，
∴AM＝2，
∴MH＝1，
在Rt△MHB'中，B'M2，
∴PB+PM的最小值为2，
故选：B．
23．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）
【思路点拔】根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线EC的解析式为yx+2，解方程组即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为yx+2，
解得，，
∴P（，），
故选：C．
24．如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）
A．PA+PB的最小值为3
B．PE+PF的最小值为2
C．△CDE周长的最小值为6
D．四边形ABCD面积的最小值为3
【思路点拔】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值A'B2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TEAB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得S四边形ABCD（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．
【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：
∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，
∴DE∥BM，CE∥AM，
∴四边形DECM是平行四边形，
∵P为CD中点，
∴P为EM中点，
∵E在线段AB上运动，
∴P在直线l上运动，
由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，
∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，
作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，
此时PA+PB最小值A'B2，故选项A错误，符合题意；
∵PM＝PE，
∴PE+PF＝PM+PF，
∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，
∵F为AB的中点，
∴MF⊥AB，
∴MF为等边三角形ABM的高，
∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；
过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，
∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴KEAE，TEBE，
∴KT＝KE+TEAB＝2，
∴CD≥2，
∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，
∴DE+CE+CD≥6，
∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；
设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，
∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DKAKm，CTBT＝2m，
∴S△ADKm mm2，S△BCT（2﹣m）（2m）m2﹣2m+2，S梯形DKTC（m+2m） 2＝2，
∴S四边形ABCDm2m2﹣2m+22m2﹣2m+4（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意；
故选：A．
25．在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．6 D．3
【思路点拔】设C（m，0），则有AC+BD，推出要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时PM+PN的值最小，求出NQ即可解决问题．
【解答】解：设C（m，0），
∵CD＝2，
∴D（m+2，0），
∵A（0，2），B（0，4），
∴AC+BD，
∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，
如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，
∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）
PM+PN的最小值＝P′N+P′Q＝NQ2，
∴AC+BD的最小值为2．
解法二：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．
则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，
EA′2，
∴AC+BD的最小值为2．
故选：B．
26．如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（ ）
A．24 B．24 C．12 D．12
【思路点拔】沿BC的方向将PQ和MN平移重合，即B和C点重合，点D平移至T，连接AT，即AB+CD最小，进一步求得结果．
【解答】解：如图，
作DL⊥PQ于L，过点A作PQ的垂线，过点D作PQ的平行线，它们交于点R，延长DF至T，使DT＝BC＝12，连接AT，
AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，则当BC在B′C′时，AB+CD最小，最小值为AT的长，
可得AK＝AE sin60°2，DL4，6，
∴AR＝26412，
∵AD＝24，
∴sin∠ADR，
∴∠ADR＝30°，
∵∠PFD＝60°，
∴∠ADT＝90°，
∴AT12，
故答案为：C．
27．如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
28．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【思路点拔】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABCBC AD4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝ADBC＝84＝8+2＝10．
故选：C．
29．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．84° B．88° C．90° D．96°
【思路点拔】取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，根据轴对称的性质可得AM＝PM，AN＝QN，然后求出△AMN周长＝PQ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，根据三角形的内角和等于180°求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMN＝2∠P，∠ANM＝2∠Q，然后求解即可．
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，
则AM＝PM，AN＝QN，
所以，∠P＝∠PAM，∠Q＝∠QAN，
所以，△AMN周长＝AM+MN+AN＝PM+MN+QN＝PQ，
由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，
∵∠BAE＝136°，
∴∠P+∠Q＝180°﹣136°＝44°，
∵∠AMN＝∠P+∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q+∠QAN＝2∠Q，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠P+∠Q）＝2×44°＝88°，
故选：B．
30．如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【思路点拔】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABCBC AD4×AD＝24，解得AD＝12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝ADBC＝124＝14．
故选：D．
31．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【思路点拔】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABCBC AD4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝ADBC＝84＝8+2＝10．
故选：C．
32．如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【思路点拔】作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．
【解答】解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴S△ACHAC HFCH AG，
∴HF＝AG＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故选：B．
33．如图，等边△ABC，边长为8，点D为边BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，当△ADE周长最小时，CE的长度为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【思路点拔】由等边三角形的性质得C△ADE＝3AD，当△ADE周长最小时，AD⊥BC时，AD最小，利用全等三角形的判定边角边得△ABD和△ACE全等，即得CE的长度．
【解答】解：
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，
∴C△ADE＝3AD，
当△ADE周长最小时，
即AD最小，
当AD⊥BC时，AD最小，
此时，BD＝AB sin30°＝4，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠1+∠2＝60°，
又∵∠2+∠3＝60°，
∴∠1＝∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝4，
故选：C．
二．填空题（共17小题）
34．已知，如图△ABC为等边三角形，高AH＝10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为 10 cm．
【思路点拔】连接PC，根据等边三角形三线合一的性质，可得PC＝BP，PD+PB要取最小值，应使D、P、C三点一线．
【解答】解：连接PC，CD，
∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，AH⊥BC，
∴CD⊥AB，AH是BC的中垂线，
∴BP＝PC，
∴BP+PD＝BP+PC，
∴当点P在CD上时，PD+PB有最小值，
∴PD+PB的最小值为：PD+PB＝PC+PD＝CD＝AH＝10cm．
35．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC＝BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 1000 米．
【思路点拔】根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值．
【解答】解：作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．
由题意：AC＝BD，所以A′C＝BD，
所以CM＝DM，M为CD的中点，
易得△A′CM≌△BDM，
∴A′M＝BM
由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B＝2A′M＝1000米．
故最短距离是1000米．
36．将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2．将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC+GC的最小值为 2 ．
【思路点拔】连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，先证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE＝CG，推出EC+GC＝EC+ED＝HE+ED≥DH，再证明四边形ABCD为正方形，从而H、A、C三点共线，再用勾股定理求出HD即可．
【解答】解：如图，连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，
∵将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，
∴GE＝CD且GE∥CD，
∴四边形GEDC为平行四边形，
∴ED＝CG，
∴EC+GC＝EC+ED＝HE+ED≥DH，
∵CH⊥AE，AE∥BD，
∴CH⊥BD，
∵∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴H、A、C三点共线，
记HC与BD相交于M，
∴MD，HM＝3AM＝3MD，
∵BD2，
∴HD2，
∴EC+GC的最小值为2．
故答案为：2．
37．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 5 ．
【思路点拔】要求PM+PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图：
作ME⊥AC交AD于E，连接EN，
则EN就是PM+PN的最小值，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴BN＝BM＝AM，
∵ME⊥AC交AD于E，
∴AE＝AM，
∴AE＝BN，AE∥BN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴EN＝AB，EN∥AB，
而由题意可知，可得AB5，
∴EN＝AB＝5，
∴PM+PN的最小值为5．
故答案为：5．
38．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 6 ．
【思路点拔】作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，依据A与A'关于BC对称，可得AD＝A'D，进而得出AD+DE＝A'D+DE，当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，依据AD+DE的最小值为3，即可得到2AD+CD的最小值为6．
【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH，AA'＝2，∠C＝30°，
∴Rt△CDE中，DECD，即2DE＝CD，
∵A与A'关于BC对称，
∴AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，
∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，
此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'23，
∴AD+DE的最小值为3，
即2AD+CD的最小值为6，
故答案为：6．
39．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为 16 ．
【思路点拔】过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，EF就是所求的线段．
【解答】解：过B点作AC的垂线，垂足为Q，延长BQ到E，使BQ＝QE，过E作EF垂直AB交AB于F点，
AC10，
∵S△ABCAC BQAB BC，
∴AC边上的高BQ4，
BE＝2BQ＝8．
∵∠ABQ＝∠EBF，∠AQB＝∠EFB＝90°，
∴△BEF∽△BAQ，
∵△BAQ∽△CAB
∵△CAB∽△BEF，
∴，即
EF＝16．
故答案为16．
40．使取最小值的实数x的值为 ．
【思路点拔】根据勾股定理得出AC，CE的长进而得出用含x的代数式表示AC+CE的长；由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，利用勾股定理即可求得10，由AB∥ED，得出，得出，解方程求得x的值即可．
【解答】解：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．
∵CD＝x，BD＝8，
∴CB＝8﹣x，
CE+AC，
A、C、E在同一直线上，CE+AC最小；
当A、C、E在同一直线上时，
延长AB，作EF⊥AB于点F，
∵AB＝4，DE＝2，
∴AF＝6，
∵∠ABD＝90°，
∴∠FBD＝90°，
∵∠BDE＝∠BFE＝90°，
∴四边形BFED是矩形，
∴BD＝EF＝8，
∴AE10，
∴的最小值为10，
∵AB∥ED，
∴，即，
解得x；
故答案为．
41．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（4，3），点C是x轴上的一个动点，则AC+BC的最小值为 5 ．
【思路点拔】作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点C，则此时AC+BC的值最小，由A的坐标求出A′坐标，由两点间坐标公式求出A′B的长度就是AC+BC的最小值．
【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点C，则此时AC+BC的值最小，
∵点A与点A′关于x轴对称，A（1，1），
∴A′（1，﹣1），A′C＝AC，
∴AC+BC＝A′C+BC＝A′B，
∵A′（1，﹣1），B（4，3），
∴A′B5，
∴AC+BC的最小值为5，
故答案为：5．
42．已知x、y是正数，且x+y＝8，，m的最小值是 10 ．
【思路点拔】如图，∠DAB＝∠EBA＝90°，AB＝8，AD＝4，BE＝2，AC＝x，BC＝y，利用勾股定理得到CD，CE，则m＝CD+CE，再根据三角形三边之间的关系可判断m的最小值为DE的长，过E点作EF⊥DA于F点，如图，证明四边形ABEF为矩形，则AF＝BE＝2，EF＝AB＝8，然后利用勾股定理计算出DE即可．
【解答】解：如图，∠DAB＝∠EBA＝90°，AB＝8，AD＝4，BE＝2，AC＝x，BC＝y，
∴CD，CE，
∴m＝CD+CE，
∵CD+CE≤BE（当点D、C、E共线时取等号），
∴m的最小值为DE的长，
过E点作EF⊥DA于F点，如图，
∵∠BAF＝∠F＝∠ABE＝90°，
∴四边形ABEF为矩形，
∴AF＝BE＝2，EF＝AB＝8，
在Rt△DEF中，DE10，
∴m的最小值为10．
故答案为：10．
43．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为
【思路点拔】如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE＝EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小．
【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10．
CH，
∵EF+CE＝EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为：
44．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是 5 ．
【思路点拔】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．
【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，
此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，
连接OP′，OP″，OP，
∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），
∴OP′＝OP＝OP″5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，
∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，
∴∠P′OP″＝120°，
过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，
∴OQ，P′Q＝P″Q，
∴P′P″＝2P′Q＝25，
则△PMN周长的最小值是5．
故答案为：5．
45．如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为 18 ．
【思路点拔】如图作AH⊥BC于H，连接AM，由EF垂直平分线段AC，推出MA＝MC，推出DM+MC＝AM+MD，可得当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，最小值就是线段AD的长，利用勾股定理可求AD的长，即可求解．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM，
∵EF垂直平分线段AC，
∴MA＝MC，
∴DM+MC＝AM+MD，
∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，
∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝10，AH12，
∴DH＝CH﹣CD＝5，
∴AD13，
∴DM+MC的最小值为13，
∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18，
故答案为18．
46．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是 ．
【思路点拔】连接CM，CN，由等腰三角形的性质可知：AD是BC的垂直平分线，得BM＝CM，则BM+MN＝CM+MN，即当点C、M、N三点共线时，BM+MN最小值为CN的长，利用勾股定理求出CN的长即可．
【解答】解：连接CM，CN，
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BM＝CM，
∴BM+MN＝CM+MN，即当点C、M、N三点共线时，BM+MN最小值为CN的长，
∵点N是AB的中点，
∴CN⊥AB，ANAB＝3，
∴CN3，
∴BM+MN最小值为：3，
故答案为：3．
47．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为 ．
【思路点拔】要使得MB﹣MA的值最大，只需取其中一点关于x轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x轴交点即为所求．
【解答】解：取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．
设直线AB′解析式为：y＝kx+b
把点A（﹣1，﹣1）B′（2，﹣7）代入
解得
∴直线AB′为：y＝﹣2x﹣3，
当y＝0时，x
∴M坐标为（，0）
故答案为：（，0）
48．如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是 5 ．
【思路点拔】要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC，PD的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：延长CB到C′，使C′B＝CB＝2，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD的和的最小值．
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥BC，
∴∠A＝∠PBC′，∠ADP＝∠C′，
∴△ADP∽△BC′P，
∴AP：BP＝AD：BC′＝3：2，
∴PBAP，
∵AP+BP＝AB＝5，
∴AP＝3，BP＝2，
∴PD3，PC′2，
∴DC′＝PD+PC′＝325，
∴PC+PD的最小值是5，
故答案为5．
49．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
【思路点拔】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABCAB CMAC BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴AB，
∵S△ABCAB CMAC BC，
∴CM．
故答案为：．
50．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 100° ．
【思路点拔】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝130°
∴∠A′+∠A″＝180°﹣130°＝50°，
由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．
故答案为100°．
三．解答题（共10小题）
51．如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？
【思路点拔】作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接AP，则泵站修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短．
【解答】解：作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接AP，则泵站修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短．理由如下：
在直线l上任取一点E，连接AE、BE、A′E，
∵A、A′关于直线l对称，
∴AP＝A′P，
同理AE＝A′E，
∵AP+BP＝A′P+BP＝A′B，
AE+BE＝A′E+BE＞A′B，
∴AP+BP＜A′E+BE，
∵E是任意取的一点，
∴AP+BP最短．
52．如图：要求在l1、l2上找出M，N两点．使四边形PQNM的周长最小，在图上画出M，N的位置．（不写画法，保留作图痕迹）
【思路点拔】作出P、Q分别关于直线l1、l2的对称点P′，Q′，再连接P′Q′，分别与直线l1、l2的交点便为所要求作的M、N点．
【解答】解：①作P关于l1的对称点P′，作Q关于l2的对称点Q′，
②连接P′Q′，分别交l1和l2于点M和N点，
则PM+MN+QN＝P′M+MN+Q′N＝P′Q′的值最小，
∴此时PQ+PM+MN+QN＝PQ+P′Q′的值最小，
即四边形PQNM的周长最小．
故图中的M、N两点就是所要求作的点．
53．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【思路点拔】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，
则从A延AP到P再延PB到B，
此时AP+BP＝A′B，
在Rt△A′DB中，由勾股定理求得
A′B17km，
答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km．
54．如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？
【思路点拔】作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，根据两点之间线段最短即可得到四边形ABCD即为所求．
【解答】解：作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，
则四边形ABCD即为所求．
55．如图，A，B是直线l同侧的两点，且点A，B到l的距离分别为4.5，10.5，且垂足C、D间的距离为8，若点P是l上一点，求PA+PB的最小值．
【思路点拔】作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交直线L于点P，过点A′作直线AE⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出A′B的长即可．
【解答】解：作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交直线L于点P，
则点P即为所求点．
过点A′作直线AE⊥BD的延长线于点E，则线段A′B的长即为PA+PB的最小值．
∵AC＝4.5，BD＝10.5，CD＝8，
∴A′C＝4.5，BE＝15，A′E＝CD＝8，
∴A′B17．
答：PA+PB的最小值是17．
56．如图，B，C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣a，﹣a﹣b）．
（1）直接写出点B的坐标为 （a，﹣a﹣b） ；
（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）
【思路点拔】（1）关于y轴对称的两点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解；
（2）作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，则P点即为所求．
【解答】解：（1）∵B，C两点关于y轴对称，C（﹣a，﹣a﹣b），
∴B（a，﹣a﹣b），
故答案为：（a，﹣a﹣b）；
（2）作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，
∴BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P＝AB，此时AP+PB的值最小．
57．A，B两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么：
（1）点A的坐标为 （1，1） ，点B的坐标为 （5，2） ；
（2）在x轴上有一条河，现准备在河流边上建一个抽水站P，使得抽水站P到A、B两个村庄的距离之和最小，请作出点P的位置，并求此时距离之和的最小值．
【思路点拔】（1）根据图象即可得到答案；
（2）先求出点A关于x轴的对称点A′的坐标，连接A′B交x轴于P，此时PA+PB最小，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（5，2），
故答案为：（1，1），（5，2）；
（2）作A关于x轴的对称点A′，
连接A′B交x轴于P，
则点P就是使得抽水站到两个村庄的距离之和最小，即PA+PB最小的点，
A′B的长度即为PA+PB的最小值，
∴PA+PB的最小值＝A′B5．
58．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；
（3）四边形BCC1B1的面积为 12 ．
【思路点拔】（1）先分别画出A、B、C关于DE的对称点，再连接即可；
（2）作C关于DE的对称点C1，连接AC1，交DE于Q，则Q为所求；
（3）根据梯形的面积公式求出即可．
【解答】解：（1）如图所示：
；
（2）如图所示：
；
（3）
∵每小格均为边长是1的正方形，
∴CC1＝4+4＝8，BB1＝2+2＝4，BB1和CC1之间的距离为2，
∴四边形BCC1B1的面积为（8+4）×2＝12，
故答案为：12．
59．如图，在10×10的网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A、B和直线l．
（1）求作点A关于直线l的对称点A1；
（2）P为直线l上一点，连接BP，AP，求△ABP周长的最小值．
【思路点拔】（1）过点A作AO⊥直线l并延长至A′，使OA′＝OA，点A即为所求；
（2）根据题意得△ABP周长的最小值＝AB+A1B，根据勾股定理得到A1B，即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，点A1就是所求作的点；
（2）△ABP周长的最小值＝AB+A1B，
∵A1B，AB＝4，
∴△ABP周长的最小值＝4．
60．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若BC，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．
【思路点拔】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；
（2）如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，
∴BC＝EA，∠ABC＝60°．
∵△DEB为等边三角形，
∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°，
∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，
∴∠DEA＝∠DBC
∴△ADE≌△CDB．
（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．
则点H即为符合条件的点．
由作图可知：EH＝HE'，AE'＝AE，∠E'AC＝∠BAC＝30°．
∴∠EAE'＝60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴，
∴∠AE'B＝90°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，，
∴，，
∴，
∴BH+EH的最小值为3．
